2024-2025学年上海市虹口区九年级（上）期中数学试卷（1）
一.选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．两个矩形 B．两个等腰三角形
C．两个直角三角形 D．两个正方形
2．（4分）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（ ）
A．1、2、3、4 B．2、3、4、6 C．4、5、5、6 D．1、2、5、20
3．（4分）如图：在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，根据下列给定的条件，不能判断DE与BC平行的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝2，则tanA等于（ ）
A． B．2 C． D．
5．（4分）已知、、都是非零向量．下列条件中，不能判定∥的是（ ）
A．||＝|| B．＝3 C．∥，∥ D．＝2，＝﹣2
6．（4分）如图，在 ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，如果S△DEF＝3，那么 ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
二.填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）已知x：y＝5：2，那么（x+y）：y＝ ．
8．（4分）已知线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a和c的比例中项是 厘米．
9．（4分）点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2，那么线段AP的长是 ．
10．（4分）已知两个相似三角形的相似比是4：9，那么它们对应的角平分线之比是 ．
11．（4分）若向量与单位向量的方向相反，且||＝2，则＝ ．（用表示）
12．（4分）计算：3﹣（2﹣4）＝ ．
13．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，则BD的长为 ．
14．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝3，tanA＝，那么AC＝ ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC的重心，若CD＝2，则AB＝ ．
16．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝6，点E、F分别在AB、DC上，EF∥BC，如果AE：EB＝1：2，则EF＝ ．
17．（4分）如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的有 （填序号）
18．（4分）如图，矩形ABCD中，M、N分别是边AB、BC上的点，将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B落在边AD上的点E处，如果AB＝4，AD＝6，AE＝2AM，那么CN的长为 ．
三.解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）已知＝＝≠0，且5x+y﹣2z＝10，求x、y、z值
20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB：CD＝3：2，点E是边CD的中点，联结BE交对角线AC于点F，若，．
（1）直接用、表示＝ ；＝ ；＝ ；
（2）求作在、方向上的分向量．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
21．（10分）如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝5，BC＝10，AE＝9，AB＝12．求EG，FG的长．
22．（10分）已知：如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，点E是边AC上的一点，且∠ABE＝∠C，AB＝3，AC＝4．
（1）求：BE的长；
（2）作ED⊥BC，求：∠EBC的正弦值．
23．（12分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G．
（1）若FD＝2，，求线段DC的长；
（2）求证：EF GB＝BF GE．
24．（12分）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．
（1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE；
（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A′、B′、C′（如图②），使直角边B′C′（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边B′A′的延长线上，且测得此时边B′C′距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？
25．（14分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，E是边BC上一点（点E不与点B、C重合），点F在CD的延长线上，且BE＝DF，联结EF，分别交AD、AC于点M、N．
（1）已知MD＝1，求BE的长；
（2）求证：EF2＝2EM FN；
（3）当△AMN是等腰三角形时，求S△AMN的值．
2024-2025学年上海市虹口区九年级（上）期中数学试卷（1）
参考答案与试题解析
一.选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．【解答】解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意．
C、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意；
D、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意；
故选：D．
2．【解答】解：A、4×1≠2×3，故本选项不符合题意；
B、2×6＝3×4，故本选项符合题意；
C、4×6≠5×5，故本选项不符合题意；
D、1×20≠2×5，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．【解答】解：∵，∴DE∥BC，A不合题意；
∵，∴DE∥BC，B不合题意；
∵，∴DE∥BC，C不合题意；
，不能判断DE与BC平行，D符合题意；
故选：D．
4．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanA＝＝2，
故选：B．
5．【解答】解：A、||＝||只能说明与的模相等，不能判定∥，故本选项符合题意．
B、＝3说明与的方向相同，能判定∥，故本选项不符合题意．
C、∥，∥，能判定∥，故本选项不符合题意．
D、＝2，＝﹣2说明与的方向相反，能判定∥，故本选项不符合题意．
故选：A．
6．【解答】解：∵ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴△EFD∽△CFB．
又∵E是AD的中点，
∴DE＝CB．
∴S△BCF＝4S△EDF＝12．
设S△DFC＝x，则3+x＝（12+x），
解得：x＝6．
∴S△BCD＝12+6＝18．
∴S ABCD＝2S△BCD＝36．
故选：D．
二.填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．【解答】解：由合比性质，得（x+y）：y＝7：2，
故答案为：7：2．
8．【解答】解：∵线段a和c的比例中项为b，
∴a：b＝b：c，
即4：b＝b：9，
∴b＝±6（负值舍去）．
故答案为：6．
9．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2，
∴AP＝AB＝×2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
10．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是4：9，
∴它们对应的角平分线之比是4：9．
故答案为：4：9．
11．【解答】解：∵向量与单位向量的方向相反，且||＝2，
∴＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．【解答】解：原式＝3﹣+2＝2+2．
故答案为：2+2．
13．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∵AC＝6，CE＝3，DF＝2，
∴＝，
解得：BD＝4，
故答案为：4．
14．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，
∵tanA＝＝，
∴AC＝，
故答案为：．
15．【解答】解：延长CD交AB于E，如图，
∵点D是△ABC的重心，
∴CE为斜边AB上的中线，CD＝2DE，
∴DE＝CD＝1，
∴CE＝CD+DG＝2+1＝3，
∴AB＝2CE＝6．
故答案为：6．
16．【解答】解：作DH∥AB，交BC于H，交EF于G，如图所示：
则四边形ABHD、四边形AEGD都是平行四边形，
∴EG＝AD＝BH＝3，∴CH＝BC﹣BH＝3，
∵AD∥BC，EF∥BC，
∴AD∥EF∥BC，
∴＝＝，
∴＝，
∵EF∥BC，
∴△DFG∽△DCH，
∴＝＝，
∴FG＝CH＝1，
∴EF＝EG+FG＝3+1＝4；
故答案为：4．
17．【解答】解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1、、．则
②△BCD的各边长分别为1、、2；
③△BDE的各边长分别为2、2、2（为△ABC各边长的2倍）；
④△BFG的各边长分别为5、、（为△ABC各边长的倍）；
⑤△FGH的各边长分别为2、、（为△ABC各边长的倍）；
⑥△EFK的各边长分别为3、、．
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．
故答案为③④⑤．
18．【解答】解：如图，过点N作NH⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠D＝∠C＝90°，且NH⊥AD，
∴四边形DCNH是矩形，
∴HD＝CN，CD＝NH＝4，
∵将矩形ABCD沿直线MN翻折后，
∴EN＝BN＝6﹣CN，EM＝BM，
∵EM2＝AM2+AE2，
∴（4﹣AM）2＝AM2+8AM2，
∴AM＝1（负值舍去），
∴AE＝2，
∴EH＝AD﹣AE﹣DH＝6﹣2﹣CN，
∵EN2＝HN2+EH2，
∴（6﹣CN）2＝16+（6﹣2﹣CN）2，
∴CN＝6﹣3，
故答案为：6﹣3．
三.解答题（共7小题，满分78分）
19．【解答】解：设x＝2a，y＝3a，z＝4a，
∵5x+y﹣2z＝10，
∴10a+3a﹣8a＝10，
5a＝10，
a＝2，
∴x＝4，y＝6，z＝8．
20．【解答】解：（1）∵AB∥CD，AB：CD＝3：2，
∴CD＝AB，
∵＝，∴＝，＝+＝+，
∵E是CD的中点，
∴EC：AB＝1：3，
∵EC∥AB，
∴AF：FC；AB：CE＝3：1，
∴AF＝AC，
∴＝（+）＝+．
故答案为： ， +， +．
（2）如图，，即为所求．
21．【解答】解：∵△ABC中，EG∥BC，
∴△AEG∽△ABC，
∴，
∵BC＝10，AE＝9，AB＝12，
∴＝，
∴EG＝，
∵△BAD中，EF∥AD，
∴＝，
∵AD＝5，AE＝9，AB＝12，
∴＝，
∴EF＝．
∴FG＝EG﹣EF＝﹣＝．
22．【解答】解：（1）∵AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，
∴，
∵∠A＝∠A，∠ABE＝∠C，
∴△ABE∽△ACB，
∴＝，
∴，
∴；
（2）如图，
∵△ABE∽△ACB，
∴，
∴＝，
∴，
∴，
∵∠A＝∠EDC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CED∽△CBA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CD＝，DE＝，
∴BD＝BC﹣CD＝，
在Rt△ABE中，BE＝＝＝，
∴∠EBC的正弦值＝＝＝．
23．【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝＝，
∴FC＝3FD＝6，
∴DC＝FC﹣FD＝4；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，
∴＝，＝，
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE，
∴＝，
∴EF GB＝BF GE．
24．【解答】解：（1）∵∠DFA＝∠ACB＝90°，∠DAF＝∠CAB，
∴△DFA∽△BCA，
∴＝，
在Rt△ABC中，
∵AB＝0.5m，BC＝0.3m，
由勾股定理得AC＝＝0.4（m），
∵AF＝16m，
∴＝，
∴DF＝12（m），
∴DE＝DF+EF＝12+1.5＝13.5（m），
答：古树的高度DE为13.5米；
（2）∵∠D′FB′＝∠A′C′B′＝90°，∠D′B′F＝∠A′B′C′，
∴△D′FB′∽△A′C′B′，
∴＝，
∴＝，
∴B′F＝9（m），
∴16﹣9＝7（m），
答：小丽向前移动了7米．
25．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC＝AB＝6，AD∥BC，
∴△FDM∽△FCE，
∴，
∵BE＝DF，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣BE，CF＝CD+DF＝6+BE，
∴，
∴BE＝2或BE＝3；
（2）证明：如图1，
连接AE，AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠B＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD，∠CAD＝45°，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∴∠BAE+∠DAE＝∠DAF+∠DAE，
∴∠EAF＝∠BAD＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF＝EF，∠AEF＝∠AFE＝45°，
∵∠AME＝∠AFE+∠FAD＝45°+∠FAD，
∠NAF＝∠CAD+∠FAD＝45°+∠FAD，
∴∠AME＝∠FAN，
∴△FAN∽△EEMA，
∴＝，
∴AE AF＝FN EM，
∴（EF）2＝FN EM，
∴EF2＝2EM FN；
（3）解：如图2，
连接BD，
则BD⊥AC，
当AN＝MN时，
∠AMN＝∠CAD＝45°，
此时∠ANNM＝90°，即：MN⊥AC，
∴BD∥MN，这种情形不存在，
当AM＝MN时，EF⊥AD，这种情形也不存在，
如图3，
当AM＝AN时，作EG⊥AD于G，
∴∠ANM＝∠AMN＝＝67.5°，
∵AD∥BC，
∴∠CEF＝∠AMN＝67.5°，
∵∠AEF＝45°，
∴∠AEB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AEB＝∠CEF，
∵∠ABC＝∠ADF＝90°，
∴△ABE∽△FCE，
∴，
设BE＝CF＝a，
∴CE＝6﹣a，CF＝6+a，
∴，
∴a1＝6﹣6，a2＝﹣6（舍去），
∵∠AMN＝∠AME，∠MAN＝∠AEM＝45°，
∴△AMN∽△AMA，
∴，＝（）2，
∵AM＝AN，
∴AE＝EM，
∴GM＝AG＝BE，
∵（）2＝＝，
∴S△EAM＝＝＝36，
∴＝4×，
∴S△AMN＝108﹣144．
