重庆市渝北实验中学校2024-2025学年八年级上学期数学开学自测模拟试题
1．（2024八上·渝北开学考）下列各数中是无理数的是（ ）
A． B．0.5
C．面积为2的正方形边长 D．
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：对A，是无限循环小数，属于有理数，故A不符合题意；
对B，0.5是有理数，故B不符合题意；
对C，面积为2的正方形边长为是无理数，故C符合题意；
对D，是分数，属于有理数，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据无理数与有理数的定义及区别，分别判断各选项即可.
2．（2024八上·渝北开学考）在平面直角坐标系中，点 所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点P（-3，5）在第二象限。
故答案为：B.
【分析】根各个象限内的点的坐标特征判断即可。
3．（2024八上·渝北开学考）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A．了解某校一个班学生的睡眠情况
B．调查一批节能灯泡的使用寿命
C．企业招聘，对应聘人员进行面试
D．乘客进汽车站时安全检查
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解某校一个班学生的睡眠情况，适宜采用全面调查方式，此选项不符合题意；
B、调查一批节能灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查方式，此选项符合题意；
C、企业招聘，对应聘人员进行面试，适宜采用全面调查方式，此选项不符合题意；
D、乘客进汽车站时安全检查，适宜采用全面调查方式，此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】采用抽样调查时，应该能够保证被抽中的调查样本在总体中的合理、均匀分布，调查出现倾向性偏差的可能性较小，样本对总体的代表性很强；由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似；根据这两种调查的特点和题意即可求解.
4．（2024八上·渝北开学考）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，当x=-1、y=-2时，x2＜y2，
∴不一定成立，
故此选项不符合题意；
B、∵，又∵，
∴，
故此选项符合题意；
C、∵，
∴，
∴，
∴不成立，
故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴不成立，
故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”逐项判定即可求解．
5．（2024八上·渝北开学考）估计的值应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
即的值在3到4之间，
故答案为：C．
【分析】根据有理数大小的比较可先估算出的范围，然后根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”确定的范围，根据范围即可求解．
6．（2024八上·渝北开学考）将一个直角三角板和一把直尺按如图方式摆放，三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（ ）
A．28° B．52° C．62° D．72°
【答案】C
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：由题意得，
∵∠1=28°，∠1+∠3+∠4=180°，
∴，
∵直尺两边平行，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据平角的性质可求得的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求解．
7．（2024八上·渝北开学考）下列说法正确的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，但是相等的两个角不一定是对顶角，如角的平分线分得的两个角，相等但此选项不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此选项不符合题意；
C、从直线外一点到这条直线上的各点连接的所有线段中，垂线段最短，符合垂线段的定义，此选项符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】A、通过举反例"角的平分线分得的两个角相等但不是对顶角“即可判断求解；
B、通过举反例"当这个点在直线上时不能作平行线“即可判断求解；
C、根据垂线段的性质即可判断求解；
D、根据垂线的性质即可求解．
8．（2024八上·渝北开学考）如图，若直线与相交于点，平分，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，平分，
∴∠DOF=∠BOD=29°，
∵，
∴，
∵∠COE+∠DOE=180°，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义求得，根据垂线的定义可求出∠DOE的度数，然后由邻补角的定义即可求解．
9．（2024八上·渝北开学考）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中一道题，原文是：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗：下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？”意思是：今有上禾七捆，减去一斗谷，加上下禾二捆，一共能打十斗谷：下禾八捆，加上一斗谷，再加上上禾二捆，一共能打十斗谷．问一捆上禾、一捆下禾各打几斗谷？设一捆上禾打x斗谷，一捆下禾打y斗谷，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设一捆上禾打x斗谷，一捆下禾打y斗谷，
由题意得，，
故选：D．
【分析】由题意：上禾七捆，减去一斗谷，加上下禾二捆，一共能打十斗谷可得方程，根据下禾八捆，加上一斗谷，再加上上禾二捆可得方程，据此列出方程组即可．
10．（2024八上·渝北开学考）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2024
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：关于，的二元一次方程组的解为， 且
，
，即，
，
故答案为：A．
【分析】利用已知关于，的二元一次方程组的解为，方程组可看着是关于（3m+n）和（m+3n）的二元一次方程组，由此可得到关于m，n的方程组，利用方程组中系数的特点可求出m+n的值，然后整体代入求值.
11．（2024八上·渝北开学考）= ．
【答案】
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】利用立方根的性质求解即可。
12．（2024八上·渝北开学考）若点 在 轴上，则点 的坐标为 .
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：因为点P（m+1，m-2）在x轴上，
所以m-2=0，解得m=2，
当m=2时，点P的坐标为（3，0）.
故答案为：（3，0）.
【分析】位于x轴上的点，纵坐标为0，据此可得m-2=0，求出m的值，进而可得点P的坐标.
13．（2024八上·渝北开学考）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ 关于的不等式的解集为，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”可得关于a的不等式，解不等式即可求解．
14．（2024八上·渝北开学考）实数a在数轴上的取值范围如图所示，化简： ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：由数轴可知，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】观察数轴可得到a的取值范围，由此可确定出a-2和a-3的符号，然后利用二次根式的性质和绝对值的性质化简即可.
15．（2024八上·渝北开学考）如图，，，平分交于点F，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
，
平分，
，
∵，
．
故答案为：．
【分析】由平行线的性质“两直线平行同位角相等”可得，，然后根据角平分线定义即可求解．
16．（2024八上·渝北开学考）如图，将长方形沿对折，的对应边与交于点，若，则 ．
【答案】50
【知识点】矩形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，∴，，
∴，
∴，
由折叠得，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用矩形的性质和平行线的性质可证得∠B=90°，同时可求出∠AEF的度数，利用邻补角的定义求出∠BEF的度数，再利用折叠的性质可求出∠H，∠GFE，∠HEF的度数，从而可求出∠MEH的度数，再利用直角三角形的两锐角互余可求出∠HME的度数，即可求出∠GMA的度数.
17．（2024八上·渝北开学考）已知关于x的方程的解为负数，且关于y的不等式组有解且至多有三个整数解，则满足条件的所有整数m的值之和为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：不等式组的解集为：
，
∵不等式组至多有三个整数解，
∴整数解为，
∴，
解得：，
∵方程的解为：，
且方程的解为负数，
∴，
解得：，
∴5＜m≤7，
∴整数m的值为和，
其和为：.
故答案为：．
【分析】先根据不等式组有三个整数解可得m的取值范围，再根据方程的解为负数可得关于m的不等式解不等式求出m的范围，结合这两个m的范围即可求得m的值，求和即可求解．
18．（2024八上·渝北开学考）对于一个四位自然数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与十位数字之和等于9，百位数字与个位数字之和也等于9，那么称这个数n为“永恒数”．对于一个“永恒数”，记为．例如：，因为，所以是一个“永恒数”，．则 ；若一个四位自然数m是“永恒数”，且为整数，则满足条件四位自然数m的最大值为
【答案】33；9702 .
【知识点】探索数与式的规律；竞赛类试题
【解析】【解答】解：第一空：根据“永恒数“定义可得：
；
故答案为：33；
第二空：根据“永恒数“定义可设，其中，且x，y都是整数，，
∴，
∵是整数，
∴是整数，
∵且x是千分位，要使m的值最大，则x取最大，
∴x可取最大值9，则十分位数字．
∴
∵，且y与均是整数，又y是百分位且x≠y，要使m的值最大，只需，则个位数字为：．
∴满足条件四位自然数m的最大值为9702，
故答案为：9702．
【分析】第一空：根据“永恒数“的定义计算即可求解；
第二空：根据“永恒数“的定义可设，其中，且x，y都是整数，，可得，而是整数，可知是整数，即可求出，又，且必须是整数，故y最大为7，于是可得满足条件四位自然数m的最大值为9702．
19．（2024八上·渝北开学考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）此题的运算顺序：利用算术平方根和立方根的性质，先算开方运算，再利用有理数的加减法法则进行计算.
（2）利用算术平方根、立方根的的性质先算开方运算同时化简绝对值，然后合并即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．（2024八上·渝北开学考）解方程组∶
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
将②代入①得，得，
解得，
把代入②，得．
故原方程组的解为
（2）解：，
由②得，
将代入①得，得，
解得，
把代入，得．
故原方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）方程组中的两个方程的第二个方程是用含x的代数式表示y，因此将②代入①消去y可求出x的值，然后求出y的值，即可得到方程组的解.
（1）观察方程组中的第二个方程，y的系数为-1，因此用含x的代数式表示y，将其代入方程①，消去y，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，再求出y的值，可得到方程组的解.
（1），
将②代入①得，得，
解得，
把代入②，得．
故原方程组的解为．
（2），
由②得，
将代入①得，得，
解得，
把代入，得．
故原方程组的解为．
21．（2024八上·渝北开学考）（1）解不等式 并在数轴上表示出它的解集；
（2）解不等式组
【答案】解：（1）去分母得，
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化为1得，；
在数轴上表示如下：
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）按照去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1得步骤解一元一次不等式，并把解集表示在数轴上即可；
（2）求出每个不等式的解集，取公共部分即可．
22．（2024八上·渝北开学考）完成下面推理填空：
如图，E，F分别在AB和CD上，，与互余，于G．
求证：．
证明：∵，∴（______），
∵（已知），∴____________（______），
∴（______），
∵（平角的定义），∴．
∵与互余（已知），∴（互余的定义），
∴（______），∴（______）．
【答案】垂直的定义；AF，DE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明：∵
∴（垂直的定义）
∵（已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（平角的定义）
∴．
∵与互余（已知）
∴（互余的定义），
∴（同角的余角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；AF，DE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【分析】根据垂直定义可知，根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可得AF∥DE，由平行线的性质“两直线平行同位角相等”可得∠4=∠CGF=90°，根据"同角的余角相等"可得∠C=∠3，然后由"内错角相等两直线平行"可求解.
23．（2024八上·渝北开学考）如图，三角形中，A，B，C的坐标分别为，，，将这个三角形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到三角形．
（1）在图中画出三角形；
（2）写出点，，的坐标；
（3）在y轴上是否存在点M，使得三角形的面积为4，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：如图，
∴三角形即为所求．
（2）解：由图可得：，，；
（3）解：设点的坐标为，
三角形的面积为4，
，
解得：或，
点的坐标为或．
答：点的坐标为或．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作图即可求解；
（2）根据平移的点的坐标变化特征“左减右加、上加下减”即可求解；
（3）设点的坐标为，根据题意可列关于m的方程：，解方程求出的值即可求解．
24．（2024八上·渝北开学考）我市七年级有2000名学生参加网上“预防电信诈骗”知识竞赛，为了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从中抽取了若干名学生的得分进行统计．
成绩x（分） 频数 频率
14 a
16 0.08
b 0.18
62 c
72 0.36
请根据不完整的表格，解答下列问题：
（1）填空：_________，__________，__________；
（2）补全如图所示的频数分布直方图；
（3）若80分及以上的为优秀，请通过计算估计参加竞赛的七年级学生中获得优秀的人数．
【答案】（1）0.07；36；0.31
（2）解：补全直方图如图所示．
（3）解：（人）
答：估计参加竞赛的七年级学生中获得优秀的人数有1300人
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：本次调查的样本容量为，
∴，
，
；
故答案为：0.07；36；0.31.
【分析】（1）利用第二组的频数除以频率，求出本次调查的样本容量，再利用频数除以样本容量=频率，可求出a和c的值；，然后利用样本容量乘以频率=频数，可求出b的值.
（2）利用（1）中b的值，将频数分布直方图补充完整即可.
（3）利用我市七年级学生的总人数乘以样本中获得优秀的学生的频率，列式计算即可.
（1）解：本次调查的样本容量为，
∴，
，
；
故答案为：0.07，36，0.31
（2）解：补全直方图如图所示．
（3）解：（人）
答：估计参加竞赛的七年级学生中获得优秀的人数有1300人．
25．（2024八上·渝北开学考）某公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在这辆客车都坐满的情况下，共载客人．
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆）
日租金（元/辆）
（1）求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？
（2）某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过元．
①至少要租用多少辆甲型客车？
②若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．
【答案】（1）解：设甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆，由题意得，，
解得，
答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆
（2）解：①设租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴至少要租用辆甲型客车；
②由题意得，，
解得，
∴，
∵为整数，
∴或或，
∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；
方案的租车费用：元；
方案的租车费用：元；
方案的租车费用：元；
∵，
∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（）此题的等量关系为：甲种型号客车的数量+ 乙种型号客车的数量=20；甲种型号客车的数量×每一辆甲种型号客车的载客量+ 乙种型号客车的数量×每一辆乙种型号客车的载客量=720；据此设未知数，列方程组，求解即可.
（）①设租用甲种型号的客车辆，根据甲种型号客车的数量+ 乙种型号客车的数量=10，可表示出租用乙种型号的客车的数量，根据 该中学租车的总费用不超过元 可得到关于a的不等式，然后求出不等式的最小整数解即可； ②根据七年级的师生共有人，可得到关于a的不等式，可求出不等式的解集；结合 ①中a的取值范围，可得到a的取值范围，从而可求出整数a的值，然后写出具体的租车方案，并计算出最省钱的租车方案.
（1）解：设甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆，
由题意得，，
解得，
答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆；
（2）解：①设租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，
由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴至少要租用辆甲型客车；
②由题意得，，
解得，
∴，
∵为整数，
∴或或，
∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；
方案的租车费用：元；
方案的租车费用：元；
方案的租车费用：元；
∵，
∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车．
26．（2024八上·渝北开学考）已知直线，点和点分别在直线和上，点在直线之间，连接．
（1）如图，若，，则 ；
（2）如图，若点是直线下方一点，连接与直线交于点，连接，分别是的角平分线，已知，．求的度数？
（3）如图，连接，点在点右侧且在直线上，过点在下方作，垂足为点，若，，平分．将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转过程中，射线在内部且，设旋转时间为秒，直接写出与的任意一条边平行时的值．
【答案】（1）85
（2）解：∵分别是的角平分线，∴，，
由()可得，，
∴，
解得，
∴，
如图，作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为；
（3）或．
【知识点】平行公理及推论；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：如图，作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
过作与的一条边平行，
由题意知，分，，三种情况，
当即时，如图①，
∴，
∵，
∴，此情况不成立；
当，即时，如图②，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴旋转了，
∴；
当，即时，如图③，
∵
∴，
∵，
∴，
∴旋转了，
∴；
综上，当与的一条边平行时，的值为或．
【分析】（）过点E作EF∥AB，利用平行线公理及推论可证得AB∥EF∥CD，利用平行线的性质可求出∠MEF，∠NEF的度数，由此可求出∠MEN的度数.
（）由角平分线的定义可求出∠BME的度数，同时可证得，由（1）的结论可求出∠DNE及∠DNF的度数；如图，作，得，又由平行公理的推论得，即得到，最后利用角的和差关系即可求解；
（）利用角平分线可得，利用角平分线的概念可求出∠BME的度数，利用平行线的性质可得到∠MND的度数及∠DNE的度数；过作与的一条边平行，再分，，三种情况分别画出图形，利用旋转的性质，分别求出t的值.
（1）解：如图，作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵分别是的角平分线，
∴，，
由()可得，，
∴，
解得，
∴，
如图，作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为；
（3）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
过作与的一条边平行，由题意知，分，，三种情况，
当即时，如图①，
∴，
∵，
∴，此情况不成立；
当，即时，如图②，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴旋转了，
∴；
当，即时，如图③，
∵
∴，
∵，
∴，
∴旋转了，
∴；
综上，当与的一条边平行时，的值为或．
重庆市渝北实验中学校2024-2025学年八年级上学期数学开学自测模拟试题
1．（2024八上·渝北开学考）下列各数中是无理数的是（ ）
A． B．0.5
C．面积为2的正方形边长 D．
2．（2024八上·渝北开学考）在平面直角坐标系中，点 所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024八上·渝北开学考）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A．了解某校一个班学生的睡眠情况
B．调查一批节能灯泡的使用寿命
C．企业招聘，对应聘人员进行面试
D．乘客进汽车站时安全检查
4．（2024八上·渝北开学考）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八上·渝北开学考）估计的值应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
6．（2024八上·渝北开学考）将一个直角三角板和一把直尺按如图方式摆放，三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（ ）
A．28° B．52° C．62° D．72°
7．（2024八上·渝北开学考）下列说法正确的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
8．（2024八上·渝北开学考）如图，若直线与相交于点，平分，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·渝北开学考）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中一道题，原文是：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗：下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？”意思是：今有上禾七捆，减去一斗谷，加上下禾二捆，一共能打十斗谷：下禾八捆，加上一斗谷，再加上上禾二捆，一共能打十斗谷．问一捆上禾、一捆下禾各打几斗谷？设一捆上禾打x斗谷，一捆下禾打y斗谷，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024八上·渝北开学考）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2024
11．（2024八上·渝北开学考）= ．
12．（2024八上·渝北开学考）若点 在 轴上，则点 的坐标为 .
13．（2024八上·渝北开学考）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．
14．（2024八上·渝北开学考）实数a在数轴上的取值范围如图所示，化简： ．
15．（2024八上·渝北开学考）如图，，，平分交于点F，若，则的度数为 ．
16．（2024八上·渝北开学考）如图，将长方形沿对折，的对应边与交于点，若，则 ．
17．（2024八上·渝北开学考）已知关于x的方程的解为负数，且关于y的不等式组有解且至多有三个整数解，则满足条件的所有整数m的值之和为 ．
18．（2024八上·渝北开学考）对于一个四位自然数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与十位数字之和等于9，百位数字与个位数字之和也等于9，那么称这个数n为“永恒数”．对于一个“永恒数”，记为．例如：，因为，所以是一个“永恒数”，．则 ；若一个四位自然数m是“永恒数”，且为整数，则满足条件四位自然数m的最大值为
19．（2024八上·渝北开学考）计算：
（1）；
（2）．
20．（2024八上·渝北开学考）解方程组∶
（1）
（2）
21．（2024八上·渝北开学考）（1）解不等式 并在数轴上表示出它的解集；
（2）解不等式组
22．（2024八上·渝北开学考）完成下面推理填空：
如图，E，F分别在AB和CD上，，与互余，于G．
求证：．
证明：∵，∴（______），
∵（已知），∴____________（______），
∴（______），
∵（平角的定义），∴．
∵与互余（已知），∴（互余的定义），
∴（______），∴（______）．
23．（2024八上·渝北开学考）如图，三角形中，A，B，C的坐标分别为，，，将这个三角形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到三角形．
（1）在图中画出三角形；
（2）写出点，，的坐标；
（3）在y轴上是否存在点M，使得三角形的面积为4，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．
24．（2024八上·渝北开学考）我市七年级有2000名学生参加网上“预防电信诈骗”知识竞赛，为了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从中抽取了若干名学生的得分进行统计．
成绩x（分） 频数 频率
14 a
16 0.08
b 0.18
62 c
72 0.36
请根据不完整的表格，解答下列问题：
（1）填空：_________，__________，__________；
（2）补全如图所示的频数分布直方图；
（3）若80分及以上的为优秀，请通过计算估计参加竞赛的七年级学生中获得优秀的人数．
25．（2024八上·渝北开学考）某公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在这辆客车都坐满的情况下，共载客人．
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆）
日租金（元/辆）
（1）求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？
（2）某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过元．
①至少要租用多少辆甲型客车？
②若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．
26．（2024八上·渝北开学考）已知直线，点和点分别在直线和上，点在直线之间，连接．
（1）如图，若，，则 ；
（2）如图，若点是直线下方一点，连接与直线交于点，连接，分别是的角平分线，已知，．求的度数？
（3）如图，连接，点在点右侧且在直线上，过点在下方作，垂足为点，若，，平分．将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转过程中，射线在内部且，设旋转时间为秒，直接写出与的任意一条边平行时的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：对A，是无限循环小数，属于有理数，故A不符合题意；
对B，0.5是有理数，故B不符合题意；
对C，面积为2的正方形边长为是无理数，故C符合题意；
对D，是分数，属于有理数，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据无理数与有理数的定义及区别，分别判断各选项即可.
2．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点P（-3，5）在第二象限。
故答案为：B.
【分析】根各个象限内的点的坐标特征判断即可。
3．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解某校一个班学生的睡眠情况，适宜采用全面调查方式，此选项不符合题意；
B、调查一批节能灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查方式，此选项符合题意；
C、企业招聘，对应聘人员进行面试，适宜采用全面调查方式，此选项不符合题意；
D、乘客进汽车站时安全检查，适宜采用全面调查方式，此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】采用抽样调查时，应该能够保证被抽中的调查样本在总体中的合理、均匀分布，调查出现倾向性偏差的可能性较小，样本对总体的代表性很强；由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似；根据这两种调查的特点和题意即可求解.
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，当x=-1、y=-2时，x2＜y2，
∴不一定成立，
故此选项不符合题意；
B、∵，又∵，
∴，
故此选项符合题意；
C、∵，
∴，
∴，
∴不成立，
故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴不成立，
故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”逐项判定即可求解．
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
即的值在3到4之间，
故答案为：C．
【分析】根据有理数大小的比较可先估算出的范围，然后根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”确定的范围，根据范围即可求解．
6．【答案】C
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：由题意得，
∵∠1=28°，∠1+∠3+∠4=180°，
∴，
∵直尺两边平行，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据平角的性质可求得的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求解．
7．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，但是相等的两个角不一定是对顶角，如角的平分线分得的两个角，相等但此选项不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此选项不符合题意；
C、从直线外一点到这条直线上的各点连接的所有线段中，垂线段最短，符合垂线段的定义，此选项符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】A、通过举反例"角的平分线分得的两个角相等但不是对顶角“即可判断求解；
B、通过举反例"当这个点在直线上时不能作平行线“即可判断求解；
C、根据垂线段的性质即可判断求解；
D、根据垂线的性质即可求解．
8．【答案】C
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，平分，
∴∠DOF=∠BOD=29°，
∵，
∴，
∵∠COE+∠DOE=180°，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义求得，根据垂线的定义可求出∠DOE的度数，然后由邻补角的定义即可求解．
9．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设一捆上禾打x斗谷，一捆下禾打y斗谷，
由题意得，，
故选：D．
【分析】由题意：上禾七捆，减去一斗谷，加上下禾二捆，一共能打十斗谷可得方程，根据下禾八捆，加上一斗谷，再加上上禾二捆可得方程，据此列出方程组即可．
10．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：关于，的二元一次方程组的解为， 且
，
，即，
，
故答案为：A．
【分析】利用已知关于，的二元一次方程组的解为，方程组可看着是关于（3m+n）和（m+3n）的二元一次方程组，由此可得到关于m，n的方程组，利用方程组中系数的特点可求出m+n的值，然后整体代入求值.
11．【答案】
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】利用立方根的性质求解即可。
12．【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：因为点P（m+1，m-2）在x轴上，
所以m-2=0，解得m=2，
当m=2时，点P的坐标为（3，0）.
故答案为：（3，0）.
【分析】位于x轴上的点，纵坐标为0，据此可得m-2=0，求出m的值，进而可得点P的坐标.
13．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ 关于的不等式的解集为，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”可得关于a的不等式，解不等式即可求解．
14．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：由数轴可知，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】观察数轴可得到a的取值范围，由此可确定出a-2和a-3的符号，然后利用二次根式的性质和绝对值的性质化简即可.
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
，
平分，
，
∵，
．
故答案为：．
【分析】由平行线的性质“两直线平行同位角相等”可得，，然后根据角平分线定义即可求解．
16．【答案】50
【知识点】矩形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，∴，，
∴，
∴，
由折叠得，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用矩形的性质和平行线的性质可证得∠B=90°，同时可求出∠AEF的度数，利用邻补角的定义求出∠BEF的度数，再利用折叠的性质可求出∠H，∠GFE，∠HEF的度数，从而可求出∠MEH的度数，再利用直角三角形的两锐角互余可求出∠HME的度数，即可求出∠GMA的度数.
17．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：不等式组的解集为：
，
∵不等式组至多有三个整数解，
∴整数解为，
∴，
解得：，
∵方程的解为：，
且方程的解为负数，
∴，
解得：，
∴5＜m≤7，
∴整数m的值为和，
其和为：.
故答案为：．
【分析】先根据不等式组有三个整数解可得m的取值范围，再根据方程的解为负数可得关于m的不等式解不等式求出m的范围，结合这两个m的范围即可求得m的值，求和即可求解．
18．【答案】33；9702 .
【知识点】探索数与式的规律；竞赛类试题
【解析】【解答】解：第一空：根据“永恒数“定义可得：
；
故答案为：33；
第二空：根据“永恒数“定义可设，其中，且x，y都是整数，，
∴，
∵是整数，
∴是整数，
∵且x是千分位，要使m的值最大，则x取最大，
∴x可取最大值9，则十分位数字．
∴
∵，且y与均是整数，又y是百分位且x≠y，要使m的值最大，只需，则个位数字为：．
∴满足条件四位自然数m的最大值为9702，
故答案为：9702．
【分析】第一空：根据“永恒数“的定义计算即可求解；
第二空：根据“永恒数“的定义可设，其中，且x，y都是整数，，可得，而是整数，可知是整数，即可求出，又，且必须是整数，故y最大为7，于是可得满足条件四位自然数m的最大值为9702．
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）此题的运算顺序：利用算术平方根和立方根的性质，先算开方运算，再利用有理数的加减法法则进行计算.
（2）利用算术平方根、立方根的的性质先算开方运算同时化简绝对值，然后合并即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．【答案】（1）解：，
将②代入①得，得，
解得，
把代入②，得．
故原方程组的解为
（2）解：，
由②得，
将代入①得，得，
解得，
把代入，得．
故原方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）方程组中的两个方程的第二个方程是用含x的代数式表示y，因此将②代入①消去y可求出x的值，然后求出y的值，即可得到方程组的解.
（1）观察方程组中的第二个方程，y的系数为-1，因此用含x的代数式表示y，将其代入方程①，消去y，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，再求出y的值，可得到方程组的解.
（1），
将②代入①得，得，
解得，
把代入②，得．
故原方程组的解为．
（2），
由②得，
将代入①得，得，
解得，
把代入，得．
故原方程组的解为．
21．【答案】解：（1）去分母得，
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化为1得，；
在数轴上表示如下：
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）按照去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1得步骤解一元一次不等式，并把解集表示在数轴上即可；
（2）求出每个不等式的解集，取公共部分即可．
22．【答案】垂直的定义；AF，DE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明：∵
∴（垂直的定义）
∵（已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（平角的定义）
∴．
∵与互余（已知）
∴（互余的定义），
∴（同角的余角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；AF，DE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【分析】根据垂直定义可知，根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可得AF∥DE，由平行线的性质“两直线平行同位角相等”可得∠4=∠CGF=90°，根据"同角的余角相等"可得∠C=∠3，然后由"内错角相等两直线平行"可求解.
23．【答案】（1）解：如图，
∴三角形即为所求．
（2）解：由图可得：，，；
（3）解：设点的坐标为，
三角形的面积为4，
，
解得：或，
点的坐标为或．
答：点的坐标为或．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作图即可求解；
（2）根据平移的点的坐标变化特征“左减右加、上加下减”即可求解；
（3）设点的坐标为，根据题意可列关于m的方程：，解方程求出的值即可求解．
24．【答案】（1）0.07；36；0.31
（2）解：补全直方图如图所示．
（3）解：（人）
答：估计参加竞赛的七年级学生中获得优秀的人数有1300人
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：本次调查的样本容量为，
∴，
，
；
故答案为：0.07；36；0.31.
【分析】（1）利用第二组的频数除以频率，求出本次调查的样本容量，再利用频数除以样本容量=频率，可求出a和c的值；，然后利用样本容量乘以频率=频数，可求出b的值.
（2）利用（1）中b的值，将频数分布直方图补充完整即可.
（3）利用我市七年级学生的总人数乘以样本中获得优秀的学生的频率，列式计算即可.
（1）解：本次调查的样本容量为，
∴，
，
；
故答案为：0.07，36，0.31
（2）解：补全直方图如图所示．
（3）解：（人）
答：估计参加竞赛的七年级学生中获得优秀的人数有1300人．
25．【答案】（1）解：设甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆，由题意得，，
解得，
答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆
（2）解：①设租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴至少要租用辆甲型客车；
②由题意得，，
解得，
∴，
∵为整数，
∴或或，
∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；
方案的租车费用：元；
方案的租车费用：元；
方案的租车费用：元；
∵，
∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（）此题的等量关系为：甲种型号客车的数量+ 乙种型号客车的数量=20；甲种型号客车的数量×每一辆甲种型号客车的载客量+ 乙种型号客车的数量×每一辆乙种型号客车的载客量=720；据此设未知数，列方程组，求解即可.
（）①设租用甲种型号的客车辆，根据甲种型号客车的数量+ 乙种型号客车的数量=10，可表示出租用乙种型号的客车的数量，根据 该中学租车的总费用不超过元 可得到关于a的不等式，然后求出不等式的最小整数解即可； ②根据七年级的师生共有人，可得到关于a的不等式，可求出不等式的解集；结合 ①中a的取值范围，可得到a的取值范围，从而可求出整数a的值，然后写出具体的租车方案，并计算出最省钱的租车方案.
（1）解：设甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆，
由题意得，，
解得，
答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆；
（2）解：①设租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，
由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴至少要租用辆甲型客车；
②由题意得，，
解得，
∴，
∵为整数，
∴或或，
∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；
方案的租车费用：元；
方案的租车费用：元；
方案的租车费用：元；
∵，
∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车．
26．【答案】（1）85
（2）解：∵分别是的角平分线，∴，，
由()可得，，
∴，
解得，
∴，
如图，作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为；
（3）或．
【知识点】平行公理及推论；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：如图，作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
过作与的一条边平行，
由题意知，分，，三种情况，
当即时，如图①，
∴，
∵，
∴，此情况不成立；
当，即时，如图②，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴旋转了，
∴；
当，即时，如图③，
∵
∴，
∵，
∴，
∴旋转了，
∴；
综上，当与的一条边平行时，的值为或．
【分析】（）过点E作EF∥AB，利用平行线公理及推论可证得AB∥EF∥CD，利用平行线的性质可求出∠MEF，∠NEF的度数，由此可求出∠MEN的度数.
（）由角平分线的定义可求出∠BME的度数，同时可证得，由（1）的结论可求出∠DNE及∠DNF的度数；如图，作，得，又由平行公理的推论得，即得到，最后利用角的和差关系即可求解；
（）利用角平分线可得，利用角平分线的概念可求出∠BME的度数，利用平行线的性质可得到∠MND的度数及∠DNE的度数；过作与的一条边平行，再分，，三种情况分别画出图形，利用旋转的性质，分别求出t的值.
（1）解：如图，作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵分别是的角平分线，
∴，，
由()可得，，
∴，
解得，
∴，
如图，作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为；
（3）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
过作与的一条边平行，由题意知，分，，三种情况，
当即时，如图①，
∴，
∵，
∴，此情况不成立；
当，即时，如图②，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴旋转了，
∴；
当，即时，如图③，
∵
∴，
∵，
∴，
∴旋转了，
∴；
综上，当与的一条边平行时，的值为或．
