广东省珠海市第十六中学2024—2025学年上学期期中质量监测九年级数学试题
1．（2024九上·珠海期中）将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵是一般形式，常数项是，
∴二次项系数和一次项系数分别是和，
故选：C．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数、bx叫做一次项、c叫做常数项即可求解．
2．（2024九上·珠海期中）下列运动属于旋转的是（ ）
A．足球在草地上滚动 B．火箭升空的运动
C．汽车在急刹车时向前滑行 D．钟表的钟摆动的过程
【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】A、足球在草地上滚动是属于平移，因此A不符合题意；
B、火箭升空的运动是属于平移，因此B不符合题意；
C、汽车在急刹车时向前滑行，是属于平移，因此C不符合题意；
D、钟表的钟摆动的过程，属于旋转，因此D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据旋转是在一个平面内将一个图形绕着某一个点，按某个方向转动一个角度，即可解答此题。
3．（2024九上·珠海期中）下列关于方程 的结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴a=1，b=-5，c=3，
由题意得，，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的判别式判定根的情况：当 ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当 =0时，方程有两个相等的实数根，当 ＜0时，方程没有实数根，由此进行计算判断即可。
4．（2024九上·珠海期中）某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛.设七年级共有个班，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得x(x-1)=42，
故答案为：A.
【分析】根据“每两班之间赛两场，共需安排42场”列出关于x的方程即可.
5．（2024九上·珠海期中）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵当时，方程可化为；
∴方程必有一根为．
故选：B.
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解．
6．（2024九上·珠海期中）将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为，
故选：B.
【分析】根据二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，进行解答即可.
7．（2024九上·珠海期中）若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∵点，，都在二次函数的图象上，且，
∴，
故选：B．
【分析】根据抛物线的解析式可得函数图象的开口向上和对称轴为直线x=2，结合各点离对称轴的距离，根据到对称轴距离越远的点的纵坐标越大，即可求解.
8．（2024九上·珠海期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是，则小球从抛出到落地所需要的时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：小球落地，即，所以，
解得或0，
时，即小球还未抛出的时刻，舍去，
∴，
故选：A．
【分析】小球落地，即小球的高度，得出一元二次方程，解方程求出t的值，结合实际问题即可求解.
9．（2024九上·珠海期中）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解；∵时，一次函数的图象经过一，三，四象限，二次函数的开口向上，
故选：A．
【分析】根据确定一次函数图象经过的象限以及二次函数图象的开口方向，据此即可求解.
10．（2024九上·珠海期中）已知二次函数的图象如图，下列4个结论：①，②，③，④若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴，
，，，
，
，，①②结论正确；
抛物线对称轴为直线，且时，，
时，，
，③结论错误；
方程有四个根，
方程和各有两个根，
设这四个根分别为、、、，
，，
这四个根的和为4，④结论正确，
故选：B．
【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴，与轴交点位置可得出a＜0，b＞0，c＞0，b=-2a，可判断①②结论；根据二次函数图象的对称性可得时，，即可判断③结论；根据二次函数与一元二次方程的关系得出方程和各有两个根，结合一元二次方程根和系数的关系即可求出这四个根的和，可判断④结论．
11．（2024九上·珠海期中）一元二次方程的解是 ．
【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴
故答案为：．
【分析】根据直接开平方法求出一元二次方程的解，即可．
12．（2024九上·珠海期中）若关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值为 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根是2，
∴，
解得：．
故答案为：.
【分析】根据能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解，把代入方程，解方程期初a的值即可．
13．（2024九上·珠海期中）如图，将绕着点顺时针旋转，得到，若，则等于 ．
【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕着点顺时针旋转，得到，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据旋转前后两个图形的对应角相等，即可求解.
14．（2024九上·珠海期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干，支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每个支干长出个小分支，
根据题意列方程得：．
故答案为：．
【分析】设每个支干长出个小分支，根据题意可得每个小分支又长出个分支，则共有个分支，据此即可列出方程．
15．（2024九上·珠海期中）抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 ．
【答案】－3＜x＜1
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x=-1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（-3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是-3＜x＜1．
故答案为：-3＜x＜1．
【分析】根据图象可得抛物线的对称轴为x=-1，抛物线与x轴的一个交点为（1，0），根据抛物线的对称性可求出抛物线与x轴的另一交点为（-3，0），结合图象，即可求解.
16．（2024九上·珠海期中）如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：作轴于，于，如图：
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，，
设，
点、的坐标分别是、，
，解得，
，
在抛物线的图像上，
，
，
故答案为：．
【分析】作轴于，于，根据正方形的四个角都是直角，四条边都相等得出，，根据等角的余角相等得出，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等可得，根据全等三角形的对应边相等得出，，设，利用，坐标，可得出点坐标，代入，即可得出的值.
17．（2024九上·珠海期中）解方程：.
【答案】解：
，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程进行计算，即可求解.
18．（2024九上·珠海期中）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，，∴，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，列出不等式，解不等式即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据题意可得得到方程，再解方程求出k的值即可.
19．（2024九上·珠海期中）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点的水平距离为时达到最大高度为．
（1）求关于的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
【答案】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入得：，
抛物线的解析式为（或）.
（2）解：令，则，
解得：，（舍），
的长为．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可求解；
（2）令，解一元二次方程求出x的值，结合实际即可求解.
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入得：，
抛物线的解析式为（或）；
（2）令，则，
解得：，（舍），
的长为．
20．（2024九上·珠海期中）2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是万件．
（1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）解：设月平均增长率是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
故月平均增长率是．
（2）解：设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
故售价应降低元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设月平均增长率是，根据题意列出一元二次方程，解方程求出x的值，结合实际意义即可求解；
(2)设售价应降低元，根据“每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量”，列出一元二次方程，解方程求出的值，再结合实际，即可求解.
（1）解：设月平均增长率是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：月平均增长率是．
（2）解：设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：售价应降低元．
21．（2024九上·珠海期中）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线交于点M，，．
（1）求证：；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）证明：，
．
，
，
．
（2）解：，，
．
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）证明：在中 ，，
∴．
，
∴，
在中 ，由外角性质知，
∵，
在中 ，，
∴，
．
（2）解：由（1）知，
，
，
．
【分析】本题的解题关键是通过相似三角形的判定定理（两角对应相等）和性质（对应边成比例）来解题。当遇到图形中包含多个三角形且存在角度相等的关系时，考虑相似三角形的方法可以有效简化问题，找到未知量与已知量之间的关系，进而求解。
（1）先由得到，再由进一步得，易证；
（2）先求出．再由可以得到，然后代入数值即可得到答案．
22．（2024九上·珠海期中）课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：
（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)．
若，设厘米，该水槽的横截面面积为厘米，请你写出关于的函数关系式(不必写出的取值范围)，并求出当取何值时，的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)．
若，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的的最大值比较大小．
（2）假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？
【答案】（1）解：方案①将二次函数的解析式由一般式化为顶点式可得：，
当时，取得最大值，最大值为；
②如图所示，过点作于，于，则，
设，梯形的面积为，则，
又∵，
∴，，，
；
当，
∵，
；
（2）解：由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰梯形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①然后根据直角三角形的面积公式即可得出的函数关系式，根据将解析式化为顶点式，即可求出最值；
②过点作于，于，可设为那么也为可用正方形的边长求得．通过构建的直角三角形，用表示出和的长，求出的长，根据梯形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求出函数的最大值；
（）由（）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
（1）解：方案①，
当时，取得最大值，最大值为；
②如图所示，过点作于，于，则，
设，梯形的面积为，则，
又∵，
∴，，，
；
当，
∵，
；
（2）由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
23．（2024九上·珠海期中）已知，在正方形中，点、分别在边和上，连接、交于点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若点为的中点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，的平分线交于点，过点作交于点，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点为的中点，四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形是正方形，，
∴，，，
∴，
结合（2）可得：，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，
过作于，过作于，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出，，根据SAS可证明，根据全等三角形的性质得出，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，根据正方形的性质得出，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）根据正方形的性质可得，，，根据勾股定理求出，结合（2）可得：，，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式可求出，，求得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可证明，根据相似三角形的性质可得，，，，，过作于，过作于，根据角平分线的性质可得，即可求出，，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可证明，根据相似三角形的性质即可求解．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点为的中点，正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵正方形，，
∴，，，
∴，
结合（2）可得：，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，
过作于，过作于，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．（2024九上·珠海期中）已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接，求出的面积最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，若抛物线与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，当是等腰三角形时，求点E的坐标．
【答案】（1）解：抛物线与轴交于点、，
设抛物线的解析式为：，
把代入中，得
，
，
抛物线的解析式为：，
即；
（2）解：设点的坐标为，过点作轴于点，与交于点，如图1，
设直线的解析式为，则
，
解得，
直线的解析式为：，
，
，
∵，
，
∵，
当时，的最大值为，
此时点的坐标为；
（3）解：抛物线，
∴将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，
的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
把代入中，得，
点的坐标为，
设的坐标为；
①当时，则，
即，
解得，，
．
②当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或；
③当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或．
综上，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）设点的坐标为，过点作轴，与交于点，待定系数法求出直线BC的解析式，据此可表述出点M的坐标，根据三角形的面积公式表示的面积，最后根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据抛物线的平移规律求出的解析式，根据抛物线的对称轴求出点Q的坐标，设的坐标为；分三种情况：当时；当时；当时．分别列出关于的纵坐标方程，解方程求出n的值，即可求解．
（1）解：抛物线与轴交于点、，
设抛物线的解析式为：，
把代入中，得
，
，
抛物线的解析式为：，
即；
（2）解：设点的坐标为，过点作轴于点，与交于点，如图1，
设直线的解析式为，则
，
解得，
直线的解析式为：，
，
，
∵，
，
∵，
当时，的最大值为，
此时点的坐标为；
（3）解：抛物线，
∴将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，
的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
把代入中，得，
点的坐标为，
设的坐标为；
①当时，则，
即，
解得，，
．
②当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或；
③当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或．
综上，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或或．
广东省珠海市第十六中学2024—2025学年上学期期中质量监测九年级数学试题
1．（2024九上·珠海期中）将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．（2024九上·珠海期中）下列运动属于旋转的是（ ）
A．足球在草地上滚动 B．火箭升空的运动
C．汽车在急刹车时向前滑行 D．钟表的钟摆动的过程
3．（2024九上·珠海期中）下列关于方程 的结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
4．（2024九上·珠海期中）某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛.设七年级共有个班，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·珠海期中）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·珠海期中）将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·珠海期中）若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·珠海期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是，则小球从抛出到落地所需要的时间是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·珠海期中）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024九上·珠海期中）已知二次函数的图象如图，下列4个结论：①，②，③，④若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．（2024九上·珠海期中）一元二次方程的解是 ．
12．（2024九上·珠海期中）若关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值为 ．
13．（2024九上·珠海期中）如图，将绕着点顺时针旋转，得到，若，则等于 ．
14．（2024九上·珠海期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干，支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为 ．
15．（2024九上·珠海期中）抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 ．
16．（2024九上·珠海期中）如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ．
17．（2024九上·珠海期中）解方程：.
18．（2024九上·珠海期中）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
19．（2024九上·珠海期中）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点的水平距离为时达到最大高度为．
（1）求关于的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
20．（2024九上·珠海期中）2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是万件．
（1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？
21．（2024九上·珠海期中）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线交于点M，，．
（1）求证：；
（2）当时，求的值．
22．（2024九上·珠海期中）课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：
（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)．
若，设厘米，该水槽的横截面面积为厘米，请你写出关于的函数关系式(不必写出的取值范围)，并求出当取何值时，的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)．
若，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的的最大值比较大小．
（2）假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？
23．（2024九上·珠海期中）已知，在正方形中，点、分别在边和上，连接、交于点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若点为的中点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，的平分线交于点，过点作交于点，若，求的长．
24．（2024九上·珠海期中）已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接，求出的面积最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，若抛物线与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，当是等腰三角形时，求点E的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵是一般形式，常数项是，
∴二次项系数和一次项系数分别是和，
故选：C．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数、bx叫做一次项、c叫做常数项即可求解．
2．【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】A、足球在草地上滚动是属于平移，因此A不符合题意；
B、火箭升空的运动是属于平移，因此B不符合题意；
C、汽车在急刹车时向前滑行，是属于平移，因此C不符合题意；
D、钟表的钟摆动的过程，属于旋转，因此D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据旋转是在一个平面内将一个图形绕着某一个点，按某个方向转动一个角度，即可解答此题。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴a=1，b=-5，c=3，
由题意得，，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的判别式判定根的情况：当 ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当 =0时，方程有两个相等的实数根，当 ＜0时，方程没有实数根，由此进行计算判断即可。
4．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得x(x-1)=42，
故答案为：A.
【分析】根据“每两班之间赛两场，共需安排42场”列出关于x的方程即可.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵当时，方程可化为；
∴方程必有一根为．
故选：B.
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解．
6．【答案】B
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为，
故选：B.
【分析】根据二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，进行解答即可.
7．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∵点，，都在二次函数的图象上，且，
∴，
故选：B．
【分析】根据抛物线的解析式可得函数图象的开口向上和对称轴为直线x=2，结合各点离对称轴的距离，根据到对称轴距离越远的点的纵坐标越大，即可求解.
8．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：小球落地，即，所以，
解得或0，
时，即小球还未抛出的时刻，舍去，
∴，
故选：A．
【分析】小球落地，即小球的高度，得出一元二次方程，解方程求出t的值，结合实际问题即可求解.
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解；∵时，一次函数的图象经过一，三，四象限，二次函数的开口向上，
故选：A．
【分析】根据确定一次函数图象经过的象限以及二次函数图象的开口方向，据此即可求解.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴，
，，，
，
，，①②结论正确；
抛物线对称轴为直线，且时，，
时，，
，③结论错误；
方程有四个根，
方程和各有两个根，
设这四个根分别为、、、，
，，
这四个根的和为4，④结论正确，
故选：B．
【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴，与轴交点位置可得出a＜0，b＞0，c＞0，b=-2a，可判断①②结论；根据二次函数图象的对称性可得时，，即可判断③结论；根据二次函数与一元二次方程的关系得出方程和各有两个根，结合一元二次方程根和系数的关系即可求出这四个根的和，可判断④结论．
11．【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴
故答案为：．
【分析】根据直接开平方法求出一元二次方程的解，即可．
12．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根是2，
∴，
解得：．
故答案为：.
【分析】根据能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解，把代入方程，解方程期初a的值即可．
13．【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕着点顺时针旋转，得到，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据旋转前后两个图形的对应角相等，即可求解.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每个支干长出个小分支，
根据题意列方程得：．
故答案为：．
【分析】设每个支干长出个小分支，根据题意可得每个小分支又长出个分支，则共有个分支，据此即可列出方程．
15．【答案】－3＜x＜1
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x=-1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（-3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是-3＜x＜1．
故答案为：-3＜x＜1．
【分析】根据图象可得抛物线的对称轴为x=-1，抛物线与x轴的一个交点为（1，0），根据抛物线的对称性可求出抛物线与x轴的另一交点为（-3，0），结合图象，即可求解.
16．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：作轴于，于，如图：
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，，
设，
点、的坐标分别是、，
，解得，
，
在抛物线的图像上，
，
，
故答案为：．
【分析】作轴于，于，根据正方形的四个角都是直角，四条边都相等得出，，根据等角的余角相等得出，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等可得，根据全等三角形的对应边相等得出，，设，利用，坐标，可得出点坐标，代入，即可得出的值.
17．【答案】解：
，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程进行计算，即可求解.
18．【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，，∴，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，列出不等式，解不等式即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据题意可得得到方程，再解方程求出k的值即可.
19．【答案】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入得：，
抛物线的解析式为（或）.
（2）解：令，则，
解得：，（舍），
的长为．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可求解；
（2）令，解一元二次方程求出x的值，结合实际即可求解.
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入得：，
抛物线的解析式为（或）；
（2）令，则，
解得：，（舍），
的长为．
20．【答案】（1）解：设月平均增长率是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
故月平均增长率是．
（2）解：设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
故售价应降低元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设月平均增长率是，根据题意列出一元二次方程，解方程求出x的值，结合实际意义即可求解；
(2)设售价应降低元，根据“每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量”，列出一元二次方程，解方程求出的值，再结合实际，即可求解.
（1）解：设月平均增长率是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：月平均增长率是．
（2）解：设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：售价应降低元．
21．【答案】（1）证明：，
．
，
，
．
（2）解：，，
．
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）证明：在中 ，，
∴．
，
∴，
在中 ，由外角性质知，
∵，
在中 ，，
∴，
．
（2）解：由（1）知，
，
，
．
【分析】本题的解题关键是通过相似三角形的判定定理（两角对应相等）和性质（对应边成比例）来解题。当遇到图形中包含多个三角形且存在角度相等的关系时，考虑相似三角形的方法可以有效简化问题，找到未知量与已知量之间的关系，进而求解。
（1）先由得到，再由进一步得，易证；
（2）先求出．再由可以得到，然后代入数值即可得到答案．
22．【答案】（1）解：方案①将二次函数的解析式由一般式化为顶点式可得：，
当时，取得最大值，最大值为；
②如图所示，过点作于，于，则，
设，梯形的面积为，则，
又∵，
∴，，，
；
当，
∵，
；
（2）解：由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰梯形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①然后根据直角三角形的面积公式即可得出的函数关系式，根据将解析式化为顶点式，即可求出最值；
②过点作于，于，可设为那么也为可用正方形的边长求得．通过构建的直角三角形，用表示出和的长，求出的长，根据梯形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求出函数的最大值；
（）由（）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
（1）解：方案①，
当时，取得最大值，最大值为；
②如图所示，过点作于，于，则，
设，梯形的面积为，则，
又∵，
∴，，，
；
当，
∵，
；
（2）由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
23．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点为的中点，四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形是正方形，，
∴，，，
∴，
结合（2）可得：，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，
过作于，过作于，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出，，根据SAS可证明，根据全等三角形的性质得出，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，根据正方形的性质得出，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）根据正方形的性质可得，，，根据勾股定理求出，结合（2）可得：，，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式可求出，，求得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可证明，根据相似三角形的性质可得，，，，，过作于，过作于，根据角平分线的性质可得，即可求出，，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可证明，根据相似三角形的性质即可求解．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点为的中点，正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵正方形，，
∴，，，
∴，
结合（2）可得：，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，
过作于，过作于，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：抛物线与轴交于点、，
设抛物线的解析式为：，
把代入中，得
，
，
抛物线的解析式为：，
即；
（2）解：设点的坐标为，过点作轴于点，与交于点，如图1，
设直线的解析式为，则
，
解得，
直线的解析式为：，
，
，
∵，
，
∵，
当时，的最大值为，
此时点的坐标为；
（3）解：抛物线，
∴将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，
的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
把代入中，得，
点的坐标为，
设的坐标为；
①当时，则，
即，
解得，，
．
②当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或；
③当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或．
综上，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）设点的坐标为，过点作轴，与交于点，待定系数法求出直线BC的解析式，据此可表述出点M的坐标，根据三角形的面积公式表示的面积，最后根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据抛物线的平移规律求出的解析式，根据抛物线的对称轴求出点Q的坐标，设的坐标为；分三种情况：当时；当时；当时．分别列出关于的纵坐标方程，解方程求出n的值，即可求解．
（1）解：抛物线与轴交于点、，
设抛物线的解析式为：，
把代入中，得
，
，
抛物线的解析式为：，
即；
（2）解：设点的坐标为，过点作轴于点，与交于点，如图1，
设直线的解析式为，则
，
解得，
直线的解析式为：，
，
，
∵，
，
∵，
当时，的最大值为，
此时点的坐标为；
（3）解：抛物线，
∴将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，
的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
把代入中，得，
点的坐标为，
设的坐标为；
①当时，则，
即，
解得，，
．
②当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或；
③当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或．
综上，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或或．
