仁和中学 2023-2024学年度第一学期期中考试
初三年级数学试卷
一、选择题（每题 2 分，共 16 分）
1．如果5a 2b ( ab 0），那么下列比例式中正确的是（ ）
a 5 b 2 a b a b
（A） （B） （C） （D）
b 2 a 5 2 5 5 2
2．抛物线 2y=2(x+3) +1 的顶点坐标是（ ）
（A）(-3,1) （B）(3,-1) （C）(3,1) （D）(-3,-1)
3．下列关于二次函数 y 2x2 的说法正确的是（ ）
（A）它的图象经过点（ 1， 2） （B）它的图象的对称轴是直线 x 2
（C）当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小 （D）当 x=0 时，y 有最大值为 0
4．如图，点 E 是□ABCD 的边 BC 延长线上的一点，AE 与 A D
CD 相交于点 G，则图中相似三角形共有（ ）
G
（A）2 对 （B）3 对 （C）4 对 （D）5 对
B C E
5．如图，每个小正方形边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相
似的是（ ）
A
B C A． B． C． D．
6．如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（ ）
AD AE DB AB
（A） ＝ （B） ＝
DB EC EC AC
AB AC DE AE
（C） ＝ （D） ＝
AD AE BC EC
1
7．反比例函数 y 的图象上有两点 P1(x1，y1) ，P2(x2，y2) ，若 x1<0
正确的是（ ）
（A）y1>0>y2 （B）y1<0
图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ① ac 0 ； ② a b c 0 ；
③ m 9a 0 ；④若此抛物线经过点 C（ t ， n ），则 t 4 一定是方程
ax2 bx c n 的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
（A）①② （B）①③ （C）③④ （D）①④
1
{#{QQABKYiEggCAABIAAAhCQQ0ACgCQkgGCCYgOQBAIsAAAyRFABCA=}#}
A
二、填空题（每题 2 分，共 16 分）
9．如图，DE∥BC，AD∶DB= 2 ∶3 ，则 ΔADE 与 ΔABC 的周长 D E
之比为 ；面积之比为 ．
B C
m 2
10．已知反比例函数 y ，当 x>0时，y随 x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
x
11．将抛物线 y x2 向下平移 2 个单位长度，得到的抛物线为 ．
12．如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°，CD⊥AB于D， 若AD=1，BD=4，则CD的长为 ．
C
A D B
k
13．如图,反比例函数 y 在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，且S△AOB=2，
x
则 k 的值为 ．
14．如图，抛物线 y ax2 bx 与直线 y mx n相交于 点 A（ 3， 6），
B（ ， 21 2） ，则关于 x 的方程 ax bx mx n 的解为 ．
15．有一张矩形纸片 ABCD，AB＝2.5，AD＝1.5，将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折
痕为 AE，再将△AED 以 DE 为折痕向右折叠，AC 与 BC 交于点 F（如下图），则 CF 的长
为 ．
B D A A B
D B
A
F
D C E C E C
16．如图，矩形 ABCD 中，AD=2，AB=5，P 为 CD 边上的动点，当△ADP 与△BCP 相似时，
则 DP 的长为 ．
2
{#{QQABKYiEggCAABIAAAhCQQ0ACgCQkgGCCYgOQBAIsAAAyRFABCA=}#}
三、解答题（共 68 分，第 17-20 题，每题 5 分，第 21-22 题，每题 6 分，第 23-24 题，每题
5 分，第 25-26 题，每题 6 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分）
17．已知：二次函数 y x2 bx 3的图象经过点 A(2，5) ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成 y (x h)2 k 的形式．
2
18．下表是二次函数 y ax bx c(a 0) 图象上部分点的横坐标（x）和纵坐标（y）.
x … -1 0 1 2 3 4 5 …
y … 8 3 0 -1 0 m 8 …
（1）观察表格，直接写出 m=____；
（2）其中 A（ x1 ， y1 ）、B（ x2 ， y2 ）在函数的图象上，且-1< x1 <0， 2< x2 <3，
则 y1 _____ y2 （用“>”或“<”填空）；
（3）求这个二次函数的表达式．
19．如图，△ABC 是等边三角形，∠DAE = 120 ， A
求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）BC2 DB CE．
D E
B C
20．如图，某一时刻一根 2 米长的竹竿 EF 影长 GE 为 1.2 米，此时，小红测得一颗被风吹
斜的柏树与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的
距离是 3.6 米，则树长 AB 是多少米．
21．如图，平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，延长 AB 至点 E，使 BE=AB，连接 DE，
分别交 BC，AC 于点 F，G．
(1)求证：BF=CF；
(2)若 BC=6，DG=4，求 FG 的长．
3
{#{QQABKYiEggCAABIAAAhCQQ0ACgCQkgGCCYgOQBAIsAAAyRFABCA=}#}
22．“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单
价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程
中发现，这种文化衫每天的销售件数 y （件）与销售单价 x （元）满足一次函数关系：
y 3x 108 20 x 36 ．如果义卖这种文化衫每天的利润为 p （元），那么销售单价
定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
23．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一
场划龙舟比赛，图 1 是比赛途中经过的一座拱桥，图 2 是该桥露出水面的主桥拱的示意图，
可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，桥拱上的点到水面的竖直高
度（y 单位：m）与到点O的水平距离（x 单位：m）近似满足函数关系 y 0.0（1 x 30）2 9 ．据
调查，龙舟最高处距离水面 2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至
少 3m．
示意图
y/m
拱桥
龙舟
3m
2m
O A
水面 x/m
图 1 图 2
（1）水面的宽度 OA = m；
（2）要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为 9m，求最多可设计龙舟赛
道的数量．
AF
24．如图，AD 是△ABC 的中线，E 是 AD 中点，BE 的延长线与 AC 交点 F，求 的值．
AC
A
E F
B
D C
4
{#{QQABKYiEggCAABIAAAhCQQ0ACgCQkgGCCYgOQBAIsAAAyRFABCA=}#}
k
25．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y x 与双曲线 y k 0 交于点 A（2，a）．
x
（1）求 a 与 k 的值；
k
（2）画出双曲线 y k 0 的示意图；
x
k
（3）设点 P m,n 是双曲线 y k 0 上一点（ P 与 A 不重合），直线PA 与 y 轴交
x
于点 B 0,b ，当 AB 2BP时，结合图象，直接写出b 的值． y
6
5
4
3
2
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 6 x
–1
–2
–3
–4
．在平面直角坐标系 中，抛物线 226 xOy y=ax +（2m-6）x+1 经过点 1，2m 4 .
（1）求 a 的值；
（2）求抛物线的对称轴（用含 m 的式子表示）； y
6
（3）点 m ，y1 ， m ，y2 ， m 2，y3 在抛物线上，
5
4
若 y ，求 m 的取值范围． 2＜y3≤y1 3
2
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 6 x
–1
–2
–3
–4
5
{#{QQABKYiEggCAABIAAAhCQQ0ACgCQkgGCCYgOQBAIsAAAyRFABCA=}#}
27．已知：在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D 为 BC 边中点．点 M 为线段 BC
上的一个动点（不与点 C，点 D 重合），连接 AM，将线段 AM 绕点 M 顺时针旋转 90°，得
到线段 ME，连接 EC．
（1）如图 1，若点 M 在线段 BD 上．
① 依据题意补全图 1；
② 求∠MCE 的度数．
（2）如图 2，若点 M 在线段 CD 上，请你补全图形后，直接用等式表示线段 AC、CE、CM
之间的数量关系 ．
图 1 图 2
28．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹
角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点 M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，
y=﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形 OABC，点 B 在第一象限，A、C 分别
1
在 x 轴和 y 轴上，抛物线 y (x m)
2 n 经过 B、C 两点，顶点 D 在正方形内部．
4
（1）直接写出点 D（m，n）所有的特征线；
（2）若点 D 有一条特征线是 y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点，连接 OP，将△OAP 沿着 OP 折叠，点 A 落
在点 A′的位置，当点 A′在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向
下平移多少距离，其顶点落在 OP 上？
6
{#{QQABKYiEggCAABIAAAhCQQ0ACgCQkgGCCYgOQBAIsAAAyRFABCA=}#}
