高二年级期中考试
数学试卷
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，，则下列运算正确的是
A． B．
C． D．
2．抛物线的准线方程为
A． B． C． D．
3．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为
A． B．或
C． D．或
4．设，，，则
A． B． C． D．
5．设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为
A． B． C． D．
6．在中，，已知点，，设点到直线的最大距离为，点到直线的最大距离为，则
A． B． C． D．
7．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是
A．事件与互斥 B．
C． D．，，两两相互独立
8．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则
A．1 B． C． D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于复数，下列说法正确的是
A．
B．若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆
C．如果，那么是纯虚数
D．若复数满足，则在复平面对应的点是
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过左焦点作直线与的右支交于点，与轴交于点，若为正三角形，则
A．双曲线的焦距为 B．双曲线的虚轴长为2
C．双曲线的离心率为 D．的面积为
11．如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且，则
A． B．
C．向量与的夹角是 D．异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，则的短轴长为________．
13．已知函数，若，则________．
14．已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与交于，两点，且，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使面面，若，则双曲线的离心率为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作直线与曲线相切，求直线的方程．
16．（本小题满分15分）已知抛物线的焦点为．
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由．
17．（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，，，分别为，的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（本小题满分17分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于、两点，且的周长为16．
（1）求的方程；
（2）过作直线与交于、两点，若，求直线的斜率．
19．（本小题满分17分）如图，椭圆的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点，
（1）若轴，求的面积；
（2）若，求点的坐标；
（3）求的最大值．
月考卷
一、选择题
1．D 【解析】对A，，故A错误；对B，，故B错误；对C，，故C错误；对D，，故D正确．故选D．
2．B 【解析】∵，∴，∴准线方程为．故选B．
3．D 【解析】当双曲线的焦点在轴时，设双曲线的标准方程为：，因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有，因此，所以双曲线的方程为：；当双曲线的焦点在轴时，设双曲线的标准方程为：，因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有，因此，所以双曲线的方程为：．综上所述，双曲线的方程为或．故选D．
4．C 【解析】由，，知，，又，，函数单调递增，所以，即，故．故选C．
5．B 【解析】若该方程表示双曲线，则，即，又，解得，对A，是充要条件，故A错误；对B，真包含于，则是必要不充分条件，故B正确；对C，真包含于，则是充分不必要条件，故C错误；对D，与互不包含，则是既不充分又不必要条件，故D错误．故选B．
6．D 【解析】由已知，，则6，由，再由正弦定理可知，所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为12的椭圆，不含左、右顶点，所以当且仅当点是椭圆的上、下顶点时，点到直线的距离最大为，当时，点到直线的距离最大为，所以．故选D．
7．C 【解析】由题意得，事件的样本点为，事件的样本点为，事件的样本点为，所以，对A，事件与共有样本点2，3，所以不互斥，故A错误；对B，事件样本点为，所以，故B错误；对C，因为事件样本点，可得，所以，故C正确；对D，因为，，且事件样本点，则，可得，所以事件与不相互独立，故D错误．故选C．
8．A 【解析】由双曲线，可得，，则，且，设是双曲线的右焦点，连接，因为，分别为，的中点，，在直角中，可得，又由双曲线的定义，可得，所以．故选A．
二、选择题
9．ABD 【解析】A选项，由虚数单位的定义，，则，故A正确；B选项，设在复平面内的点为，由，即，点在以为圆心，1为半径的圆上，故B正确；C选项，若，那么是实数，故C错误；D选项，，所以在复平面对应的点是，故D正确．故选ABD．
10．AC 【解析】因为，，所以，，，故A正确；因为为等边三角形，所以，，因为，，由对称性可知，（为原点）又因为，所以在中，，得，所以，，故虚轴长为，离心率，故错误，C正确；因为，故D错误．故选AC．
11．AB 【解析】设，，，因为各条棱长均为6，且，所以，因为，所以，，故A正确；由，所以，所以，故B正确；因为，，，所以，所以向量与的夹角是，即所以向量与的夹角是，故C错误；因为，，，，，所以，故异面直线与所成角的余弦值为，故D错误．故选AB．
三、填空题
12． 【解析】设，易知，结合，可知为等腰直角三角形，所以，故，所以，所以的短轴长为．故答案为．
13．1 【解析】令，，则，，故，得．故答案为1．
14． 【解析】由题意，，所以，，因为，所以，，又平面平面，平面平面，且面，所以平面，又平面，所以，所以，，因为，所以由余弦定理有，即，所以，即，所以或，又离心率，所以．故答案为．
四、解答题
15．解：（1）设，由，得，
整理得，即曲线的方程为． （4分）
（2）因为，所以点在圆外， （6分）
当直线斜率不存在时，与圆不相切，当直线斜率存在时，设直线为，则圆心到直线的距离， （8分）
整理得，当时，直线的方程为， （10分）
当时，直线的方程为． （13分）
16．解：（1）抛物线的焦点为，依题意，解得， （2分）
所以抛物线． （3分）
（2）为定值， （4分）
由题意知直线斜率不为0，设直线的方程为，，，
联立抛物线有，消去得，则，
∴，，又，， （8分）
∴
．
∴为定值． （15分）
17．解：（1）连接，在中，因为，分别为，的中点，所以，
因为直三棱柱中，为侧棱，所以平面，因为平面，
所以，又，，，平面，
所以平面， （3分）
因为平面，所以，又，所以． （5分）
（2）因为，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，因此，，．
设平面的一个法向量为，则，
取，则，，于是， （11分）
设直线与平面所成角为，所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为． （15分）
18．解：（1）∵时，，∴， （1分）
∴， （2分）
∴， （4分）
． （6分）
（2）由（1）知，显然直线的斜率存在，当的斜率为0时，不成立， （7分）
当的斜率不为0时，设，，，
∵． （9分）
，，， （10分）
∴，． （12分）
又∵，∴．∴，∴， （14分）
∴， （16分）
故直线的斜率为或． （17分）
19．解：（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，由椭圆，得，，
则，，，所以，，当时，，得，
所以， （2分）
所以的面积为． （4分）
（2）设点的坐标为，则直线的方程为，
将其代入椭圆方程中可得，整理得，
所以，得，
所以， （7分）
因为，所以，可得，化简得，解得，代入得出，所以点的坐标为． （9分）
（3）由（2）得，同理可求得， （11分）
所以
，当且仅当，即，时
取等号，所以的最大值为． （17分）
