27.2.2 相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比
1.如果两个相似三角形对应边的比为2∶3,那么它们对应高线的比是 ( )
A.2∶3 B.2∶5 C.4∶9 D.8∶27
2.(2024桂林期末)若两个相似三角形的相似比是1∶2,则其对应中线之比是 ( )
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
3.已知两个相似三角形对应角平分线的比为3∶10,且这两个三角形的一对对应高之差为56 cm,则这两个三角形对应高的长分别为 .
相似三角形周长的比
4.若△ABC∽△DEF,且对应高线的比为4∶9,则△ABC与△DEF的周长的比为 ( )
A.2∶3 B.3∶2
C.4∶9 D.16∶81
5.如图,在 ABCD中,点E在BC边上,连接DE并延长交AB的延长线于点F.若,则△BEF与△ADF的周长之比为 ( )
A.1∶3 B.3∶7
C.4∶7 D.3∶4
6.如果两个相似三角形的对应中线的比为2∶3,那么这两个相似三角形的周长的比为 .
7.已知△ABC与△DEF相似,并且点A,B,C分别与点D,E,F对应,其中AB=6 cm,BC=10 cm,AC=
14 cm,DE=8 cm.求△DEF的周长.
相似三角形面积的比
8.已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=∶1,则△ABC与△DEF的面积之比为 ( )
A.4∶1 B.2∶1 C.1∶2 D.1∶4
9.(2024保定满城区期末)若两个相似三角形的面积之比为9∶16,则它们的对应高线之比为 ( )
A.9∶16 B.4∶3 C.3∶4 D.16∶9
10.如图,△ABC∽△A'B'C',下列说法正确的是 ( )
A.∠B=∠C' B.=2S△A'B'C'
C.AC=4A'C' D.A'B'=6
11.如果两个相似三角形的面积之比为4∶9,则周长之比为 .
1.如图,已知△ADE和△ABC的相似比是1∶2,且△ADE的面积为2,则四边形DBCE的面积是 ( )
A.6 B.8 C.4 D.2
2.已知△ABC∽△A'B'C',且△A'B'C'的面积为6,△A'B'C'周长是△ABC周长的,AB=8,则AB边上的高等于 ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
3.如图,△OAB∽△OCD,OA∶OC=3∶2,△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2,周长分别是C1与C2,则下列说法正确的是 ( )
A. B.
C. D.
4.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形面积为1,△ABC的面积为44,则四边形DBCE的面积是 ( )
A.22 B.24
C.26 D.28
5.如果两个相似三角形的一组对应边长分别是9 cm和5 cm,它们的周长之差为56 cm,那么其中较大的三角形的周长为 cm.
6.如图,在△ABC中,AC>AB,点D在BC上,且BD=BA,∠ABC的平分线BE交AD于点E,F是AC的中点,连接EF.若四边形DCFE和△BDE的面积都为3,则△ABC的面积为 .
7.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,△DBE∽△FEC,3DE=CF.若S△ABC=48,则阴影部分的面积为 .
8.已知△ABC∽△A'B'C',,AB边上的中线CD=4 cm,△ABC的周长为20 cm,△A'B'C'的面积是64 cm2,求:
(1)A'B'边上的中线C'D'的长.
(2)△A'B'C'的周长.
(3)△ABC的面积.
9.(几何直观)如图,在平行四边形ABCD中,BC=6,E,F是对角线BD上的两点,且BE=EF=FD,AE的延长线交BC于点G,GF的延长线交AD于点H.
(1)求HD的长.
(2)设△BGE的面积为a,求四边形AEFH的面积(用含a的代数式表示).
【详解答案】
课堂达标
1.A 解析:∵两个相似三角形对应边的比为2∶3,∴两个相似三角形的相似比为2∶3,∴它们对应高线的比为2∶3,故选A.
2.B 解析:∵两个相似三角形的相似比为1∶2,∴它们的对应中线之比是1∶2.故选B.
3.24 cm,80 cm 解析:∵两个相似三角形对应角平分线的比为3∶10,∴两个相似三角形的相似比为3∶10.∴两个相似三角形的对应高的比是3∶10.设一个三角形的高是3x,则另一个三角形的对应高为10x.由题意,得10x-3x=56.解得x=8.∴3x=24,10x=80.
4.C 解析:∵△ABC∽△DEF,且对应高线的比为4∶9.∴两个相似三角形的相似比为4∶9.∴△ABC与△DEF的周长的比为4∶9.故选C.
5.B 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD,BC∥AD.∴△BEF∽△ADF.∴△BEF与△ADF的周长之比为.故选B.
6.2∶3 解析:∵两个相似三角形的对应中线的比为2∶3,∴两个相似三角形的相似比为2∶3.∴这两个相似三角形的周长的比为2∶3.
7.解:∵AB=6 cm,BC=10 cm,AC=14 cm,
∴△ABC的周长为6+10+14=30(cm).
∵△ABC与△DEF相似,并且点A,B,C分别与点D,E,F对应,
∴△ABC的周长∶△DEF的周长=AB∶DE.
∴30∶△DEF的周长=6∶8.
∴△DEF的周长为40 cm.
8.B 解析:∵△ABC∽△DEF,AB∶DE=∶1,∴△ABC与△DEF的面积之比为AB2∶DE2=2∶1.故选B.
9.C 解析:∵两个相似三角形的面积之比为9∶16,∴两个相似三角形的相似比为3∶4.又∵相似三角形对应高的比等于相似比,∴它们对应边上高的比为3∶4.故选C.
10.D 解析:∵△ABC∽△A'B'C',AB=12,BC=2a,B'C'=a,
∴∠B=∠B',=4,AC=2A'C',A'B'=AB=×12=6.故A、B、C错误,D正确.故选D.
11.2∶3 解析:∵两个相似三角形的面积比为4∶9,∴两个相似三角形的相似比为2∶3.∴它们的周长比为2∶3.
课后提升
1.A 解析:∵△ADE和△ABC的相似比是1∶2,且△ADE的面积是2,∴.∴S△ABC=4S△ADE=8.∴S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=8-2=6.故选A.
2.B 解析:∵△ABC∽△A'B'C',△A'B'C'的周长是△ABC周长的,
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为2∶1.
∴△ABC与△A'B'C'的面积比为4∶1.
∵△A'B'C'的面积为6,
∴△ABC的面积为6×4=24.
∵AB=8,
∴AB边上高为24×2÷8=6.
故选B.
3.A 解析:∵△OAB∽△OCD,OA∶OC=3∶2,
∴.A正确;
∴.B错误;
∴.C错误;
∴.D错误.
故选A.
4.D 解析:如图,根据题意,得△AFH∽△ADE.∵所有三角形均相似,∴FH∶DE=3∶4.∴.
设S△AFH=9x,则S△ADE=16x.∴16x-9x=7×1.解得x=1.∴S△ADE=16.∴S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=44-16=28.故选D.
5.126 解析:∵相似三角形的一组对应边长分别为9 cm和5 cm,∴两个相似三角形的相似比为9∶5.∵相似三角形的相似比等于对应周长的比,∴可设较小的三角形的周长为5x,则另一个三角形的周长为9x.由题意,得9x-5x=56.解得x=14.∴较大三角形的周长为9x=126.
6.10 解析:∵BD=AB,BE是∠ABC的平分线,∴AE=DE.
∴△BDE的面积=△ABE的面积=3.
又∵F是AC的中点,
∴EF是△ACD的中位线.
∴2EF=CD,EF∥DC.
∴△AEF∽△ADC.
∵,∴.
∴S△ACD=4S△AEF,
∵四边形CDEF的面积为3,
∴△ACD的面积为4.
∴S△ABC=S△BDE+S△ABE+S△ACD=3+3+4=10.
7.18 解析:∵△DBE∽△FEC,
∴∠B=∠FEC,∠C=∠DEB.
∴DE∥AC,EF∥AD.
∴四边形ADEF是平行四边形.
∴DE=AF.
∵3DE=CF,
∴设DE=x,则CF=3x,AC=4x.
∵DE∥AC,
∴△DBE∽△ABC.
∴,即.
解得S△DBE=3.
∵△DBE∽△FEC,3DE=CF,
∴,即.
解得S△FEC=27.
∴S阴影=S△ABC-S△DBE-S△FEC=48-3-27=18.
8.解:(1)∵△ABC∽△A'B'C',,AB边上的中线CD=4 cm,
∴.
∴C'D'=8 cm.
∴A'B'边上的中线C'D'的长为8 cm.
(2)∵△ABC∽△A'B'C',,△ABC的周长为20 cm,
∴.
∴C△A'B'C'=40 cm.
∴△A'B'C'的周长为40 cm.
(3)∵△ABC∽△A'B'C',,
△A'B'C'的面积是64 cm2,
∴=2=.
∴S△ABC=S△A'B'C'=16 cm2.
∴△ABC的面积是16 cm2.
9.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∴△ADE∽△GBE,△HDF∽△GBF.
∴,.
∵BE=EF=FD,AD=BC=6,
∴.∴BG=3.
∴.∴DH=1.5.
(2)∵AD∥BC,
∴△BEG∽△DEA,△HFD∽△GFB.
∴,.
∵S△BEG=a,BE=EF,
∴S△BGF=2a.
∴,.
∴S△DEA=4a,S△HFD=a.
∵S四边形AEFH=S△DEA-S△HFD,
∴S四边形AEFH=4a-a=a.
