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2025年贵州中考命题探究-
第三章 函 数 学生版
第8节 平面直角坐标系及函数初步
2022年版课标重要变化
①结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例（删除）
②理解函数值的意义（新增）
③结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置（删除）
核心考点 精讲练
考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征（重点）
例1 如图，在平面直角坐标系中有一点.
例1题图
（1） 点的坐标为________________，点所在的象限为__________；
（2） 点关于轴对称的点的坐标为______________________，关于轴对称的点的坐标为______________，关于原点对称的点的坐标为________________；
（3） 将点向__平移________个单位后得到的点在轴上；
（4） 若直线轴，且点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为________________.
变式1．[2024贵阳市乌当区模拟]如图，把“”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼的坐标是，嘴唇的坐标为，则右眼的坐标为______________.
变式1图
知识精讲
1.各象限内的点
2.坐标轴上的点
①点在轴上
②点在轴上
③原点的坐标为
3.各象限角平分线上的点
①点在第一、三象限的角平分线上
②点在第二、四象限的角平分线上
4.与坐标轴平行的直线上的点
①平行于轴的直线上的点的纵坐标相等
②平行于轴的直线上的点的横坐标相等
5.点 的对称与平移
变换方式 变换后的坐标
关于轴对称
关于轴对称
关于原点对称
向左平移个单位
向右平移个单位
向上平移个单位
向下平移个单位
口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都变号；平移时左减右加，上加下减
考点2 平面直角坐标系中的距离
例2 已知点的坐标为.
（1） 点到轴的距离为________，到轴的距离为________，到原点的距离为________；
（2） 若点的坐标为，则，两点间的距离为____________，线段的中点坐标为________________；
（3） 若直线轴，且线段，则点的坐标为________________________________.
变式2．已知点.
（1） 若点在第二象限，则的取值范围是______________________；
（2） 若点到轴的距离是2，则的值是____________；
（3） 若点到两坐标轴的距离相等，且点在第四象限，则的值是__________.
知识精讲
1.点到坐标轴及原点的距离
①点到轴的距离为
②点到轴的距离为
③点到原点的距离为
2.两点间的距离
设，.
①若点，在轴上，或轴，则
②若点，在轴上，或轴，则
，
的中点坐标为
考点3 函数初步（重点）
例3 求下列函数自变量的取值范围：
（1） ：______________________；
（2） ：____________________；
（3） ______________________.
变式3-1．[2024贵阳市云岩区模拟]如图1，某容器由，两个长方体组成，其底面积分别为，，容器的容积是整个容器容积的（容器各面的厚度忽略不计）.现以速度均匀地向容器注水，直至注满为止.图2是注水全过程中容器的水面高度与注水时间的函数图象.下列说法中正确的是（ ）
变式3-1图
A. 注满整个容器至少需要
B. 容器的容积为
C. 容器的高度是容器的高度的3倍
D. 注水速度为
变式3-2．星期六早晨小红妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续匀速走了后回家，图中的折线段是她出发后所在位置离家的距离与行走时间之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述小红妈妈行走的路线是（ ）
变式3-2图
A. B.
C. D.
变式3-3．[2024甘肃省卷]如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止.设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，的长为［解析见P169］（ ）
变式3-3图
A. 2 B. 3 C. D.
知识精讲
1.函数的概念
在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么我们称是的函数，其中是自变量，是因变量
2.函数的表示方法
列表法、解析式法、图象法
3.画函数图象的步骤
列表、描点、连线
4.函数自变量的取值范围
类型 自变量的取值范围
分式型,如
二次根式型,如
分式二次根式型,如
零指数幂或负整数指数幂 底数不为零
实际问题 要符合实际意义
【点拨】
分析判断函数图象时，可以从以下几个关键点作为切入点：
（1）起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在图象中找相对应的点；
（2）拐点：图象交点或转折点，图象在此点处将发生变化；
（3）终点：看是否与坐标轴相交，即此时一个量为0；
（4）图象趋势：判断函数的增减性及增减方式
贵州真题 随堂测
（建议用时：20分钟）
命题点1 平面直角坐标系中点的坐标特征（2024.6，2023.14）
1．在平面直角坐标系中，下列四个点在第一象限的是（ ）
A. B. C. D.
2．[2022遵义7题]在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 3
3．[2024贵州6题3分]为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ）
第3题图
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4．[2024贵州模拟10题3分]如图，在平面直角坐标系中，有，，，四点，若有一条直线过点且与轴垂直，则也会通过下列哪一个点（ ）
第4题图
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
5．[2022六盘水11题]两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚-咚咚，咚-咚，咚咚咚-咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚-咚，咚咚咚-咚咚，咚-咚咚咚”时，表示的动物是（ ）
第5题图
A. 狐狸 B. 猫 C. 蜜蜂 D. 牛
6．[2023贵州14题4分]如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是，则龙洞堡机场的坐标是________________.
第6题图
命题点2 函数自变量的取值范围
7．[2022安顺13题]要使函数在实数范围内有意义，则的取值范围是__________.
8．[2024黔东南州模拟]函数的自变量的取值范围是________.
命题点3 分析判断函数图象（2023.12）
9．今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程与所用时间之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
第9题图
A. 小星家离黄果树景点的路程为
B. 小星从家出发第1小时的平均速度为
C. 小星从家出发2小时离景点的路程为
D. 小星从家到黄果树景点的时间共用了
10．[2022遵义12题]遵义市某天的气温（单位：）随时间（单位：）的变化如图所示，设表示0时到时气温的值的极差（即0时到时范围气温的最大值与最小值的差），则与的函数图象大致是（ ）
第10题图
A. B.
C. D.
11．[2022铜仁9题]如图，等边、等边的边长分别为3和2.开始时点与点重合，在上，在上，沿向右平移，当点到达点时停止.在此过程中，设与重合部分的面积为，移动的距离为，则与的函数图象大致为［解析见P169］（ ）
第11题图
A. B.
C. D.
温馨提示 请完成《课后提升练》P20～21习题
第9节 一次函数的图象与性质
核心考点 精讲练
考点1 一次函数的图象与性质（重点）
例1 已知关于的一次函数.
（1） 若是关于的正比例函数，则________；
（2） 若随的增大而增大，则的取值范围是________；
（3） 若该函数图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是________；
（4） 若该函数图象经过点，则该图象与轴的交点的坐标为______________，与轴的交点的坐标为________________，的面积为________；
（5） 该函数图象恒过一点，该点的坐标为________________.
知识精讲
解析式 ，为常数，，当时，是的正比例函数
函数图象
增减性 随的增大而增大 随的增大而减小
与 轴交点 令，求对应的值，交点坐标为
与 轴交点 令，求对应的值，交点坐标为
考点2 一次函数解析式的确定
例2 已知一次函数的图象如图所示.
例2题图
（1） 将该函数的图象向左平移3个单位，所得函数的解析式为____________，再向下平移6个单位，所得函数的解析式为____________；
（2） 要得到函数的图象，只需将函数的图象向__平移2个单位，或者向左平移________个单位；
（3） 将该函数的图象向下平移3个单位，所得函数的图象经过点，则的值为________；
（4） [2024黔南州模拟改编]过点作与一次函数平行的直线，则________，__________.
变式2．[2023鄂州改编]象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为________.
变式2图
知识精讲
1.一次函数 的平移
平移方式 平移后 规律
向左平移个单位 给左加右减
向右平移个单位
向上平移个单位 等号右边整体上加下减
向下平移个单位
【知识拓展】对于两个一次函数，. （1）这两个一次函数的图象平行且 （2）这两个一次函数的图象垂直
2.待定系数法
一设：设一次函数的解析式为；
二列：将图象上两点的坐标代入解析式，得到关于，的二元一次方程组；
三解：解方程组，得到，的值；
四还原：将，的值代入中
考点3 一次函数与方程（组）、不等式的关系（重点）
例3 如图，若一次函数与一次函数的图象交于点.
例3题图
（1） 关于，的方程组的解是________________________________________；
（2） 关于的不等式的解集是________；
（3） 关于的方程的解是________；
（4） 关于的不等式的解集是________，不等式的解集是________.
变式3-1．[2024贵阳市贵安新区模拟改编]如图，已知直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为____________.
变式3-1图
变式3-2．[2024兴安盟改编]点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在第__象限.
知识精讲
与一元一次方程的关系 一次函数的图象与轴的交点为关于的一元一次方程的解为
与二元一次方程组的关系
一次函数与的图象的交点为关于,的二元一次方程组的解为
与一元一次不等式的关系
不等式的解集 函数的图象位于轴上方部分对应的的取值范围 不等式的解集 函数的图象位于轴下方部分对应的的取值范围
贵州真题 随堂测
（建议用时：15分钟）
命题点1 一次函数的图象与性质（贵阳2021.12）
1．若一次函数的函数值随的增大而减小，则值可能是（ ）
A. 2 B. C. D.
2．如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
第2题图
A. 随增大而增大 B. 图象经过第三象限
C. 当时， D. 当时，
3．[2021贵阳12题3分]小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题.现有7条不同的直线，其中，，则他探究这7条直线的交点个数最多是［解析见P169］（ ）
A. 17个 B. 18个 C. 19个 D. 21个
命题点2 一次函数解析式的确定
4．在平面直角坐标系内有三点，，.
（1） 求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情形作答）；
（2） 判断，，三点是否在同一直线上，并说明理由.
命题点3 一次函数与方程（组）、不等式的关系（贵阳2022.12）
5．[2024贵州模拟15题4分]如图，直线与的交点坐标为，则关于的不等式的解集是________.
第5题图
6．[2022贵阳12题3分]在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示.小星根据图象得到如下结论：
第6题图
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为；
③方程的解为；
④当时，.
其中结论正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
温馨提示 请完成《课后提升练》P22～23习题
第10节 一次函数的实际应用
重难点突破
重难点1 方案问题
例1 [2023丽水]我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同.看图解答下列问题：
例1题图
（1） 直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2） 求方案二关于的函数表达式；
（3） 如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案.
重难点2 利润问题
例2 [2021贵阳22题10分]为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如表：
产品 展板 宣传册 横幅
制作一件产品所需时间（小时） 1
制作一件产品所获利润（元） 20 3 10
（1） 若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；
（2） 若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值.
贵州真题 随堂测
（建议用时：20分钟）
命题点一 次函数的实际应用（贵阳2020，2021.22）
1．[2020贵阳22题10分]第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生 绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛.学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：
（1） 请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2） 学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？
2．[2024贵州模拟21题10分]某网店对“老干妈”品牌的甲、乙两种辣椒产品进行网络直播销售.根据以下提供的信息，该网店购进了甲、乙两种辣椒产品.
（1） 从以上①②③中任选2个作为已知条件，求甲、乙两种产品每箱的价格；
（2） 在（1）的条件下，该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍，现将甲、乙两种产品分别以100元/箱，80元/箱的价格进行销售，若购进的这批产品全部售完，当甲种产品数量为多少时，该店所获总利润最大，并求出最大利润.
3．遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台.
（1） 求，型设备单价分别是多少元；
（2） 该校计划购买两种设备共50台，要求型设备数量不少于型设备数量的.设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用.
第11节 反比例函数及其应用
核心考点 精讲练
考点1 反比例函数的图象与性质（重点）
例1 已知反比例函数.
（1） 该反比例函数的图象在第______象限,且在每一个象限内,的值随的增大而____（填“增大”或“减小”）；
（2） 若点,在该反比例函数的图象上,则的值为____________,的值为__________；
（3） 若点在该反比例函数图象上，则点__该反比例函数图象上（填“在”或“不在”）;
（4） 当时,自变量的取值范围是____________;当时,的取值范围是____________;
（5） 已知,是该反比例函数图象上的两点,则________（填“ ”“ ”或“”）.
知识精讲
概念 如果两个变量，之间的对应关系可以表示成为常数，且的形式，那么称是的反比例函数，自变量不能为0
的符号
大致图象
所在象限 第一、三象限（，同号） 第二、四象限（，异号）
增减性 在每一象限内，的值随值的增大而减小 在每一象限内，的值随值的增大而增大
图象特征 反比例函数的图象是由两支曲线组成的，曲线两端无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交
对称性 关于直线与成轴对称； 关于原点成中心对称
考点2 反比例函数的几何意义及解析式的确定（重点）
例2 已知反比例函数的图象如图所示，点在此函数图象上,过点分别作轴、轴的垂线,垂足分别为点,点.
例2题图
（1） 若点的坐标为,则反比例函数的解析式为__________;
（2） 若矩形的面积为5,则________;
（3） 连接,过点作的平行线与轴交于点,则四边形的面积为________;
（4） 线段上有一动点,连接,，则的面积为__________.
变式2．[2020黔西南州9题]如图，在菱形中，， ，菱形的一个顶点在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）
变式2图
A. B. C. D.
知识精讲
1.反比例函数中 的几何意义
的几何意义 过反比例函数图象上一点，分别作轴、轴的垂线，，则
常见类型
2.反比例函数解析式的确定
（1）待定系数法
①设反比例函数的解析式为；
②找出反比例函数图象上的一点代入解析式；
③确定反比例函数的解析式为
（2）利用 的几何意义求解
①若面积已知，可考虑用的几何意义;
②由面积得，再结合图象所在象限判断的正负，从而得出的值，最后代入解析式即可
考点3 反比例函数的实际应用
例3 [2024河北]节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电度，则能使用天.下列说法错误的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若减小，则也减小 D. 若减小一半，则增大一倍
知识精讲
行程问题：速度
费用问题：单价
工程问题：工作效率
电学问题：电流
压强问题：压强
贵州真题 随堂测
（建议用时：20分钟）
命题点1 反比例函数的图象与性质（5年3考）
1．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是（ ）
第1题图
A. 一、二、三 B. 一、二、四 C. 一、三、四 D. 二、三、四
2．[2022贵阳10题3分]如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上.根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（ ）
第2题图
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
3．[2021贵阳10题3分]已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，若点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4．[2024贵州18题10分]（北师九上P157 T2改编）已知点在反比例函数的图象上.
（1） 求反比例函数的表达式；
（2） 点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小，并说明理由.
命题点2 反比例函数的几何意义及解析式的确定（贵阳2020.12）
5．[2020贵阳12题4分]如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为________.
第5题图
6．[2022遵义14题]反比例函数与一次函数交于点，则的值为________.
7．[2022黔东南州19题]如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点，若，则____________.［解析见P169］
第7题图
8．[2022铜仁15题]如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，.若四边形的面积为6，，则的值为________.［解析见P169］
第8题图
命题点3 反比例函数的实际应用
9．[2024贵阳市云岩区模拟]某天水温和室温均为，智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降.在水温下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系，分钟时水温下降到室温，水温与通电时间之间的关系如图所示.
第9题图
（1） 当时，求出与之间的函数关系式；
（2） 求自动停止加热到水温降到室温的时间.
第12节 反比例函数综合题
重难点突破
重难点1 反比例函数与一次函数综合题
例1 [2024贵阳市贵安新区模拟]如图，反比例函数的图象与直线交于，两点，已知的坐标为，直线的表达式为.
例1题图
（1） 求反比例函数的表达式和直线的表达式；
（2） 在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标及的周长最小值.
重难点2 反比例函数与几何图形综合题
例2 [2023贵州21题10分]如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与，交于点和点，且为的中点.
例2题图
（1） 求反比例函数的表达式和点的坐标；
（2） 若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上，之间的部分时（点可与点，重合），直接写出的取值范围.
贵州真题 随堂测
（建议用时：20分钟）
命题点1 反比例函数与一次函数综合题（5年3考）
1．一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点.
第1题图
（1） 求这个反比例函数的表达式；
（2） 根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的的取值范围.
2．[2021贵阳20题10分]如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若.
第2题图
（1） 求点的坐标及的值；
（2） 若，求一次函数的表达式.
命题点2 反比例函数与几何图形综合题
3．[2022安顺20题]如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线与反比例函数的图象交于，两点.
第3题图
（1） 求该反比例函数的解析式及的值；
（2） 判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由.
第13节 二次函数的图象与性质
2022年版课标重要变化
①能用描点法画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质（删除）
②知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系（新增）
③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值（新增），能解决相应的实际问题（改动）
④知道二次函数和一元二次方程之间的关系（新增）
⑤*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数（删除）
核心考点 精讲练
考点1 二次函数的概念及解析式
例1 若函数是二次函数.
（1） 的值为__________；
（2） 将该二次函数的解析式化为顶点式为____________________；
（3） 该二次函数的图象与轴的交点的横坐标为____________________.
知识精讲
1.二次函数的概念：若两个变量，之间的对应关系可以表示成，，是常数，且的形式，则称是的二次函数
2.二次函数的解析式
一般式 ，，是常数，
顶点式 ，其中对称轴是直线，顶点坐标是
交点式 ，其中，是抛物线与轴交点的横坐标
考点2 二次函数的图象与性质（重点）
例2 已知二次函数,尝试探究该函数图象的性质,并回答下列问题.
（1） 请将下表中与的对应值填在相应的横线上:
… 0 1 2 3 …
… ________ ________ ________ ________ ________ …
（2） 对称轴是直线________,顶点坐标是______________;
（3） 该二次函数图象与轴的交点坐标为____________________________，与轴的交点坐标为______________；
（4） 当时,随的增大而____,当时,随的增大而____；
（5） 若点,,在该二次函数的图象上,则,，的大小关系是____________________.
知识精讲
解析式 ，，是常数，
大致图象
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴右侧，随的增大而增大 在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减小
最值 当时，有最小值，为 当时，有最大值，为
考点3 二次函数的图象与系数，，的关系（重点）
例3 如图是二次函数的图象，结合图中的信息填空：（在横线上填“ ”“ ”或“”）.
例3题图
（1） ________0,________0,________0；
（2） ________0；
（3） ________0；
（4） ________0,________0；
（5） ________0；
（6） ________.
知识精讲
解析式 ，，是常数，
，开口向上； ，开口向下
越大，抛物线的开口越小； 越小，抛物线的开口越大
， ，对称轴为轴； ，同号，对称轴在轴左侧； ，异号，对称轴在轴右侧
，抛物线过原点； ，抛物线与轴交于正半轴； ，抛物线与轴交于负半轴
，抛物线与轴有唯一交点（顶点）； ，抛物线与轴有两个不同的交点； ，抛物线与轴没有交点
【特殊关系】①当时，；②当时，；③当时，; ④当时，
考点4 待定系数法求二次函数解析式（重点）
例4 已知二次函数.
（1） 若该抛物线经过，，三点，则解析式为________________；（用一般式表示）
（2） 已知二次函数的最小值为3，对称轴为直线，且经过点，则解析式为____________________；（用顶点式表示）
（3） 若该抛物线与轴的交点坐标为，，且与抛物线的形状相同，则解析式为____________________.（用交点式表示）
（3）
知识精讲
类型 解析式设法
顶点在原点
顶点在轴上
顶点在轴上（或对称轴是轴）
抛物线过原点
顶点其他点
与轴的两交点其他点
任意三个点
考点5 二次函数图象的变换
例5 已知抛物线.
（1） 将该抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线所对应的函数解析式为______________________；（用顶点式表示）
（2） 该抛物线关于轴对称的抛物线所对应的函数解析式为__________________.（用顶点式表示）
变式5．若抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后经过点，则________.
知识精讲
平移前的解析式 移动方向 平移后的解析式 规律
向左平移个单位 给左加右减
向右平移个单位
向上平移个单位 给等号右边整体上加下减
向下平移个单位
考点6 二次函数与方程、不等式的关系
例6 如图是二次函数的部分图象，根据图象解决下列问题：
例6题图
（1） 方程的解是__________________________，方程的解是________________________；
（2） 不等式的解是____________，方程的解是____________________；
（3） 关于的一元二次方程（为常数）在的范围内有解，则的取值范围是______________.
知识精讲
1.二次函数与一元二次方程的关系［2022年版课标新增］
（1）二次函数的图象与轴交点的横坐标一元二次方程的根
（2）①二次函数的图象与轴有两个交点一元二次方程有两个不相等的实数根；
②二次函数的图象与轴有且只有一个交点一元二次方程有两个相等的实数根；
③二次函数的图象与轴没有交点一元二次方程没有实数根
2.二次函数与不等式的关系
第2题图
（1）不等式的解集 二次函数的图象位于轴上方部分对应的的取值范围
（2）不等式的解集 二次函数的图象位于轴下方部分对应的的取值范围
贵州真题 随堂测
（建议用时：15分钟）
命题点1 二次函数的图象与性质（5年3考）
1．[2023贵州10题3分]已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
第1题图
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．[2022黔东南州7题]若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
3．[2024贵州12题3分]如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）
第3题图
A. 二次函数图象的对称轴是直线
B. 二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2
C. 当时，随的增大而减小
D. 二次函4．[2022毕节14题]在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：；；；；.其中正确的有（ ）
第4题图
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5．[2021贵阳13题4分]二次函数的图象开口方向是____（填“向上”或“向下”）.
6．[2022六盘水15题]如图是二次函数的图象，该函数的最小值是__________.
第6题图
命题点2 二次函数图象的变换
7．[2022黔东南州18题]在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转 ，再向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标是________________.［解析见P169］
命题点3 二次函数与方程、不等式的关系（贵阳2020.10）
8．[2024贵阳市观山湖区模拟]抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（ ）
第8题图
A. B.
C. D.
9．[2020贵阳10题3分]已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3，则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是［解析见P169］（ ）
A. 和0 B. 和2 C. 和3 D. 和4
温馨提示 请完成《课后提升练》P30～31习题
提分专题一 抛物线中的函数最值问题
问题描述：当时，求二次函数的最大值和最小值.
情况1 抛物线的开口向上，即
类型 对称轴在区间左侧，即 对称轴在区间中间，即 对称轴在区间右侧，即
图形 对称轴靠近 对称轴靠近
最大值 在处取得最大值 在处取得最大值 在处取得最大值 在处取得最大值
最小值 在处取得最小值 在处取得最小值 在处取得最小值 在处取得最小值
情况2 抛物线的开口向下，即
类型 对称轴在区间左侧，即 对称轴在区间中间，即 对称轴在区间右侧，即
图形 对称轴靠近 对称轴靠近
最大值 在处取得最大值 在处取得最大值 在处取得最大值 在处取得最大值
最小值 在处取得最小值 在处取得最小值 在处取得最小值 在处取得最小值
类型1 ，为定值（5年3考）
1．[2024遵义市汇川区模拟]已知点在抛物线为常数，上.若时，总有，且当时,总有，求的值.
2．已知二次函数为常数，且，当时，函数的最小值为2，求的值.
3．当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的值.
类型2 为定值
4．[2024成都]在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点.若，，则________（填“ ”或“ ”）；若对于，，，存在，则的取值范围是________________.
5．已知二次函数，当时，函数的值总大于等于15，求的值.
6．已知二次函数（，为常数），当时，求函数的最大值与最小值的差.
第14节 二次函数综合题
重难点突破
重难点1 二次函数性质综合题
例1 [2024遵义模拟]已知二次函数.
（1） 若二次函数的图象经过点，求的值；
（2） 在（1）的条件下，当时，二次函数的最大值是6，求的值；
（3） 已知点，，直线与轴、轴分别交于点，，若二次函数的图象与直线有两个不同的交点，其中一个交点在线段上（包含，两个端点），另一个交点在线段上（包含，两个端点），求的取值范围.
重难点2 二次函数与几何图形综合题
例2 [2024黔东南州模拟]如图，直线与轴交于点，与轴交于点，过，两点作抛物线，直线是抛物线的对称轴.
例2题图
（1） 求，两点的坐标；
（2） 求抛物线的函数解析式；
（3） 在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
贵州真题 随堂测
（建议用时：20分钟）
命题点1 二次函数性质综合题（贵阳2022.24）
1．[2022贵阳24题12分]已知二次函数.
（1） 求二次函数图象的顶点坐标（用含，的代数式表示）；
（2） 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过，，，四点，判断，，，的大小，并说明理由；
（3） 点是二次函数图象上的一个动点，当时，的取值范围是，求二次函数的表达式.
命题点2 二次函数与几何图形综合题
2．[2022毕节27题]如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点.
第2题图
（1） 求抛物线的表达式；
（2） 把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值；
（3） 是（1）中抛物线上一点，是直线上一点.是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
第15节 二次函数的实际应用
重难点突破
重难点1 利润问题
例1 [2024贵州24题12分]某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值.
销售单价元 … 12 14 16 18 20 …
销售量盒 … 56 52 48 44 40 …
（1） 求与的函数表达式；
（2） 糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3） 若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求的值.
重难点2 抛物线型问题
例2 [2024贵州模拟24题12分]如图1是位于安顺的坝陵河大桥.某兴趣小组受到该桥的启示，设计了一座桥的模型，它的两桥塔，之间的悬索是抛物线型（如图2所示），悬索上设置有若干条垂直于水平线的吊索，图中，，悬索上最低点到的垂直距离.（悬索与在同一平面内）
例2题图
（1） 按如图2所示建立平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
（2） 根据设计要求，从抛物线的顶点开始，每相隔有一条吊索，当吊索高度大于或等于时，需加固.求此条抛物线有多少条吊索需要加固；
（3） 若抛物线经过两点，，抛物线在，两点之间的部分为图象（包括，两点），图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，当时，求的值.
贵州真题 随堂测
（建议用时：20分钟）
命题点1 利润问题（2024.24）
1．为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”.2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元.
请解答以下问题：
（1） 求每天销量（吨）与批发价（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2） 当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
2．[2022毕节25题]2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进，两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价-进货价）
类别 价格 款钥匙扣 款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
（1） 网店第一次用850元购进，两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2） 第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进，两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3） 冬奥会临近结束时，网店打算把款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
命题点2 抛物线型问题（2023.24，贵阳2021.24）
3．[2023贵州24题12分]如图1,是一座抛物线型拱桥,小星学习二次函数后,受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图2所示）,抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，,点在抛物线上，且点到对称轴的距离,点在抛物线上，点到对称轴的距离是1.
第3题图
（1） 求抛物线的表达式;
（2） 如图2,为更加稳固,小星想在上找一点,加装拉杆,,同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标;
（3） 为了造型更加美观，小星重新设计抛物线,其表达式为,当时,函数的值总大于等于9.求的取值范围.
三角形知识脉络图
2025年贵州中考命题探究-
第三章 函 数 教师版
第8节 平面直角坐标系及函数初步
2022年版课标重要变化
①结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例（删除）
②理解函数值的意义（新增）
③结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置（删除）
核心考点 精讲练
考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征（重点）
例1 如图，在平面直角坐标系中有一点.
例1题图
（1） 点的坐标为________________，点所在的象限为__________；
（2） 点关于轴对称的点的坐标为______________________，关于轴对称的点的坐标为______________，关于原点对称的点的坐标为________________；
（3） 将点向__平移________个单位后得到的点在轴上；
（4） 若直线轴，且点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为________________.
【答案】（1） ；第二象限
（2） ，；；
（3） 右；
（4）
变式1．[2024贵阳市乌当区模拟]如图，把“”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼的坐标是，嘴唇的坐标为，则右眼的坐标为______________.
变式1图
【答案】
知识精讲
1.各象限内的点
2.坐标轴上的点
①点在轴上
②点在轴上
③原点的坐标为
3.各象限角平分线上的点
①点在第一、三象限的角平分线上
②点在第二、四象限的角平分线上
4.与坐标轴平行的直线上的点
①平行于轴的直线上的点的纵坐标相等
②平行于轴的直线上的点的横坐标相等
5.点 的对称与平移
变换方式 变换后的坐标
关于轴对称
关于轴对称
关于原点对称
向左平移个单位
向右平移个单位
向上平移个单位
向下平移个单位
口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都变号；平移时左减右加，上加下减
考点2 平面直角坐标系中的距离
例2 已知点的坐标为.
（1） 点到轴的距离为________，到轴的距离为________，到原点的距离为________；
（2） 若点的坐标为，则，两点间的距离为____________，线段的中点坐标为________________；
（3） 若直线轴，且线段，则点的坐标为________________________________.
【答案】（1） ；；
（2） ；
（3） 或
变式2．已知点.
（1） 若点在第二象限，则的取值范围是______________________；
（2） 若点到轴的距离是2，则的值是____________；
（3） 若点到两坐标轴的距离相等，且点在第四象限，则的值是__________.
【答案】（1） 或
（2） 或3
（3）
知识精讲
1.点到坐标轴及原点的距离
①点到轴的距离为
②点到轴的距离为
③点到原点的距离为
2.两点间的距离
设，.
①若点，在轴上，或轴，则
②若点，在轴上，或轴，则
，
的中点坐标为
考点3 函数初步（重点）
例3 求下列函数自变量的取值范围：
（1） ：______________________；
（2） ：____________________；
（3） ______________________.
【答案】（1） 且
（2） 或
（3） 且
变式3-1．[2024贵阳市云岩区模拟]如图1，某容器由，两个长方体组成，其底面积分别为，，容器的容积是整个容器容积的（容器各面的厚度忽略不计）.现以速度均匀地向容器注水，直至注满为止.图2是注水全过程中容器的水面高度与注水时间的函数图象.下列说法中正确的是（ ）
变式3-1图
A. 注满整个容器至少需要
B. 容器的容积为
C. 容器的高度是容器的高度的3倍
D. 注水速度为
【答案】D
变式3-2．星期六早晨小红妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续匀速走了后回家，图中的折线段是她出发后所在位置离家的距离与行走时间之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述小红妈妈行走的路线是（ ）
变式3-2图
A. B.
C. D.
【答案】B
变式3-3．[2024甘肃省卷]如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止.设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，的长为［解析见P169］（ ）
变式3-3图
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】C
知识精讲
1.函数的概念
在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么我们称是的函数，其中是自变量，是因变量
2.函数的表示方法
列表法、解析式法、图象法
3.画函数图象的步骤
列表、描点、连线
4.函数自变量的取值范围
类型 自变量的取值范围
分式型,如
二次根式型,如
分式二次根式型,如
零指数幂或负整数指数幂 底数不为零
实际问题 要符合实际意义
【点拨】
分析判断函数图象时，可以从以下几个关键点作为切入点：
（1）起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在图象中找相对应的点；
（2）拐点：图象交点或转折点，图象在此点处将发生变化；
（3）终点：看是否与坐标轴相交，即此时一个量为0；
（4）图象趋势：判断函数的增减性及增减方式
贵州真题 随堂测
（建议用时：20分钟）
命题点1 平面直角坐标系中点的坐标特征（2024.6，2023.14）
1．[2023贵州模拟3题3分]在平面直角坐标系中，下列四个点在第一象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．[2022遵义7题]在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】C
3．[2024贵州6题3分]为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ）
第3题图
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
4．[2024贵州模拟10题3分]如图，在平面直角坐标系中，有，，，四点，若有一条直线过点且与轴垂直，则也会通过下列哪一个点（ ）
第4题图
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】A
5．[2022六盘水11题]两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚-咚咚，咚-咚，咚咚咚-咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚-咚，咚咚咚-咚咚，咚-咚咚咚”时，表示的动物是（ ）
第5题图
A. 狐狸 B. 猫 C. 蜜蜂 D. 牛
【答案】B
6．[2023贵州14题4分]如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是，则龙洞堡机场的坐标是________________.
第6题图
【答案】
命题点2 函数自变量的取值范围
7．[2022安顺13题]要使函数在实数范围内有意义，则的取值范围是__________.
【答案】
8．[2024黔东南州模拟]函数的自变量的取值范围是________.
【答案】
命题点3 分析判断函数图象（2023.12）
9．[2023贵州12题3分]今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程与所用时间之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
第9题图
A. 小星家离黄果树景点的路程为
B. 小星从家出发第1小时的平均速度为
C. 小星从家出发2小时离景点的路程为
D. 小星从家到黄果树景点的时间共用了
【答案】D
10．[2022遵义12题]遵义市某天的气温（单位：）随时间（单位：）的变化如图所示，设表示0时到时气温的值的极差（即0时到时范围气温的最大值与最小值的差），则与的函数图象大致是（ ）
第10题图
A. B.
C. D.
【答案】A
11．[2022铜仁9题]如图，等边、等边的边长分别为3和2.开始时点与点重合，在上，在上，沿向右平移，当点到达点时停止.在此过程中，设与重合部分的面积为，移动的距离为，则与的函数图象大致为［解析见P169］（ ）
第11题图
A. B.
C. D.
【答案】C
温馨提示 请完成《课后提升练》P20～21习题
第9节 一次函数的图象与性质
核心考点 精讲练
考点1 一次函数的图象与性质（重点）
例1 已知关于的一次函数.
（1） 若是关于的正比例函数，则________；
（2） 若随的增大而增大，则的取值范围是________；
（3） 若该函数图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是________；
（4） 若该函数图象经过点，则该图象与轴的交点的坐标为______________，与轴的交点的坐标为________________，的面积为________；
（5） 该函数图象恒过一点，该点的坐标为________________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4） ；；
（5）
知识精讲
解析式 ，为常数，，当时，是的正比例函数
函数图象
增减性 随的增大而增大 随的增大而减小
与 轴交点 令，求对应的值，交点坐标为
与 轴交点 令，求对应的值，交点坐标为
考点2 一次函数解析式的确定
例2 已知一次函数的图象如图所示.
例2题图
（1） 将该函数的图象向左平移3个单位，所得函数的解析式为____________，再向下平移6个单位，所得函数的解析式为____________；
（2） 要得到函数的图象，只需将函数的图象向__平移2个单位，或者向左平移________个单位；
（3） 将该函数的图象向下平移3个单位，所得函数的图象经过点，则的值为________；
（4） [2024黔南州模拟改编]过点作与一次函数平行的直线，则________，__________.
【答案】（1） ；
（2） 上；
（3）
（4） ；
变式2．[2023鄂州改编]象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为________.
变式2图
【答案】
知识精讲
1.一次函数 的平移
平移方式 平移后 规律
向左平移个单位 给左加右减
向右平移个单位
向上平移个单位 等号右边整体上加下减
向下平移个单位
【知识拓展】对于两个一次函数，. （1）这两个一次函数的图象平行且 （2）这两个一次函数的图象垂直
2.待定系数法
一设：设一次函数的解析式为；
二列：将图象上两点的坐标代入解析式，得到关于，的二元一次方程组；
三解：解方程组，得到，的值；
四还原：将，的值代入中
考点3 一次函数与方程（组）、不等式的关系（重点）
例3 如图，若一次函数与一次函数的图象交于点.
例3题图
（1） 关于，的方程组的解是________________________________________；
（2） 关于的不等式的解集是________；
（3） 关于的方程的解是________；
（4） 关于的不等式的解集是________，不等式的解集是________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4） ；
变式3-1．[2024贵阳市贵安新区模拟改编]如图，已知直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为____________.
变式3-1图
【答案】
变式3-2．[2024兴安盟改编]点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在第__象限.
【答案】四
知识精讲
与一元一次方程的关系 一次函数的图象与轴的交点为关于的一元一次方程的解为
与二元一次方程组的关系
一次函数与的图象的交点为关于,的二元一次方程组的解为
与一元一次不等式的关系
不等式的解集 函数的图象位于轴上方部分对应的的取值范围 不等式的解集 函数的图象位于轴下方部分对应的的取值范围
贵州真题 随堂测
（建议用时：15分钟）
命题点1 一次函数的图象与性质（贵阳2021.12）
1．[2022遵义8题]若一次函数的函数值随的增大而减小，则值可能是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
2．[2022六盘水9题]如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
第2题图
A. 随增大而增大 B. 图象经过第三象限
C. 当时， D. 当时，
【答案】C
3．[2021贵阳12题3分]小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题.现有7条不同的直线，其中，，则他探究这7条直线的交点个数最多是［解析见P169］（ ）
A. 17个 B. 18个 C. 19个 D. 21个
【答案】B
命题点2 一次函数解析式的确定
4．[2022铜仁17题]在平面直角坐标系内有三点，，.
（1） 求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情形作答）；
（2） 判断，，三点是否在同一直线上，并说明理由.
【答案】
（1） 解：答案不唯一，若选点,,
设过点，的直线的函数表达式为，
，解得，
直线的函数表达式为.
（2） 不在.理由如下：
当时，，
点不在直线上，
，，三点不在同一条直线上.
命题点3 一次函数与方程（组）、不等式的关系（贵阳2022.12）
5．[2024贵州模拟15题4分]如图，直线与的交点坐标为，则关于的不等式的解集是________.
第5题图
【答案】
6．[2022贵阳12题3分]在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示.小星根据图象得到如下结论：
第6题图
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为；
③方程的解为；
④当时，.
其中结论正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
温馨提示 请完成《课后提升练》P22～23习题
第10节 一次函数的实际应用
重难点突破
重难点1 方案问题
例1 [2023丽水]我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同.看图解答下列问题：
例1题图
（1） 直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2） 求方案二关于的函数表达式；
（3） 如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案.
【答案】
（1） 解：观察图象知，方案一与方案二对应的函数图象相交于点，
故员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多.
（2） 解：设方案二关于的函数表达式为，
将点，代入，
得，解得，
方案二关于的函数表达式为.
（3） 解：观察图象知，方案一与方案二对应的函数图象相交于点，
若生产件数的取值范围为，选择方案二；
若生产件数，则选择两种方案都可以；
若生产件数的取值范围为，选择方案一.
【解析】
（1） 【思路点拨】两种方案付给的报酬一样多时员工生产产品的数量，就是两种方案的交点的横坐标
（2） 【思路点拨】设方案二对应的函数表达式为，代入该函数图象经过的两个点的坐标计算即可
（3） 【思路点拨】根据员工生产产品的数量，选择报酬较多的方案，即自变量相同时，函数值较大的方案
重难点2 利润问题
例2 [2021贵阳22题10分]为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如表：
产品 展板 宣传册 横幅
制作一件产品所需时间（小时） 1
制作一件产品所获利润（元） 20 3 10
（1） 若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；
（2） 若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值.
【答案】
（1） 解：设制作展板的数量为件，
则宣传册的数量为件，横幅的数量为件，
由题意，得,解得.
答：制作展板的数量为10件，宣传册的数量为50件，横幅的数量为10件.
（2） 解：设制作三种产品总量为件，展板的数量为件，
则宣传册的数量为件，横幅的数量为件，
由题意，得，
解得.
由题意知，且,
解得.
，随的增大而增大.
，均为正整数，的最小值为2，
当时，有最小值，最小值为75.
答：制作三种产品总量的最小值为75件.
【解析】
（1） 【思路点拨】①设制作展板的数量为件，横幅的数量为件；②分别根据“制作展板的时间制作横幅的时间制作宣传册的时间小时”，“制作展板的利润制作横幅的利润制作宣传册的利润元”，列出二元一次方程组求解即可
（2） 【思路点拨】①设制作三种产品总量为件，展板的数量为件；②根据“制作展板的利润制作横幅的利润制作宣传册的利润元”，得出关于的关系式；③根据一次函数的增减性，确定最小时的值，及对应的最小值
贵州真题 随堂测
（建议用时：20分钟）
命题点一 次函数的实际应用（贵阳2020，2021.22）
1．[2020贵阳22题10分]第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生 绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛.学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：
（1） 请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2） 学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？
【答案】
（1） 解：设单价为6元的钢笔买了支，
则单价为10元的钢笔买了支，
根据题意，得，
解得，
由于钢笔的数量不可能是小数，故学习委员搞错了.
（2） 设笔记本的单价为元，
根据题意，得，
整理得,则.
，随的增大而增大，
.
是正整数，或.
当时，；
当时，，
笔记本的单价可能是2元或6元.
2．[2024贵州模拟21题10分]某网店对“老干妈”品牌的甲、乙两种辣椒产品进行网络直播销售.根据以下提供的信息，该网店购进了甲、乙两种辣椒产品.
（1） 从以上①②③中任选2个作为已知条件，求甲、乙两种产品每箱的价格；
（2） 在（1）的条件下，该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍，现将甲、乙两种产品分别以100元/箱，80元/箱的价格进行销售，若购进的这批产品全部售完，当甲种产品数量为多少时，该店所获总利润最大，并求出最大利润.
【答案】
（1） 解：答案不唯一，若选择①②，
设甲种产品每箱的价格是元，乙种产品每箱的价格是元，
根据题意，得，解得.
答：甲种产品每箱的价格是80元，乙种产品每箱的价格是40元.
（2） 设该店购进箱甲种产品，
则购进箱乙种产品，
根据题意，得，解得.
设该店购进的这批产品全部售完后获得的总利润为元，则.
，随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为（元）.
答：当甲种产品数量为400箱时，该店所获总利润最大，最大利润为16000元.
3．[2022遵义21题]遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台.
（1） 求，型设备单价分别是多少元；
（2） 该校计划购买两种设备共50台，要求型设备数量不少于型设备数量的.设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用.
【答案】
（1） 解：设每台型设备的单价为元，
则每台型设备的单价为元，
根据题意，得,
解得.
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
每台型设备的单价为2500元，每台型设备的单价为3000元.
（2） 设购买台型设备，
则购买台型设备，
，
由题意可知,且，
且为整数.
，
随的增大而增大，
当时，的值最小，最小值为（元）,
与的函数关系式为，最少购买费用为131500元.
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第11节 反比例函数及其应用
核心考点 精讲练
考点1 反比例函数的图象与性质（重点）
例1 已知反比例函数.
（1） 该反比例函数的图象在第______象限,且在每一个象限内,的值随的增大而____（填“增大”或“减小”）；
（2） 若点,在该反比例函数的图象上,则的值为____________,的值为__________；
（3） 若点在该反比例函数图象上，则点__该反比例函数图象上（填“在”或“不在”）;
（4） 当时,自变量的取值范围是____________;当时,的取值范围是____________;
（5） 已知,是该反比例函数图象上的两点,则________（填“ ”“ ”或“”）.
【答案】（1） 一、三；减小
（2） ；
（3） 在
（4） ；
（5）
知识精讲
概念 如果两个变量，之间的对应关系可以表示成为常数，且的形式，那么称是的反比例函数，自变量不能为0
的符号
大致图象
所在象限 第一、三象限（，同号） 第二、四象限（，异号）
增减性 在每一象限内，的值随值的增大而减小 在每一象限内，的值随值的增大而增大
图象特征 反比例函数的图象是由两支曲线组成的，曲线两端无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交
对称性 关于直线与成轴对称； 关于原点成中心对称
考点2 反比例函数的几何意义及解析式的确定（重点）
例2 已知反比例函数的图象如图所示，点在此函数图象上,过点分别作轴、轴的垂线,垂足分别为点,点.
例2题图
（1） 若点的坐标为,则反比例函数的解析式为__________;
（2） 若矩形的面积为5,则________;
（3） 连接,过点作的平行线与轴交于点,则四边形的面积为________;
（4） 线段上有一动点,连接,，则的面积为__________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
变式2．[2020黔西南州9题]如图，在菱形中，， ，菱形的一个顶点在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）
变式2图
A. B. C. D.
【答案】B
知识精讲
1.反比例函数中 的几何意义
的几何意义 过反比例函数图象上一点，分别作轴、轴的垂线，，则
常见类型
2.反比例函数解析式的确定
（1）待定系数法
①设反比例函数的解析式为；
②找出反比例函数图象上的一点代入解析式；
③确定反比例函数的解析式为
（2）利用 的几何意义求解
①若面积已知，可考虑用的几何意义;
②由面积得，再结合图象所在象限判断的正负，从而得出的值，最后代入解析式即可
考点3 反比例函数的实际应用
例3 [2024河北]节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电度，则能使用天.下列说法错误的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若减小，则也减小 D. 若减小一半，则增大一倍
【答案】C
知识精讲
行程问题：速度
费用问题：单价
工程问题：工作效率
电学问题：电流
压强问题：压强
贵州真题 随堂测
（建议用时：20分钟）
命题点1 反比例函数的图象与性质（5年3考）
1．[2022黔西南州6题]在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是（ ）
第1题图
A. 一、二、三 B. 一、二、四 C. 一、三、四 D. 二、三、四
【答案】B
2．[2022贵阳10题3分]如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上.根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（ ）
第2题图
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】C
3．[2021贵阳10题3分]已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，若点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4．[2024贵州18题10分]（北师九上P157 T2改编）已知点在反比例函数的图象上.
（1） 求反比例函数的表达式；
（2） 点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小，并说明理由.
【答案】
（1） 解：将代入，解得，
反比例函数的表达式为.
（2） ，理由如下：将点，，分别代入，解得，，，.
命题点2 反比例函数的几何意义及解析式的确定（贵阳2020.12）
5．[2020贵阳12题4分]如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为________.
第5题图
【答案】
6．[2022遵义14题]反比例函数与一次函数交于点，则的值为________.
【答案】
7．[2022黔东南州19题]如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点，若，则____________.［解析见P169］
第7题图
【答案】
8．[2022铜仁15题]如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，.若四边形的面积为6，，则的值为________.［解析见P169］
第8题图
【答案】
命题点3 反比例函数的实际应用
9．[2024贵阳市云岩区模拟]某天水温和室温均为，智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降.在水温下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系，分钟时水温下降到室温，水温与通电时间之间的关系如图所示.
第9题图
（1） 当时，求出与之间的函数关系式；
（2） 求自动停止加热到水温降到室温的时间.
【答案】
（1） 解：设加热过程中的函数关系式为，
将，代入得，
解得，
当时，与之间的函数关系式为.
（2） 设反比例函数的关系式为，
将代入，解得，
反比例函数的关系式为.
当时，，.
答：自动停止加热到水温降到室温的时间为32分钟.
温馨提示 请完成《课后提升练》P26～27习题
第12节 反比例函数综合题
重难点突破
重难点1 反比例函数与一次函数综合题
例1 [2024贵阳市贵安新区模拟]如图，反比例函数的图象与直线交于，两点，已知的坐标为，直线的表达式为.
例1题图
（1） 求反比例函数的表达式和直线的表达式；
（2） 在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标及的周长最小值.
【答案】
（1） 解： 点是反比例函数的图象与直线的
交点，，，
反比例函数的表达式为，
直线的表达式为.
（2） 解：如解图，作点关于轴的对称点，连接，
例1题解图
交轴于点，连接，则，此时的周长最小.
反比例函数 的图象与直线交于，两点，
联立，解得或，
点的坐标为.
点的坐标为， 点的坐标为.
设直线的表达式为
直线经过，，
，解得 ，
直线的表达式为，
令，得， 点的坐标为，
，
的周长最小值为.
【解析】
（1） 【思路点拨】直接将点的坐标代入反比例函数、一次函数的表达式计算即可
（2） 【思路点拨】①作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长取得最小值；②根据反比例函数与一次函数的表达式，可求出点的坐标；③根据点，的坐标，求出直线的表达式，进而得出点的坐标；④根据点，，的坐标，分别求出，的长度，进而求得的周长最小值
重难点2 反比例函数与几何图形综合题
例2 [2023贵州21题10分]如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与，交于点和点，且为的中点.
例2题图
（1） 求反比例函数的表达式和点的坐标；
（2） 若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上，之间的部分时（点可与点，重合），直接写出的取值范围.
【答案】
（1） 解： 四边形是矩形，，且为的中点，
， 点的纵坐标为2.
反比例函数的图象分别与，交于点和点，
， 反比例函数的表达式为.
当时，，.
（2） 解：把代入，得，解得.
把代入，得，解得，
的取值范围是.
【解析】
（1） 【思路点拨】①根据矩形的性质，结合中点的知识可求出点的坐标，进而得出点的横坐标；②根据点的坐标，可求出反比例函数的表达式，进而求出点的纵坐标
（2） 【思路点拨】①将点，的坐标分别代入一次函数的表达式计算出的值；②根据点的纵坐标在点，的纵坐标之间，确定的取值范围
贵州真题 随堂测
（建议用时：20分钟）
命题点1 反比例函数与一次函数综合题（5年3考）
1．[2022贵阳19题10分]一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点.
第1题图
（1） 求这个反比例函数的表达式；
（2） 根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的的取值范围.
【答案】
（1） 解： 一次函数的图象过点，
，
点的坐标为.
反比例函数的图象过点，
， 反比例函数的表达式为.
（2） 反比例函数的图象过点，
，解得,.
一次函数值小于反比例函数值，
一次函数图象在反比例函数图象的下方，
的取值范围为或.
2．[2021贵阳20题10分]如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若.
第2题图
（1） 求点的坐标及的值；
（2） 若，求一次函数的表达式.
【答案】
（1） 解：在一次函数中，
令，则，解得，.
设，
轴，，.
，,，
，.
（2） 由（1）得,设，,,
在中，，,
，.
，，，.
将代入一次函数，
得,解得,
一次函数的表达式为.
命题点2 反比例函数与几何图形综合题
3．[2022安顺20题]如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线与反比例函数的图象交于，两点.
第3题图
（1） 求该反比例函数的解析式及的值；
（2） 判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由.
【答案】
（1） 解：把代入,
得，解得，
反比例函数的解析式为.
在反比例函数的图象上，
.
（2） 点在反比例函数的图象上，理由如下：
如解图,连接，交于点.
第3题解图
把，代入，
得，解得,
直线的解析式为.
在中，令得，
.
四边形是菱形，
是的中点，也是的中点.
，，.
设，
，,解得，
.
在中，令得，
点在反比例函数的图象上.
温馨提示 请完成《课后提升练》P28～29习题
第13节 二次函数的图象与性质
2022年版课标重要变化
①能用描点法画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质（删除）
②知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系（新增）
③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值（新增），能解决相应的实际问题（改动）
④知道二次函数和一元二次方程之间的关系（新增）
⑤*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数（删除）
核心考点 精讲练
考点1 二次函数的概念及解析式
例1 若函数是二次函数.
（1） 的值为__________；
（2） 将该二次函数的解析式化为顶点式为____________________；
（3） 该二次函数的图象与轴的交点的横坐标为____________________.
【答案】（1）
（2）
（3） 和
知识精讲
1.二次函数的概念：若两个变量，之间的对应关系可以表示成，，是常数，且的形式，则称是的二次函数
2.二次函数的解析式
一般式 ，，是常数，
顶点式 ，其中对称轴是直线，顶点坐标是
交点式 ，其中，是抛物线与轴交点的横坐标
考点2 二次函数的图象与性质（重点）
例2 已知二次函数,尝试探究该函数图象的性质,并回答下列问题.
（1） 请将下表中与的对应值填在相应的横线上:
… 0 1 2 3 …
… ________ ________ ________ ________ ________ …
（2） 对称轴是直线________,顶点坐标是______________;
（3） 该二次函数图象与轴的交点坐标为____________________________，与轴的交点坐标为______________；
（4） 当时,随的增大而____,当时,随的增大而____；
（5） 若点,,在该二次函数的图象上,则,，的大小关系是____________________.
【答案】（1） ；；；；
（2） ；
（3） ，；
（4） 增大；减小
（5）
知识精讲
解析式 ，，是常数，
大致图象
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴右侧，随的增大而增大 在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减小
最值 当时，有最小值，为 当时，有最大值，为
考点3 二次函数的图象与系数，，的关系（重点）
例3 如图是二次函数的图象，结合图中的信息填空：（在横线上填“ ”“ ”或“”）.
例3题图
（1） ________0,________0,________0；
（2） ________0；
（3） ________0；
（4） ________0,________0；
（5） ________0；
（6） ________.
【答案】（1） ；；
（2）
（3）
（4） ；
（5）
（6）
知识精讲
解析式 ，，是常数，
，开口向上； ，开口向下
越大，抛物线的开口越小； 越小，抛物线的开口越大
， ，对称轴为轴； ，同号，对称轴在轴左侧； ，异号，对称轴在轴右侧
，抛物线过原点； ，抛物线与轴交于正半轴； ，抛物线与轴交于负半轴
，抛物线与轴有唯一交点（顶点）； ，抛物线与轴有两个不同的交点； ，抛物线与轴没有交点
【特殊关系】①当时，；②当时，；③当时，; ④当时，
考点4 待定系数法求二次函数解析式（重点）
例4 已知二次函数.
（1） 若该抛物线经过，，三点，则解析式为________________；（用一般式表示）
（2） 已知二次函数的最小值为3，对称轴为直线，且经过点，则解析式为____________________；（用顶点式表示）
（3） 若该抛物线与轴的交点坐标为，，且与抛物线的形状相同，则解析式为____________________.（用交点式表示）
【答案】（1）
（2）
（3）
知识精讲
类型 解析式设法
顶点在原点
顶点在轴上
顶点在轴上（或对称轴是轴）
抛物线过原点
顶点其他点
与轴的两交点其他点
任意三个点
考点5 二次函数图象的变换
例5 已知抛物线.
（1） 将该抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线所对应的函数解析式为______________________；（用顶点式表示）
（2） 该抛物线关于轴对称的抛物线所对应的函数解析式为__________________.（用顶点式表示）
【答案】（1）
（2）
变式5．若抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后经过点，则________.
【答案】
知识精讲
平移前的解析式 移动方向 平移后的解析式 规律
向左平移个单位 给左加右减
向右平移个单位
向上平移个单位 给等号右边整体上加下减
向下平移个单位
考点6 二次函数与方程、不等式的关系
例6 如图是二次函数的部分图象，根据图象解决下列问题：
例6题图
（1） 方程的解是__________________________，方程的解是________________________；
（2） 不等式的解是____________，方程的解是____________________；
（3） 关于的一元二次方程（为常数）在的范围内有解，则的取值范围是______________.
【答案】（1） ，；，
（2） ；或
（3）
知识精讲
1.二次函数与一元二次方程的关系［2022年版课标新增］
（1）二次函数的图象与轴交点的横坐标一元二次方程的根
（2）①二次函数的图象与轴有两个交点一元二次方程有两个不相等的实数根；
②二次函数的图象与轴有且只有一个交点一元二次方程有两个相等的实数根；
③二次函数的图象与轴没有交点一元二次方程没有实数根
2.二次函数与不等式的关系
第2题图
（1）不等式的解集 二次函数的图象位于轴上方部分对应的的取值范围
（2）不等式的解集 二次函数的图象位于轴下方部分对应的的取值范围
贵州真题 随堂测
（建议用时：15分钟）
命题点1 二次函数的图象与性质（5年3考）
1．[2023贵州10题3分]已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
第1题图
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
2．[2022黔东南州7题]若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
3．[2024贵州12题3分]如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）
第3题图
A. 二次函数图象的对称轴是直线
B. 二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2
C. 当时，随的增大而减小
D. 二次函数图象与轴的交点的纵坐标是3
【答案】D
4．[2022毕节14题]在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：；；；；.其中正确的有（ ）
第4题图
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
5．[2021贵阳13题4分]二次函数的图象开口方向是____（填“向上”或“向下”）.
【答案】向上
6．[2022六盘水15题]如图是二次函数的图象，该函数的最小值是__________.
第6题图
【答案】
命题点2 二次函数图象的变换
7．[2022黔东南州18题]在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转 ，再向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标是________________.［解析见P169］
【答案】
命题点3 二次函数与方程、不等式的关系（贵阳2020.10）
8．[2024贵阳市观山湖区模拟]抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（ ）
第8题图
A. B.
C. D.
【答案】C
9．[2020贵阳10题3分]已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3，则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是［解析见P169］（ ）
A. 和0 B. 和2 C. 和3 D. 和4
【答案】B
温馨提示 请完成《课后提升练》P30～31习题
提分专题一 抛物线中的函数最值问题
问题描述：当时，求二次函数的最大值和最小值.
情况1 抛物线的开口向上，即
类型 对称轴在区间左侧，即 对称轴在区间中间，即 对称轴在区间右侧，即
图形 对称轴靠近 对称轴靠近
最大值 在处取得最大值 在处取得最大值 在处取得最大值 在处取得最大值
最小值 在处取得最小值 在处取得最小值 在处取得最小值 在处取得最小值
情况2 抛物线的开口向下，即
类型 对称轴在区间左侧，即 对称轴在区间中间，即 对称轴在区间右侧，即
图形 对称轴靠近 对称轴靠近
最大值 在处取得最大值 在处取得最大值 在处取得最大值 在处取得最大值
最小值 在处取得最小值 在处取得最小值 在处取得最小值 在处取得最小值
类型1 ，为定值（5年3考）
1．[2024遵义市汇川区模拟]已知点在抛物线为常数，上.若时，总有，且当时,总有，求的值.
解：当时，，与题意不符，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小.
当时，总有，当时，总有,且与关于直线对称，
当或时，都有，
点的坐标为或.
将或代入，
得，解得.
2．已知二次函数为常数，且，当时，函数的最小值为2，求的值.
解： 二次函数为，
抛物线的对称轴为直线.
当时，函数值为；
当时，函数值为；
当时，函数值为.
①当时，函数在处取最小值，
函数的最小值为2，，解得；
②当时，函数在处取最小值，
函数的最小值为2，，解得.
综上所述，的值为1或.
3．[2023贵州模拟24题节选]当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的值.
解：，
抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大.
①当时，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
，
或（舍去）；
②当时，当时，有最大值为3，
的最大值与最小值之和为，
的最小值为，
，
解得或（舍去）.
综上所述，的值为或.
类型2 为定值
4．[2024成都]在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点.若，，则________（填“ ”或“ ”）；若对于，，，存在，则的取值范围是________________.
【答案】；
5．已知二次函数，当时，函数的值总大于等于15，求的值.
解：当，
解得，.
当时，函数有最小值15，
或，解得，
的值为8或.
6．已知二次函数（，为常数），当时，求函数的最大值与最小值的差.
解： 二次函数（，为常数），
抛物线的开口向下，对称轴为直线，最大值为.
，
，，，
当时，函数取最小值，最小值为
，
，
函数的最大值与最小值的差为4.
第14节 二次函数综合题
重难点突破
重难点1 二次函数性质综合题
例1 [2024遵义模拟]已知二次函数.
（1） 若二次函数的图象经过点，求的值；
（2） 在（1）的条件下，当时，二次函数的最大值是6，求的值；
（3） 已知点，，直线与轴、轴分别交于点，，若二次函数的图象与直线有两个不同的交点，其中一个交点在线段上（包含，两个端点），另一个交点在线段上（包含，两个端点），求的取值范围.
【答案】
（1） 解： 二次函数的图象经过点，
，解得.
（2） 解：由（1）可知二次函数为.
，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为.
当时，二次函数的最大值是6，
当时，二次函数的最大值是6，
，解得或（舍去），
的值为1.
（3） 解：设直线的表达式为，
将，代入，得，解得，
直线的表达式为.
直线与轴、轴分别交于点，，
，.
易知抛物线必过点，
当抛物线经过点时，解得；
当抛物线经过点时，解得；
当抛物线经过点时，解得.
抛物线与直线的一个交点在线段上，另一个交点在线段上，
，且，
的取值范围为.
【解析】
（1） 【思路点拨】直接将点的坐标代入二次函数表达式计算即可
（2） 【思路点拨】根据二次函数的表达式，结合二次函数的图象与性质，确定二次函数取最大值时的值，代入二次函数表达式，得到关于的方程求解即可
（3） 【思路点拨】将点，,的坐标代入二次函数的表达式，计算即可求出临界值
重难点2 二次函数与几何图形综合题
例2 [2024黔东南州模拟]如图，直线与轴交于点，与轴交于点，过，两点作抛物线，直线是抛物线的对称轴.
例2题图
（1） 求，两点的坐标；
（2） 求抛物线的函数解析式；
（3） 在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1） 解：在中，令，得，
令，得，
，.
（2） 解：把，代入，
得，解得，
抛物线的函数解析式为.
（3） 解：存在.
由（2）知抛物线的函数解析式为，
对称轴为直线.
点在对称轴上， 设.
又，，
，，.
当时，，解得，
；
当时，，解得或，
或；
当时，，解得或,
或.
综上所述，点的坐标为或或或或.
【解析】
（1） 【思路点拨】根据点的纵坐标为0，点的横坐标为0，代入一次函数解析式计算即可
（2） 【思路点拨】直接将点，的坐标代入二次函数解析式计算即可
（3） 【思路点拨】设出点的坐标，分，，三种情况讨论
贵州真题 随堂测
（建议用时：20分钟）
命题点1 二次函数性质综合题（贵阳2022.24）
1．[2022贵阳24题12分]已知二次函数.
（1） 求二次函数图象的顶点坐标（用含，的代数式表示）；
（2） 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过，，，四点，判断，，，的大小，并说明理由；
（3） 点是二次函数图象上的一个动点，当时，的取值范围是，求二次函数的表达式.
【答案】
（1） 解：，
二次函数图象的顶点坐标为.
（2） 当时，；当时，，理由如下：
由（1）得抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，
，;
当时，抛物线开口向下，
，.
综上所述，当时，;当时，.
（3） 当时，抛物线开口向上，对称轴为，
时，随的增大而增大，
当时，；当时，，
,解得,
;
当时，抛物线开口向下，对称轴为，
时，随的增大而减小，
当时，;当时，，
,解得,
.
综上所述，二次函数的表达式为或.
命题点2 二次函数与几何图形综合题
2．[2022毕节27题]如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点.
第2题图
（1） 求抛物线的表达式；
（2） 把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值；
（3） 是（1）中抛物线上一点，是直线上一点.是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1） 解： 抛物线的顶点为，
抛物线的表达式为.
（2） 由（1）知抛物线的表达式为，令，则，.
令，则或，，， 直线的表达式为.
设平移后的抛物线的表达式为，
令，整理得，
该抛物线与直线始终有交点，
，解得，的最大值为.
（3） 存在.
由题意可知，抛物线的对称轴为直线，，.
设点，
若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，分以下两种情况：
①当为边时，，则，
，
，解得或（舍去）或或.
的坐标为或或；
②当为对角线时，易知，互相平分，设点，
，解得或（舍去），.
综上所述，点的坐标为或或或.
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第15节 二次函数的实际应用
重难点突破
重难点1 利润问题
例1 [2024贵州24题12分]某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值.
销售单价元 … 12 14 16 18 20 …
销售量盒 … 56 52 48 44 40 …
（1） 求与的函数表达式；
（2） 糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3） 若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求的值.
【答案】
（1） 解：设与的函数表达式为.
则，解得,
与的函数表达式.
（2） 解：设日销售利润为元.
，
当时，的值最大，最大值为450.
答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元.
（3） 解：设日销售利润为元.
.
日销售获得的最大利润为392元，
,
整理，得,
,
解得，（舍去），
的值为2.
【解析】
（1） 【思路点拨】设出一次函数的表达式，将表格中的任意两组值代入计算即可
（2） 【思路点拨】①每盒糖果的利润售价-进价，日销售利润每盒糖果的利润×销售量；②求出日销售利润关于销售单价的函数表达式，再根据函数的性质计算即可
（3） 【思路点拨】①每盒糖果的利润售价-进价，日销售利润每盒糖果的利润×销售量；②求出日销售利润关于销售单价的函数表达式，再根据函数的性质计算即可，注意对的值进行取舍
重难点2 抛物线型问题
例2 [2024贵州模拟24题12分]如图1是位于安顺的坝陵河大桥.某兴趣小组受到该桥的启示，设计了一座桥的模型，它的两桥塔，之间的悬索是抛物线型（如图2所示），悬索上设置有若干条垂直于水平线的吊索，图中，，悬索上最低点到的垂直距离.（悬索与在同一平面内）
例2题图
（1） 按如图2所示建立平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
（2） 根据设计要求，从抛物线的顶点开始，每相隔有一条吊索，当吊索高度大于或等于时，需加固.求此条抛物线有多少条吊索需要加固；
（3） 若抛物线经过两点，，抛物线在，两点之间的部分为图象（包括，两点），图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，当时，求的值.
【答案】
（1） 解：设抛物线的函数表达式为，
依题意，得，，，，，
，解得， 抛物线的函数表达式为.
（2） 解：令，解得.
每相隔 有一条吊索，当吊索高度大于或等于时，需加固，
，故有8条吊索需要加固.
（3） 解： 抛物线经过两点，，， 图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，
分下面四种情况：①当时，的值随的增大而减小，
，即，解得;
②当时，，即，解得（舍去）;
③当时，，即,
解得（舍去）;
④当时，，，解得.
综上所述，的值为或7.
【解析】
（1） 【思路点拨】根据抛物线的对称轴是轴，设出函数表达式，再代入点，的坐标计算即可
（2） 【思路点拨】①要加固的吊索数量是点右侧需要加固的吊索数量的2倍；②当函数值时，对应的吊索需要加固
（3） 【思路点拨】①对的取值范围分下面四种情况进行分析：，，，;②根据二次函数的图象与性质，确定其最大值与最小值，进而列出关于的方程求解即可，注意对的值进行取舍
贵州真题 随堂测
（建议用时：20分钟）
命题点1 利润问题（2024.24）
1．[2022铜仁23题]为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”.2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元.
请解答以下问题：
（1） 求每天销量（吨）与批发价（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2） 当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1） 解：， 每天销量（吨）与批发价（千元/吨）之间的函数关系式为，自变量的取值范围是.
（2） 设每天所获利润为千元，批发价为千元/吨.根据题意，得，
， 当时，随的增大而增大.
， 当时，有最大值，最大值为.
答：当批发价定为5.5千元/吨时，每天所获利润最大，最大利润是31.5千元.
2．[2022毕节25题]2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进，两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价-进货价）
类别 价格 款钥匙扣 款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
（1） 网店第一次用850元购进，两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2） 第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进，两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3） 冬奥会临近结束时，网店打算把款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【答案】
（1） 解：设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件.
依题意，得，解得.
答：购进款钥匙扣20件，款钥匙扣10件.
（2） 设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣.
依题意，得，解得.
设再次购进的，两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，则.
，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为，此时.
答：当购进40件款钥匙扣，40件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元.
（3） 设款钥匙扣的销售价定为每件元，
则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
依题意，得，
整理，得，
解得，.
答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元.
命题点2 抛物线型问题（2023.24，贵阳2021.24）
3．[2023贵州24题12分]如图1,是一座抛物线型拱桥,小星学习二次函数后,受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图2所示）,抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，,点在抛物线上，且点到对称轴的距离,点在抛物线上，点到对称轴的距离是1.
第3题图
（1） 求抛物线的表达式;
（2） 如图2,为更加稳固,小星想在上找一点,加装拉杆,,同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标;
（3） 为了造型更加美观，小星重新设计抛物线,其表达式为,当时,函数的值总大于等于9.求的取值范围.
【答案】
（1） 解: 抛物线的对称轴与轴重合， 设抛物线的表达式为.
,,.
将,代入中，得,解得, 抛物线的表达式为.
（2） 抛物线的表达式为,点到对称轴的距离是1，
当时,,.
如解图,作点关于轴的对称点，连接交轴于点,连接,,则,.
, 当,,三点共线时,拉杆,长度之和最短,为的长.
设直线的表达式为,
将,代入，得,解得,
直线的表达式为.当时，, 点的坐标为.
第3题解图
（3） 在中，
, 抛物线的开口向下，对称轴为直线.
当时，.
当时, 当时,函数的值总大于等于9,
当时,取最小值,最小值为,
,解得,;
当时, 当时,函数的值总大于等于9,
当时,取最小值,最小值为,
,解得,.
综上所述，的取值范围为.
温馨提示 请完成《课后提升练》P35～37习题
三角形知识脉络图
21世
