广东省广州市天河区华实学校2024-2025学年八年级上学期数学期中考试试卷
1．（2024八上·天河期中）中华姓氏源于上古，每个姓氏都有自己的图腾．下列姓氏图腾是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，故A选项正确；
B.不是轴对称图形，故B选项错误；
C.不是轴对称图形，故C选项错误；
D.不是轴对称图形，故D选项错误．
故选：A．
【分析】根据如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐项分析即可求解.
2．（2024八上·天河期中）已知一个三角形的两条边长分别为4和6，则第三条边的长度不能是（ ）
A．4 B．7 C．11 D．3
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、 ，满足任意两边之和大于第三边；
B、 ，满足任意两边之和大于第三边；
C、 ，不满足任意两边之和大于第三边；
D、 ，满足任意两边之和大于第三边；
故答案为：C．
【分析】根据三角形的构成条件，任意两边之和大于第三边或两边之差小于第三边，即可得出答案．
3．（2024八上·天河期中）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设所求多边形边数为n，
∴（n﹣2） 180°＝1080°，
解得n＝8.
故答案为：D.
【分析】根据多边形的内角和的公式进行计算，即可得到答案。
4．（2024八上·天河期中）点关于轴的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：关于轴的对称点坐标为，
故答案为：D．
【分析】关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，根据题意即可得到答案.
5．（2024八上·天河期中）如图，在和中，，还需再添加两个条件才能使，则不能添加的一组条件是（ ）
A．AC=DE，∠C=∠E B．BD=AB，AC=DE
C．AB=DB，∠A=∠D D．∠C=∠E，∠A=∠D
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A. 已知BC=BE，再加上条件AC=DE，∠C=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DBE，故此选项不合题意；
B. 已知BC=BE，再加上条件BD=AB，AC=DE可利用SSS证明△ABC≌△DBE，故此选项不合题意；
C. 已知BC=BE，再加上条件AB=DB，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DBE，故此选项符合题意；
D. 已知BC=BE，再加上条件∠C=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DBE，故此选项不合题意；
故选：C.
【分析】根据全等三角形的判定定理：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等、SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等、ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等、AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等逐项分析即可求解.
6．（2024八上·天河期中）以下说法中，错误的是（ ）
①等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为或；
②三角形的一个外角，等于两个内角的和；③有两边和一角对应相等的两个三角形全等；
④角平分线上的点到角两边的线段相等．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形的外角性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①若两腰长为4，
，边长的边不能是该等腰三角形的腰，只能是底边，
该等腰三角形的腰长为，底边长为，
该等腰三角形的周长为：，说法①错误，符合题意；
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，说法②错误，符合题意；
③有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，说法③错误，符合题意；
si角平分线上的点到角两边的距离相等，即垂线段相等，说法④错误，符合题意；
综上：错误的有①②③④，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的三边关系得这个等腰三角形的腰长只能是9，由此可得周长为，据此可判断①；根据三角形的外角性质可判断②；根据有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等可判断③；根据角平分线上的性质可判断④．
7．（2024八上·天河期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若，则点到的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于，如图：
，，
，
和分别平分和，
，，
，
，
，
，
即点到的距离是4．
故答案为：C．
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而可求出PE的长．
8．（2024八上·天河期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠（折痕为），使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点（折痕为），则的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
，
由折叠可知，，，
，
故答案为：．
【分析】由角所对的直角边是斜边的一半求出BC的长，再根据折叠的性质可得，，，即，即可得FG的长.
9．（2024八上·天河期中）如图，平面直角坐标系xOy中，已知定点A（1，0）和B（0，1），若动点C 在x轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有( )．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；数学思想
【解析】【解答】解：∵A（1，0），B（0，1），∴AO=OB=1，
①以A为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C1、C2，此时两点都符合条件；
②作AB的垂直平分线交x轴于点C3，则C3和O重合，此点符合条件；
③以B为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C4，此时点符合条件；
故共有2+1+1=4个点符合．
故答案为：C．
【分析】分为三种情况：①AB=AC，以点A为圆心，AB长为半径画弧与x轴的交点；②AC=BC，作线段AB的垂直平分线，看与x轴的交点；③AB=BC，以点B为圆心，AB长为半径画弧与x轴的交点；据此画出图形，即可得出答案．
10．（2024八上·天河期中）如图，在中，，D，E是BC上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF．给出下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，∠ACB=45°，
，
∴∠B=∠ACF.
∵，，
，
，
，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，即，
在与中，
，
，故结论①正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，
，，
，∠DAF=90°，
，
在与中，
，
，
，故结论②正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF，
∴S△ABD=S△ACF，S△ADE=S△AFE，
若，，
，
，故结论③正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵△CEF中，CE+CF>EF，
，故结论④错误，不符合题意．
故正确选项有：①②③.
故答案为：A．
【分析】证明∠B=∠ACF，，即可利用ASA证明△ABD≌△ACF，可判断①；根据全等三角形的性质得，，从而可利用SAS证明△AED≌△AEF，根据全等三角形的性质得，可判断②；若根据全等的性质可得S△ABD=S△ACF，S△ADE=S△AFE，再结合，，等量代换即可求出并判断③；利用△ABD≌△ACF可得BD=CF，在中，根据三角形三边关系得，等量代换即可判断④．
11．（2024八上·天河期中）一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于 度．
【答案】1440
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵任何多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数为360°÷36°=10，
∴多边形的内角和为（10﹣2） 180°=1440°．
故答案为：1440．
【分析】任何多边形的外角和等于360°，可求得这个多边形的边数．再根据多边形的内角和等于（n﹣2） 180°即可求得内角和．
12．（2024八上·天河期中）在中，，，，则AB的长为 ．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
．
故答案为：6．
【分析】根据角所对的直角边等于斜边长的一半求解即可．
13．（2024八上·天河期中）如图，已知是边上的中线，的面积是，则的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：是边上的中线，的面积是，
．
故答案为：．
【分析】根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，即可求解.
14．（2024八上·天河期中）若等腰三角形有一个内角为，则它的顶角度数为 ．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当是该等腰三角形的底角时，则它的顶角度数为；当是该等腰三角形的顶角时，它的顶角度数为；
故答案为：或．
【分析】分为是等腰三角形的底角及顶角两种情况，根据三角形的内角和定理进行计算即可求解.
15．（2024八上·天河期中）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则 米．
【答案】48
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=BC=48米．
故答案为：48．
【分析】根据有两个角是60°角的三角形是等边三角形得出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等即可求解.
16．（2024八上·天河期中）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ．
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接交与点，连接．
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
．
．
当点位于点处时，有最小值，最小值6．
的周长的最小值为．
故答案为：8.
【分析】连接交与点，连接，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等得出，则，故此当、、在一条直线上时，有最小值，然后依据等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合可证明为底边上的高线，根据三角形的面积为12可求得的长．
17．（2024八上·天河期中）如图，已知：在和中，点、、、在同一直线上，，，．求证：．
【答案】证明：，
，
．
，
．
在和中
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】先根据线段的和差关系证得，再根据平行线的性质得出，最后结合已知，根据判定三角形全等，即可得到结论．
18．（2024八上·天河期中）如图，在中，，D为的中点，，，求的度数．
【答案】解：∵，D为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合可得，根据等边对等角可得，结合三角形内角和定理求出，即可求解.
19．（2024八上·天河期中）如图，中，．
（1）在内求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且点到、的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连结、，若，求的度数．
【答案】（1）解：∵ 点到、两点的距离相等，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
∵ 点到、的距离也相等
∴点P∠ABC的角平分线上，
可得点P为线段BC垂直平分线和∠ABC的角平分线的交点，作图如下：
点即为所求．
（2）解：由作图可知：
BE平分，
，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点，点即为所求．
（2）证明，根据三角形内角和定理，可得，代入∠A和∠ACP的度数求解即可．
（1）解：如图，点即为所求．
（2）解：由作图可知垂直平分线段，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
20．（2024八上·天河期中）如图，中，，平分，于E．
（1）若，求的度数；
（2）求证：直线是线段的垂直平分线．
【答案】（1）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，平分线段，
即直线是线段的垂直平分线．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线求的度数，结合三角形内角和是180°求解即可；
（2）根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据线段垂直平分线的判定即可证明．
（1）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，平分线段，
即直线是线段的垂直平分线．
21．（2024八上·天河期中）①已知，，是一个三角形的三边长，化简．
②已知坐标平面内有两点，，若点、关于轴对称，求的值．
【答案】解：①，，是一个三角形的三条边长，
∴a－b
，，
．
②点和点关于轴对称，
，
解得，
．
【知识点】三角形三边关系；关于坐标轴对称的点的坐标特征；实数的绝对值；代入消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】①根据三角形三边关系得到，，再去绝对值，合并同类项即可求解．
②根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组，求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
22．（2024八上·天河期中）（1）作出关于轴对称的图形，并写出点、的坐标：_____________；
（2）在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）．
（3）求的面积．
【答案】解：（1）；；
（2）连接A1P，与轴交点，如图所示；
∴AP+CP=A1P+CP≥A1C，故点P在A1C上时，有最小值，
此时的点P即为所求.
（3）．
【知识点】点的坐标；两点之间线段最短；三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（1）关于轴对称的图形如图所示，
∴；
故答案为：；；
【分析】（1）根据对称性作出△的三个顶点关于轴的对称点，再依次连接即可；
（2）连接A1P，与轴的交点即为所求点，即根据两点之间线段最短，得；
（3）利用大长方形面积减去三个小三角形的面积，即可求解．
23．（2024八上·天河期中）如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上．
（1）如图1，若、满足以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，，，则___________，___________，求点的坐标．
（2）如图2，若，点是的延长线上一点（不与点重合），以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，，，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长、交于点，设、交于点，当时，求四边形的面积．
【答案】（1）解：2；4；的坐标为
（2）证明：过作轴于，如图：
∵△BPE为等腰直角三角形，∠BPE=90°，
由（1）可得：，
∴BO=PT，OP=ET.
，
，
∴OA+AP=OB+AP=PT+AP，即OP=AT.
∴AT=ET，
是等腰直角三角形，
；
（3）过作于，于，过作轴于，过作轴于，如图：
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
四边形的面积为．
【知识点】坐标与图形性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）过作轴于，如图：
，，，
，，
，；
、，
，，
，
∴∠ABO+∠BAO=∠CAK+∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠CAK，
又∵，
∴
，，
，
的坐标为；
故答案为：2；4；的坐标为；
【分析】（1）过作轴于，由，可得，；利用AAS证明，可得，，即可得得出的坐标；
（2）过作轴于，利用AAS证明，可得，，由a=b可证得，从而可证明是等腰直角三角形，从而，结论得证；
（3）过作于，于，过作轴于，过作轴于，利用角平分线的性质得，，继而可利用ASA证明，可得，从而可利用AAS得到，于是有，证明△ANR是等腰直角三角形，可得NR=AR，最后根据，可得，即可得到四边形的面积．
（1）解：过作轴于，如图：
，
，，
，；
、，
，，
，
，
，，
∴
，，
，
的坐标为；
故答案为：2，4；的坐标为；
（2）证明：过作轴于，如图：
，
，
，
，
，，
∴，
，，
，
，即，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）解：过作于，于，过作轴于，过作轴于，如图：
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
四边形的面积为．
24．（2024八上·天河期中）已知在中，，过点引一条射线，是上一点．
（1）【问题解决】如图1，若，射线在内部，，求证：．小明同学展示的做法是：在上取一点使得．通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程．
（2）【类比探究】如图2，已知．
①当射线在内，求的度数；
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数．
【答案】（1）证明：如图1，在上取一点E，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①在上取一点E，使，如图所示：
∵，∠ABC=20°，
∴∠ABC=∠ACB=20°，
∴∠BAC=180°－∠ABC－∠ACB=140°.
∵，∠ADB=20°，
∴∠AED=∠ADE=20°，
∴∠EAD=140°=∠BAC，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴；
②的度数会变化，理由如下：
在延长线上取一点E，使得，如图所示：
同理①的方法可证：，
∴，
∴．
故的度数会变化，当射线在下方时，∠BDC=40°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而可证明，根据证明，再根据全等三角形的性质得到，即可得到答案；
（2）①在上取一点E，使，利用SAS证明，得到，用∠ADC－∠ADB即可求出答案；
②在延长线上取一点E，使，同理证明，求出，进而可求出．
（1）证明：如图1，在上取一点E，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①在上取一点E，，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
②的度数会变化，理由如下：
在延长线上取一点E，使得，如图所示：
同理①的方法可证：，
∴，
∴．
广东省广州市天河区华实学校2024-2025学年八年级上学期数学期中考试试卷
1．（2024八上·天河期中）中华姓氏源于上古，每个姓氏都有自己的图腾．下列姓氏图腾是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·天河期中）已知一个三角形的两条边长分别为4和6，则第三条边的长度不能是（ ）
A．4 B．7 C．11 D．3
3．（2024八上·天河期中）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
4．（2024八上·天河期中）点关于轴的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·天河期中）如图，在和中，，还需再添加两个条件才能使，则不能添加的一组条件是（ ）
A．AC=DE，∠C=∠E B．BD=AB，AC=DE
C．AB=DB，∠A=∠D D．∠C=∠E，∠A=∠D
6．（2024八上·天河期中）以下说法中，错误的是（ ）
①等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为或；
②三角形的一个外角，等于两个内角的和；③有两边和一角对应相等的两个三角形全等；
④角平分线上的点到角两边的线段相等．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
7．（2024八上·天河期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若，则点到的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
8．（2024八上·天河期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠（折痕为），使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点（折痕为），则的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
9．（2024八上·天河期中）如图，平面直角坐标系xOy中，已知定点A（1，0）和B（0，1），若动点C 在x轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有( )．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2024八上·天河期中）如图，在中，，D，E是BC上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF．给出下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
11．（2024八上·天河期中）一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于 度．
12．（2024八上·天河期中）在中，，，，则AB的长为 ．
13．（2024八上·天河期中）如图，已知是边上的中线，的面积是，则的面积是 ．
14．（2024八上·天河期中）若等腰三角形有一个内角为，则它的顶角度数为 ．
15．（2024八上·天河期中）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则 米．
16．（2024八上·天河期中）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ．
17．（2024八上·天河期中）如图，已知：在和中，点、、、在同一直线上，，，．求证：．
18．（2024八上·天河期中）如图，在中，，D为的中点，，，求的度数．
19．（2024八上·天河期中）如图，中，．
（1）在内求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且点到、的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连结、，若，求的度数．
20．（2024八上·天河期中）如图，中，，平分，于E．
（1）若，求的度数；
（2）求证：直线是线段的垂直平分线．
21．（2024八上·天河期中）①已知，，是一个三角形的三边长，化简．
②已知坐标平面内有两点，，若点、关于轴对称，求的值．
22．（2024八上·天河期中）（1）作出关于轴对称的图形，并写出点、的坐标：_____________；
（2）在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）．
（3）求的面积．
23．（2024八上·天河期中）如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上．
（1）如图1，若、满足以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，，，则___________，___________，求点的坐标．
（2）如图2，若，点是的延长线上一点（不与点重合），以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，，，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长、交于点，设、交于点，当时，求四边形的面积．
24．（2024八上·天河期中）已知在中，，过点引一条射线，是上一点．
（1）【问题解决】如图1，若，射线在内部，，求证：．小明同学展示的做法是：在上取一点使得．通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程．
（2）【类比探究】如图2，已知．
①当射线在内，求的度数；
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，故A选项正确；
B.不是轴对称图形，故B选项错误；
C.不是轴对称图形，故C选项错误；
D.不是轴对称图形，故D选项错误．
故选：A．
【分析】根据如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐项分析即可求解.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、 ，满足任意两边之和大于第三边；
B、 ，满足任意两边之和大于第三边；
C、 ，不满足任意两边之和大于第三边；
D、 ，满足任意两边之和大于第三边；
故答案为：C．
【分析】根据三角形的构成条件，任意两边之和大于第三边或两边之差小于第三边，即可得出答案．
3．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设所求多边形边数为n，
∴（n﹣2） 180°＝1080°，
解得n＝8.
故答案为：D.
【分析】根据多边形的内角和的公式进行计算，即可得到答案。
4．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：关于轴的对称点坐标为，
故答案为：D．
【分析】关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，根据题意即可得到答案.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A. 已知BC=BE，再加上条件AC=DE，∠C=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DBE，故此选项不合题意；
B. 已知BC=BE，再加上条件BD=AB，AC=DE可利用SSS证明△ABC≌△DBE，故此选项不合题意；
C. 已知BC=BE，再加上条件AB=DB，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DBE，故此选项符合题意；
D. 已知BC=BE，再加上条件∠C=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DBE，故此选项不合题意；
故选：C.
【分析】根据全等三角形的判定定理：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等、SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等、ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等、AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等逐项分析即可求解.
6．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形的外角性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①若两腰长为4，
，边长的边不能是该等腰三角形的腰，只能是底边，
该等腰三角形的腰长为，底边长为，
该等腰三角形的周长为：，说法①错误，符合题意；
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，说法②错误，符合题意；
③有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，说法③错误，符合题意；
si角平分线上的点到角两边的距离相等，即垂线段相等，说法④错误，符合题意；
综上：错误的有①②③④，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的三边关系得这个等腰三角形的腰长只能是9，由此可得周长为，据此可判断①；根据三角形的外角性质可判断②；根据有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等可判断③；根据角平分线上的性质可判断④．
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于，如图：
，，
，
和分别平分和，
，，
，
，
，
，
即点到的距离是4．
故答案为：C．
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而可求出PE的长．
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
，
由折叠可知，，，
，
故答案为：．
【分析】由角所对的直角边是斜边的一半求出BC的长，再根据折叠的性质可得，，，即，即可得FG的长.
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；数学思想
【解析】【解答】解：∵A（1，0），B（0，1），∴AO=OB=1，
①以A为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C1、C2，此时两点都符合条件；
②作AB的垂直平分线交x轴于点C3，则C3和O重合，此点符合条件；
③以B为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C4，此时点符合条件；
故共有2+1+1=4个点符合．
故答案为：C．
【分析】分为三种情况：①AB=AC，以点A为圆心，AB长为半径画弧与x轴的交点；②AC=BC，作线段AB的垂直平分线，看与x轴的交点；③AB=BC，以点B为圆心，AB长为半径画弧与x轴的交点；据此画出图形，即可得出答案．
10．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，∠ACB=45°，
，
∴∠B=∠ACF.
∵，，
，
，
，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，即，
在与中，
，
，故结论①正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，
，，
，∠DAF=90°，
，
在与中，
，
，
，故结论②正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF，
∴S△ABD=S△ACF，S△ADE=S△AFE，
若，，
，
，故结论③正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵△CEF中，CE+CF>EF，
，故结论④错误，不符合题意．
故正确选项有：①②③.
故答案为：A．
【分析】证明∠B=∠ACF，，即可利用ASA证明△ABD≌△ACF，可判断①；根据全等三角形的性质得，，从而可利用SAS证明△AED≌△AEF，根据全等三角形的性质得，可判断②；若根据全等的性质可得S△ABD=S△ACF，S△ADE=S△AFE，再结合，，等量代换即可求出并判断③；利用△ABD≌△ACF可得BD=CF，在中，根据三角形三边关系得，等量代换即可判断④．
11．【答案】1440
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵任何多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数为360°÷36°=10，
∴多边形的内角和为（10﹣2） 180°=1440°．
故答案为：1440．
【分析】任何多边形的外角和等于360°，可求得这个多边形的边数．再根据多边形的内角和等于（n﹣2） 180°即可求得内角和．
12．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
．
故答案为：6．
【分析】根据角所对的直角边等于斜边长的一半求解即可．
13．【答案】
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：是边上的中线，的面积是，
．
故答案为：．
【分析】根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，即可求解.
14．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当是该等腰三角形的底角时，则它的顶角度数为；当是该等腰三角形的顶角时，它的顶角度数为；
故答案为：或．
【分析】分为是等腰三角形的底角及顶角两种情况，根据三角形的内角和定理进行计算即可求解.
15．【答案】48
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=BC=48米．
故答案为：48．
【分析】根据有两个角是60°角的三角形是等边三角形得出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等即可求解.
16．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接交与点，连接．
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
．
．
当点位于点处时，有最小值，最小值6．
的周长的最小值为．
故答案为：8.
【分析】连接交与点，连接，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等得出，则，故此当、、在一条直线上时，有最小值，然后依据等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合可证明为底边上的高线，根据三角形的面积为12可求得的长．
17．【答案】证明：，
，
．
，
．
在和中
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】先根据线段的和差关系证得，再根据平行线的性质得出，最后结合已知，根据判定三角形全等，即可得到结论．
18．【答案】解：∵，D为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合可得，根据等边对等角可得，结合三角形内角和定理求出，即可求解.
19．【答案】（1）解：∵ 点到、两点的距离相等，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
∵ 点到、的距离也相等
∴点P∠ABC的角平分线上，
可得点P为线段BC垂直平分线和∠ABC的角平分线的交点，作图如下：
点即为所求．
（2）解：由作图可知：
BE平分，
，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点，点即为所求．
（2）证明，根据三角形内角和定理，可得，代入∠A和∠ACP的度数求解即可．
（1）解：如图，点即为所求．
（2）解：由作图可知垂直平分线段，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
20．【答案】（1）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，平分线段，
即直线是线段的垂直平分线．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线求的度数，结合三角形内角和是180°求解即可；
（2）根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据线段垂直平分线的判定即可证明．
（1）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，平分线段，
即直线是线段的垂直平分线．
21．【答案】解：①，，是一个三角形的三条边长，
∴a－b
，，
．
②点和点关于轴对称，
，
解得，
．
【知识点】三角形三边关系；关于坐标轴对称的点的坐标特征；实数的绝对值；代入消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】①根据三角形三边关系得到，，再去绝对值，合并同类项即可求解．
②根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组，求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
22．【答案】解：（1）；；
（2）连接A1P，与轴交点，如图所示；
∴AP+CP=A1P+CP≥A1C，故点P在A1C上时，有最小值，
此时的点P即为所求.
（3）．
【知识点】点的坐标；两点之间线段最短；三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（1）关于轴对称的图形如图所示，
∴；
故答案为：；；
【分析】（1）根据对称性作出△的三个顶点关于轴的对称点，再依次连接即可；
（2）连接A1P，与轴的交点即为所求点，即根据两点之间线段最短，得；
（3）利用大长方形面积减去三个小三角形的面积，即可求解．
23．【答案】（1）解：2；4；的坐标为
（2）证明：过作轴于，如图：
∵△BPE为等腰直角三角形，∠BPE=90°，
由（1）可得：，
∴BO=PT，OP=ET.
，
，
∴OA+AP=OB+AP=PT+AP，即OP=AT.
∴AT=ET，
是等腰直角三角形，
；
（3）过作于，于，过作轴于，过作轴于，如图：
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
四边形的面积为．
【知识点】坐标与图形性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）过作轴于，如图：
，，，
，，
，；
、，
，，
，
∴∠ABO+∠BAO=∠CAK+∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠CAK，
又∵，
∴
，，
，
的坐标为；
故答案为：2；4；的坐标为；
【分析】（1）过作轴于，由，可得，；利用AAS证明，可得，，即可得得出的坐标；
（2）过作轴于，利用AAS证明，可得，，由a=b可证得，从而可证明是等腰直角三角形，从而，结论得证；
（3）过作于，于，过作轴于，过作轴于，利用角平分线的性质得，，继而可利用ASA证明，可得，从而可利用AAS得到，于是有，证明△ANR是等腰直角三角形，可得NR=AR，最后根据，可得，即可得到四边形的面积．
（1）解：过作轴于，如图：
，
，，
，；
、，
，，
，
，
，，
∴
，，
，
的坐标为；
故答案为：2，4；的坐标为；
（2）证明：过作轴于，如图：
，
，
，
，
，，
∴，
，，
，
，即，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）解：过作于，于，过作轴于，过作轴于，如图：
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
四边形的面积为．
24．【答案】（1）证明：如图1，在上取一点E，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①在上取一点E，使，如图所示：
∵，∠ABC=20°，
∴∠ABC=∠ACB=20°，
∴∠BAC=180°－∠ABC－∠ACB=140°.
∵，∠ADB=20°，
∴∠AED=∠ADE=20°，
∴∠EAD=140°=∠BAC，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴；
②的度数会变化，理由如下：
在延长线上取一点E，使得，如图所示：
同理①的方法可证：，
∴，
∴．
故的度数会变化，当射线在下方时，∠BDC=40°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而可证明，根据证明，再根据全等三角形的性质得到，即可得到答案；
（2）①在上取一点E，使，利用SAS证明，得到，用∠ADC－∠ADB即可求出答案；
②在延长线上取一点E，使，同理证明，求出，进而可求出．
（1）证明：如图1，在上取一点E，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①在上取一点E，，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
②的度数会变化，理由如下：
在延长线上取一点E，使得，如图所示：
同理①的方法可证：，
∴，
∴．
