新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题
1．（2024九上·伊犁哈萨克期末）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·伊犁哈萨克期末）下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①，②，③，④．
A． B． C． D．
3．（2024九上·伊犁哈萨克期末）将抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·伊犁哈萨克期末）下列说法中正确的是（ ）
A．“过圆内一点的直线与圆相交”是随机事件
B．“方程有两个不相等的实数根”是必然事件
C．“二次函数与轴相交”是不可能事件
D．“过平面内三点可画圆”是必然事件
5．（2024九上·伊犁哈萨克期末）过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上
C．点在圆内 D．以上都有可能
6．（2024九上·伊犁哈萨克期末）函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜﹣2，则（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y1＝y2 D．y1、y2的大小不确定
7．（2024九上·伊犁哈萨克期末）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是( )
A．20cm2 B．20πcm2 C．15cm2 D．15πcm2
8．（2024九上·伊犁哈萨克期末）近年来某县加大了对教育经费的投入，2019年投入2500万元，2021 年预计投入3500万元。假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程。则下列方程正确的是（ ）
A．2500x2=3500 B．2500(1+x)2=3500
C．2500 (1+x%)2=3500 D．2500(1+x)+2500(1+x)2=3500
9．（2024九上·伊犁哈萨克期末）若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）
A．6，3 B．3，3 C．6，3 D．6，3
10．（2024九上·伊犁哈萨克期末）已知二次函数的图象如图所示，给出以下四个结论：；；；；，其中，正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
11．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，分别切于A、B，，C是劣弧上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交于点E、F．则的周长为 ．
12．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝，∠B＝60°，则CD的长为 ．
13．（2024九上·伊犁哈萨克期末）若关于x的一元二次方程 （a≠0）的一个解是 ，则 的值是
14．（2024九上·伊犁哈萨克期末）若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 ．
15．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示求小路的宽是多少？设小路的宽是，根据题意可列方程为 ．
16．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，四边形为的内接四边形，是延长线上一点，已知，则的度数为 ．
17．（2024九上·伊犁哈萨克期末）抛物线和y=-3x2形状相同，方向相反，且顶点为（-1，3），则它的关系式为 ．
18．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去若点，，则点的坐标为 ．
19．（2024九上·伊犁哈萨克期末）某学校“体育课外活动兴趣小组”，开设了以下体育课外活动项目：A．足球 B．乒乓球C．羽毛球 D．篮球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人，在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数为 ；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加市里组织的乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
20．（2024九上·伊犁哈萨克期末）用适当的方法解方程
（1）
（2）
21．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为个单位，在平面直角坐标系内，的顶点、分别为，．
（1）画出绕点逆时针旋转后的；
（2）在（1）的条件下，求出旋转过程中点所经过的路径长结果保留．
22．（2024九上·伊犁哈萨克期末）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果每天获得元的利润，销售单价为多少元？
23．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E．过点D作于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为4，．求阴影部分的面积．
24．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线交x轴于A，C两点，与直线交于A，B两点，直线与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
（3）点P在直线上方的抛物线上运动，若的面积最大，求此时点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.既是中心对称图形也是轴对称图形，故A不符合题意；
B.是中心对称图形但不是轴对称图形，故B符合题意；
C.既是中心对称图形也是轴对称图形，故C不符合题意；
D.既是中心对称图形也是轴对称图形，故D不符合题意，
故答案为：B
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①是一元二次方程；
②含有两个未知数，不是一元二次方程；
③不是整式方程，不是一元二次方程；
④是一元二次方程．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位为：，
则平移后的抛物线的顶点坐标为：．
故答案为：A
【分析】根据抛物线平移规律：上加下减（对y），左加右减（对x），即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；圆的相关概念；直线与圆的位置关系；事件的分类；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A．“过圆内一点的直线与圆相交”是必然事件，此选项不符合题意；
B．，故“方程有两个不相等的实数根”是必然事件，此选项符合题意；
C．“二次函数与轴相交”是随机事件，此选项不符合题意；
D．“过平面内三点可画圆”是随机事件，此选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据直线与圆的关系、一元二次方程的根、二次函数图象与轴的交点情况、圆的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；切线的判定与性质
【解析】【解答】解：如果点在外，则过点作的切线有两条；
如果点在内，则过点的直线与相交；
如果点在上，则过点作的切线只有一条；
如图，连接，过点作的切线，则，
是唯一的，
过点作的切线只有一条，
故答案为：B
【分析】根据点与圆的位置关系分情况进行讨论，结合切线的性质即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴此函数的对称轴为：，
∵，两点都在对称轴左侧，，
∴对称轴左侧y随x的增大而增大，
∴．
故答案为：A
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】圆锥的计算
【解析】【分析】首先求得圆锥的底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后利用弧长公式即可求解．【解答】底面周长是：2×3π=6π，
则圆锥的侧面积是： ×6π×5=15πcm2．
故选D．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】
设该县投入教育经费的年平均增长率为x，2019年投入2500万元，
那么2020年投入 2500(1+x)万元，
2021年投入 2500(1+x)(1+x)万元，
所以方程为2500(1+x) =3500.
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程应用中的平均变化率问题，如果起始数为a，平均变化率为x，经过两次增长后数量为b，那么a(1+x) =b；如果两次下降后数量为b，那么a(1-x) =b。
9．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：
∵正方形的边长为6，
∴AB=3，
又∵∠AOB=45°，
∴OB=3
∴AO==3
故选B．
【分析】由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以错误；
时，，
，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在点和之间，
抛物线与轴的一个交点在点和之间，
当时，，
，所以正确；
抛物线对称轴，
，即，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，
当时，有最大值，
，
，所以正确；
综上，正确的结论有，
故答案为：C
【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】20
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵分别切于A、B．
∴
∵过点C的切线分别交于点E、F．
∴．
∴的周长
．
故答案为：
【分析】根据切线长定理得到，，再根据三角形的周长进行边之间的转换即可求出答案.
12．【答案】1
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：直角中，，，
，，
又，，
是等边三角形，
，
．
故答案是：1．
【分析】根据锐角三角函数的定义可得AB，BC，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵一元二次方程 （a≠0）的一个解是 ,
∴ ,∴ ,
∴
故答案为：2023
【分析】将x=1代入方程求出a+b的值，再将代数式转化为2018-（a+b），然后整体代入求值。
14．【答案】m≤1且m≠0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：y＝mx2+2x+1是二次函数，
∴m≠0，
由题意可知：△≥0，
∴4﹣4m≥0，
∴m≤1
∴m≤1且m≠0
故答案为m≤1且m≠0．
【分析】由抛物线与x轴有公共点可知△≥0，再由二次项系数不等于0，建立不等式即可求出m的取值范围.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设道路的宽应为米，由题意有
．
故答案为：．
【分析】设道路的宽应为米，根据题意建立方程即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形为的内接四边形，，
，
是的内接四边形的外角，
．
故答案为：．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标（-1，3），开口方向与抛物线y=-3x2的方向相反，∴这个二次函数的解析式为y=3（x+1）2﹢3．
【分析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：由图象可知点在轴上，
，，，
，
，，，，
，，
，
，
．
故答案为．
【分析】根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，、、，由图象可知点在轴上，，根据这个规律可以求得的坐标．
19．【答案】解：（1）200，72°；
（2）C类人数为200﹣80﹣20﹣40＝60（人），
完整条形统计图为：
（3）画树状图如下：
由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种．
所以P（恰好选中甲、乙两位同学）＝．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）20÷＝200，
所以这次被调查的学生共有200人，
在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数＝×360°＝72°；
故答案为200，72°；
【分析】（1）利用扇形统计图得到A类的百分比为10%，则用A类的频数除以10%可得到样本容量；然后用B类的百分比乘以360°得到在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数.
（2）先计算出C类的频数，然后补全统计图.
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解.
20．【答案】（1），
移项得：，
配方得：，即，
直接开平方得：，
，；
（2）
提公因式得：，
∴或，
，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可求出答案.（2）提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
21．【答案】（1）解：如图所示：△，即为所求；
（2）解：，
∴在中，，
∴旋转过程中点所经过路径长为：．
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据勾股定理可得OC，再根据弧长公式即可求出答案.
（1）解：如图所示：△，即为所求；
；
（2）解：，
∴在中，，
∴旋转过程中点所经过路径长为：．
22．【答案】（1）设与的函数解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以与的函数解析式为；
（2）根据题意知
，
当时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为，
（3）根据题意知，
，（舍去）
答：销售单价为元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设与的函数解析式为，根据待定系数法将点、代入解析式即可求出答案.
（2）根据“总利润==每件的利润销售量”可得函数解析式，转化为顶点式，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：连接，如图，
∵是的直径，
∴，
∴．
又，
∴D是的中点，
∴．
∵，
∴，
又，
∴．
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点B作于M，如图，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得，结合等腰三角形的性质即可得，再根据直线平行判定定理可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理求得，由等边对等角可得，过点B作于M，则，再根据勾股定理即可求得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）证明：连接，如图，
∵是的直径，
∴，
∴．
又，
∴D是的中点，
∴．
∵，
∴，
又，
∴．
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点B作于M，如图，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
24．【答案】（1）解：∵直线与x轴交于点A
∴令，，
解得：，
∴点A的坐标为，
∵抛物线经过点，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
解方程组得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：解方程组得或，
∴点B的坐标为，
由图象可得，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为：或；
（3）解：设点P的坐标为（），
过点P作轴，交于点Q，
∴点Q的坐标为，
∴，
∴，
∴当时，有最大值．
∴，
∴点P的坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征令，代入直线解析式可得A点坐标为，再根据抛物线对称轴可得，与点A坐标代入抛物线解析式，解方程即可求出答案.
（2）联立直线与抛物线解析式，解方程组可得B点坐标，当一次函数图象在二次函数图象上方时，有一次函数值大于二次函数值，结合图象即可求出答案.
（3）设点P的坐标为（），过点P作轴，交于点Q，则点Q的坐标为，根据两点间距离可得，再根据三角形面积，结合二次函数的性质即可求出答案.
（1）∵直线与x轴交于点A
∴令，，
解得：，
∴点A的坐标为，
∵抛物线经过点，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
解方程组得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解方程组得或，
∴点B的坐标为，
由图象可得，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为：或；
（3）设点P的坐标为（），
过点P作轴，交于点Q，
∴点Q的坐标为，
∴，
∴，
∴当时，有最大值．
∴，
∴点P的坐标为．
新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题
1．（2024九上·伊犁哈萨克期末）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.既是中心对称图形也是轴对称图形，故A不符合题意；
B.是中心对称图形但不是轴对称图形，故B符合题意；
C.既是中心对称图形也是轴对称图形，故C不符合题意；
D.既是中心对称图形也是轴对称图形，故D不符合题意，
故答案为：B
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
2．（2024九上·伊犁哈萨克期末）下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①，②，③，④．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①是一元二次方程；
②含有两个未知数，不是一元二次方程；
③不是整式方程，不是一元二次方程；
④是一元二次方程．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案.
3．（2024九上·伊犁哈萨克期末）将抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位为：，
则平移后的抛物线的顶点坐标为：．
故答案为：A
【分析】根据抛物线平移规律：上加下减（对y），左加右减（对x），即可求出答案.
4．（2024九上·伊犁哈萨克期末）下列说法中正确的是（ ）
A．“过圆内一点的直线与圆相交”是随机事件
B．“方程有两个不相等的实数根”是必然事件
C．“二次函数与轴相交”是不可能事件
D．“过平面内三点可画圆”是必然事件
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；圆的相关概念；直线与圆的位置关系；事件的分类；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A．“过圆内一点的直线与圆相交”是必然事件，此选项不符合题意；
B．，故“方程有两个不相等的实数根”是必然事件，此选项符合题意；
C．“二次函数与轴相交”是随机事件，此选项不符合题意；
D．“过平面内三点可画圆”是随机事件，此选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据直线与圆的关系、一元二次方程的根、二次函数图象与轴的交点情况、圆的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．（2024九上·伊犁哈萨克期末）过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上
C．点在圆内 D．以上都有可能
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；切线的判定与性质
【解析】【解答】解：如果点在外，则过点作的切线有两条；
如果点在内，则过点的直线与相交；
如果点在上，则过点作的切线只有一条；
如图，连接，过点作的切线，则，
是唯一的，
过点作的切线只有一条，
故答案为：B
【分析】根据点与圆的位置关系分情况进行讨论，结合切线的性质即可求出答案.
6．（2024九上·伊犁哈萨克期末）函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜﹣2，则（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y1＝y2 D．y1、y2的大小不确定
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴此函数的对称轴为：，
∵，两点都在对称轴左侧，，
∴对称轴左侧y随x的增大而增大，
∴．
故答案为：A
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
7．（2024九上·伊犁哈萨克期末）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是( )
A．20cm2 B．20πcm2 C．15cm2 D．15πcm2
【答案】D
【知识点】圆锥的计算
【解析】【分析】首先求得圆锥的底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后利用弧长公式即可求解．【解答】底面周长是：2×3π=6π，
则圆锥的侧面积是： ×6π×5=15πcm2．
故选D．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
8．（2024九上·伊犁哈萨克期末）近年来某县加大了对教育经费的投入，2019年投入2500万元，2021 年预计投入3500万元。假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程。则下列方程正确的是（ ）
A．2500x2=3500 B．2500(1+x)2=3500
C．2500 (1+x%)2=3500 D．2500(1+x)+2500(1+x)2=3500
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】
设该县投入教育经费的年平均增长率为x，2019年投入2500万元，
那么2020年投入 2500(1+x)万元，
2021年投入 2500(1+x)(1+x)万元，
所以方程为2500(1+x) =3500.
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程应用中的平均变化率问题，如果起始数为a，平均变化率为x，经过两次增长后数量为b，那么a(1+x) =b；如果两次下降后数量为b，那么a(1-x) =b。
9．（2024九上·伊犁哈萨克期末）若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）
A．6，3 B．3，3 C．6，3 D．6，3
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：
∵正方形的边长为6，
∴AB=3，
又∵∠AOB=45°，
∴OB=3
∴AO==3
故选B．
【分析】由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度．
10．（2024九上·伊犁哈萨克期末）已知二次函数的图象如图所示，给出以下四个结论：；；；；，其中，正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以错误；
时，，
，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在点和之间，
抛物线与轴的一个交点在点和之间，
当时，，
，所以正确；
抛物线对称轴，
，即，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，
当时，有最大值，
，
，所以正确；
综上，正确的结论有，
故答案为：C
【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，分别切于A、B，，C是劣弧上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交于点E、F．则的周长为 ．
【答案】20
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵分别切于A、B．
∴
∵过点C的切线分别交于点E、F．
∴．
∴的周长
．
故答案为：
【分析】根据切线长定理得到，，再根据三角形的周长进行边之间的转换即可求出答案.
12．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝，∠B＝60°，则CD的长为 ．
【答案】1
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：直角中，，，
，，
又，，
是等边三角形，
，
．
故答案是：1．
【分析】根据锐角三角函数的定义可得AB，BC，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．（2024九上·伊犁哈萨克期末）若关于x的一元二次方程 （a≠0）的一个解是 ，则 的值是
【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵一元二次方程 （a≠0）的一个解是 ,
∴ ,∴ ,
∴
故答案为：2023
【分析】将x=1代入方程求出a+b的值，再将代数式转化为2018-（a+b），然后整体代入求值。
14．（2024九上·伊犁哈萨克期末）若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤1且m≠0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：y＝mx2+2x+1是二次函数，
∴m≠0，
由题意可知：△≥0，
∴4﹣4m≥0，
∴m≤1
∴m≤1且m≠0
故答案为m≤1且m≠0．
【分析】由抛物线与x轴有公共点可知△≥0，再由二次项系数不等于0，建立不等式即可求出m的取值范围.
15．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示求小路的宽是多少？设小路的宽是，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设道路的宽应为米，由题意有
．
故答案为：．
【分析】设道路的宽应为米，根据题意建立方程即可求出答案.
16．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，四边形为的内接四边形，是延长线上一点，已知，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形为的内接四边形，，
，
是的内接四边形的外角，
．
故答案为：．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角即可求出答案.
17．（2024九上·伊犁哈萨克期末）抛物线和y=-3x2形状相同，方向相反，且顶点为（-1，3），则它的关系式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标（-1，3），开口方向与抛物线y=-3x2的方向相反，∴这个二次函数的解析式为y=3（x+1）2﹢3．
【分析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案.
18．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去若点，，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：由图象可知点在轴上，
，，，
，
，，，，
，，
，
，
．
故答案为．
【分析】根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，、、，由图象可知点在轴上，，根据这个规律可以求得的坐标．
19．（2024九上·伊犁哈萨克期末）某学校“体育课外活动兴趣小组”，开设了以下体育课外活动项目：A．足球 B．乒乓球C．羽毛球 D．篮球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人，在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数为 ；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加市里组织的乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
【答案】解：（1）200，72°；
（2）C类人数为200﹣80﹣20﹣40＝60（人），
完整条形统计图为：
（3）画树状图如下：
由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种．
所以P（恰好选中甲、乙两位同学）＝．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）20÷＝200，
所以这次被调查的学生共有200人，
在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数＝×360°＝72°；
故答案为200，72°；
【分析】（1）利用扇形统计图得到A类的百分比为10%，则用A类的频数除以10%可得到样本容量；然后用B类的百分比乘以360°得到在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数.
（2）先计算出C类的频数，然后补全统计图.
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解.
20．（2024九上·伊犁哈萨克期末）用适当的方法解方程
（1）
（2）
【答案】（1），
移项得：，
配方得：，即，
直接开平方得：，
，；
（2）
提公因式得：，
∴或，
，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可求出答案.（2）提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
21．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为个单位，在平面直角坐标系内，的顶点、分别为，．
（1）画出绕点逆时针旋转后的；
（2）在（1）的条件下，求出旋转过程中点所经过的路径长结果保留．
【答案】（1）解：如图所示：△，即为所求；
（2）解：，
∴在中，，
∴旋转过程中点所经过路径长为：．
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据勾股定理可得OC，再根据弧长公式即可求出答案.
（1）解：如图所示：△，即为所求；
；
（2）解：，
∴在中，，
∴旋转过程中点所经过路径长为：．
22．（2024九上·伊犁哈萨克期末）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果每天获得元的利润，销售单价为多少元？
【答案】（1）设与的函数解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以与的函数解析式为；
（2）根据题意知
，
当时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为，
（3）根据题意知，
，（舍去）
答：销售单价为元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设与的函数解析式为，根据待定系数法将点、代入解析式即可求出答案.
（2）根据“总利润==每件的利润销售量”可得函数解析式，转化为顶点式，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E．过点D作于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为4，．求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接，如图，
∵是的直径，
∴，
∴．
又，
∴D是的中点，
∴．
∵，
∴，
又，
∴．
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点B作于M，如图，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得，结合等腰三角形的性质即可得，再根据直线平行判定定理可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理求得，由等边对等角可得，过点B作于M，则，再根据勾股定理即可求得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）证明：连接，如图，
∵是的直径，
∴，
∴．
又，
∴D是的中点，
∴．
∵，
∴，
又，
∴．
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点B作于M，如图，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
24．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线交x轴于A，C两点，与直线交于A，B两点，直线与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
（3）点P在直线上方的抛物线上运动，若的面积最大，求此时点的坐标．
【答案】（1）解：∵直线与x轴交于点A
∴令，，
解得：，
∴点A的坐标为，
∵抛物线经过点，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
解方程组得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：解方程组得或，
∴点B的坐标为，
由图象可得，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为：或；
（3）解：设点P的坐标为（），
过点P作轴，交于点Q，
∴点Q的坐标为，
∴，
∴，
∴当时，有最大值．
∴，
∴点P的坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征令，代入直线解析式可得A点坐标为，再根据抛物线对称轴可得，与点A坐标代入抛物线解析式，解方程即可求出答案.
（2）联立直线与抛物线解析式，解方程组可得B点坐标，当一次函数图象在二次函数图象上方时，有一次函数值大于二次函数值，结合图象即可求出答案.
（3）设点P的坐标为（），过点P作轴，交于点Q，则点Q的坐标为，根据两点间距离可得，再根据三角形面积，结合二次函数的性质即可求出答案.
（1）∵直线与x轴交于点A
∴令，，
解得：，
∴点A的坐标为，
∵抛物线经过点，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
解方程组得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解方程组得或，
∴点B的坐标为，
由图象可得，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为：或；
（3）设点P的坐标为（），
过点P作轴，交于点Q，
∴点Q的坐标为，
∴，
∴，
∴当时，有最大值．
∴，
∴点P的坐标为．
