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2025年贵州中考命题探究-
第五章 四边形 学生版
第22节 平行四边形与多边形
2022年版课标重要变化
了解多边形（本标准中多边形指凸多边形）（新增）的概念（改动）及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线等概念（删除）
核心考点 精讲练
考点1 平行四边形的性质与判定（重点）
例1 如图1，已知的对角线，相交于点.
例1题图
（1）
① 若 ，则____________；
② 若,,则的取值范围为________________;
③ 若,,，则的周长为______________,面积为________.
（2） 为边上的一点，连接.
① 如图2，若为边的中点， ， ，则____________；
② 如图3，连接，若，的周长为15，则的周长为__________；
③ 如图4，若点在上，且,连接,求证：，，三点共线.
例1题图4
变式1．如图，四边形的对角线，相交于点.下列条件能判定四边形为平行四边形的是______.（填序号）
变式1图
，且；，且；，且；，且；且；为，的中点；，且平分.
知识精讲
1.平行四边形的性质
边 对边平行且相等
角 对角相等，邻角互补
对角线 对角线互相平分
对称性 是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，过对称中心的直线平分平行四边形的面积和周长
面积 （表示一条边长，表示此边上的高）
2.平行四边形的判定
边 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义） ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
考点2 多边形的性质
例2
（1） 八边形的内角和是______________，外角和度数为____________，从一个顶点出发可以画出________条对角线，它们把八边形分成________个三角形；
（2） 若正多边形的一个内角是 ，则这个正多边形的边数是__________，若正多边形的一个外角是 ，则这个正多边形的内角和是____________；
（3） 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________.
变式2．如图，将直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点，且经过点，直尺的上沿经过点，则的度数为____________.
变式2图
知识精讲
1.多边形的性质
（1）内角和：边形的内角和为
（2）外角和：边形的外角和为
（3）对角线：过边形的一个顶点可以引条对角线，把这个边形分成个三角形，边形共有条对角线
2.正多边形的性质
（1）正边形的各条边相等
（2）各个内角相等，正边形的每个内角的度数为
（3）各个外角相等，正边形的每个外角的度数为
（4）正多边形都是轴对称图形，其中边数为偶数的正多边形也是中心对称图形，正边形有条对称轴
贵州真题 随堂测
（建议用时：25分钟）
命题点1 平行四边形的性质与判定（必考）
1．[2024贵州8题3分]如图，的对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
第1题图
A. B. C. D.
2．（北师八下P159 T10改编）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点.若，，则的长是（ ）
第2题图
A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3
3．如图，在中， ，，，点为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为________.［解析见P172］
第3题图
4．[2024遵义市红花岗区模拟改编]如图，在中， ，点是边的中点，交的延长线于点.
第4题图
（1） 求证：；
（2） 若 ，，连接，求四边形的面积.
5．如图1，在四边形中，和相交于点，，.
第5题图1
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 如图2，，，分别是，，的中点，连接，，.若，，，求的周长.
第5题图2
命题点2 多边形的性质
6．[2024铜仁市万山区模拟]正十二边形的外角和为（ ）
A. B. C. D.
7．[2024贵阳市南明区模拟]风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下.如图是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为（ ）
第7题图
A. B. C. D.
第23节 矩形、菱形、正方形
2022年版课标重要变化
①理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系（新增）
②理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系（新增）
核心考点 精讲练
考点1 矩形、菱形、正方形的性质与判定（重点）
矩形 菱形 正方形
图形 （，为两邻边长） （为边长，为该边上的高，,为对角线的长） （为边长，为对角线的长）
边 对边平行且相等 对边平行，四条边都相等 对边平行，四条边都相等
角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角
对角线 对角线互相平分且相等 对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形
面积
判定 ①有三个角是直角的四边形是矩形②有一个角是直角的平行四边形是矩形 ③对角线相等的平行四边形是矩形 ①四条边相等的四边形是菱形 ②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ①有一组邻边相等的矩形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形 ③有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线相等的菱形是正方形
考点2 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
边、角的特点 对角线的特点
考点3 中点四边形
概念 顺次连接四边形各边的中点所得的四边形叫做中点四边形
原图形 任意四边形 矩形 菱形 正方形 对角线相等的四边形 对角线互相垂直的四边形 对角线互相垂直且相等的四边形
中点四边形的形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形
考点4 梯形［2022年版课标新增］
概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形
分类 ①等腰梯形：在同一底边上的两个内角相等的梯形 ②直角梯形：有一个角是直角的梯形
性质 梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半
面积 （上底下底）高
第1课时 矩 形
重难点突破
例1 已知在四边形中,对角线和交于点.
（1） 若增加下列条件中的一个,可使四边形为矩形,则这个条件可以是____.（填序号）
;②四边形是平行四边形,;,;,, ;, .
（2） 若四边形为矩形,回答下列问题.
① 如图1,若,,则__________ ,的长为________.
例1题图
② 如图2,点是边上一动点.
若,,则的最小值为________,
若,, ,则的长为____________.
变式1．[2022铜仁2题]如图，在矩形中，，，，则的坐标为（ ）
变式1图
A. B. C. D.
例2 [2024贵州20题10分]如图，四边形的对角线与相交于点，， ，有下列条件：，.
例2题图
（1） 请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形；
（2） 在（1）的条件下，若，，求四边形的面积.
贵州真题 随堂测
（建议用时：20分钟）
命题点 矩形的性质与判定（5年4考）
1．[2023贵州20题10分]如图，在中， ，延长至，使得，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话：
第1题图
（1） 请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2） 连接，若,，求的长．
2．如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为.
第2题图
（1） 求证：；
（2） 若，，求四边形的面积.
3．[2022六盘水19题]如图，在平行四边形中，平分，平分.
第3题图
（1） 求证：；
（2） 当满足什么条件时，四边形是矩形？请写出证明过程.
温馨提示 请完成《课后提升练》P52习题
第2课时 菱 形
重难点突破
例1 已知四边形为菱形,对角线,交于点.
（1） 若 ,则__________ ；
（2） 如图1，若,，，分别是，的中点.
图1
① 菱形的周长为__________;
② ,间的距离为____________；
③ 连接，则的长为________;
④ 连接，则的长为________.
（3） 如图2，若菱形的边长为4, ，点是边上一动点（不与点,重合）,过点作交于点,连接.
图2
① 当是等腰三角形时,的长为____________________;
② 过点分别向直线,作垂线,垂足分别为点,，连接,当取得最小值时,的长为________.
变式1．如图，在四边形中，， ，，连接，的平分线交，分别于点，.若，，则的长为（ ）
变式1图
A. 4 B. C. D.
例2 [2024贵阳市南明区模拟]如图，四边形是平行四边形，点，分别是边，的中点，.
例2题图
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若 ，平行线与间的距离是，求平行四边形的面积.
贵州真题 随堂测
（建议用时：15分钟）
命题点 菱形的性质与判定（5年4考）
1．[2020贵阳7题3分]菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A. 5 B. 20 C. 24 D. 32
2．[2024安顺模拟]（北师九上P9 T3改编）如图，在菱形中，，，，垂足为，与交于点，则的值为（ ）
第2题图
A. B. C. D.
3．[2021贵阳14题4分]如图，在平面直角坐标系中，菱形对角线的交点坐标是，点的坐标是，且，则点的坐标是______________.
第3题图
4．[2023贵州模拟15题4分]如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形.若， ，则，两点间的距离为________.
第4题图
5．[2022黔东南州15题]（人教八下P67 T5改编）如图，矩形的对角线，相交于点，，.若，则四边形的周长是__________.
第5题图
6．[2022铜仁14题]如图，四边形为菱形， ，延长到点，在内作射线，使得 ，过点作，垂足为.若，则的长为__________（结果保留根号）.
第6题图
7．[2024贵阳市乌当区模拟]如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，.
第7题图
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若，，求四边形的面积.
第3课时 正方形
重难点突破
例1
（1） 已知四边形为平行四边形.
① 若 ,则要使平行四边形为正方形,需添加的条件为______________________________;
② 连接,,若,则要使平行四边形为正方形,需添加的条件为____________________________________.
（2） 如图1,若四边形为正方形,是上一点,连接,交于点,且.
例1题图1
① 的长为__________，____________;
② 若是的中点,则的长为________,____________;
（3） 若四边形为正方形,连接,交于点.
① 如图2,点,分别是,上的点,连接,,,.若四边形是菱形,且,则__________,______________________;
图2
② 如图3,是的中点,是上一点,为对角线上一点.若，,则的最小值为________.
图3
变式1．[2022贵阳21题10分]如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且.
变式1图
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
例2 [2024云南改编]如图，在四边形中，点，，，分别是各边的中点，且，，四边形是矩形，则四边形的形状是____.
例2题图
贵州真题 随堂测
（建议用时：20分钟）
命题点 正方形的性质与判定（5年5考）
1．[2022贵阳8题3分]如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）
第1题图
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
2．[2024遵义市红花岗区模拟]如图，是等腰直角三角形， ，是的中点，连接并延长至，使得，连接和.①以点为圆心，的长为半径画弧交于点;②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点;③作射线交于点，连接.若，则的长为（ ）
第2题图
A. 2 B. C. D.
3．[2022黔东南州9题]如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为（ ）
第3题图
A. B. C. D.
4．[2024贵州模拟18题10分]如图，在矩形中，点，分别在，上，连接，，.
第4题图
（1） 试判断四边形的形状，并说明理由；
（2） 若，，求矩形的周长.
5．将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上.
第5题图
（1） 求证：；
（2） 若，求的长.
提分专题 六 构造直角三角形解决，倍的线段数量关系
类型1 构造含45° 角的直角三角形
题中有 角 作垂线构造等腰直角三角形
题中无 角 寻找直角，作腰相等构造等腰直角三角形
类型2 构造含45° 角的直角三角形
题中有 角 作垂线构造含角的直角三角形
题中无 角 寻找直角，截长补短构造含角的直角三角形
针对训练
1．如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，.若，则的长为______.
第1题图
2．如图，在正方形中，，分别为，的中点，与交于点，连接.若，，则__________.
第2题图
3．如图，在中， ， ，点是边上一点，过点作，过点作的垂线交于点，连接.若，则__________.
第3题图
4．[2023贵州16题4分]如图，在矩形中，点为矩形内一点，且，, , ，则四边形的面积是____________．
第4题图
圆知识脉络图
2025年贵州中考命题探究-
第五章 四边形 教师版
第22节 平行四边形与多边形
2022年版课标重要变化
了解多边形（本标准中多边形指凸多边形）（新增）的概念（改动）及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线等概念（删除）
核心考点 精讲练
考点1 平行四边形的性质与判定（重点）
例1 如图1，已知的对角线，相交于点.
例1题图
（1）
① 若 ，则____________；
② 若,,则的取值范围为________________;
③ 若,,，则的周长为______________,面积为________.
（2） 为边上的一点，连接.
① 如图2，若为边的中点， ， ，则____________；
② 如图3，连接，若，的周长为15，则的周长为__________；
③ 如图4，若点在上，且,连接,求证：，，三点共线.
例1题图4
【答案】①
②
③ ；
（2） ①
②
③ 证明: 四边形是平行四边形,
,,.
又,,,
,.
, ,
,,三点共线.
变式1．如图，四边形的对角线，相交于点.下列条件能判定四边形为平行四边形的是______.（填序号）
变式1图
，且；，且；，且；，且；且；为，的中点；，且平分.
【答案】①②③⑤⑥
知识精讲
1.平行四边形的性质
边 对边平行且相等
角 对角相等，邻角互补
对角线 对角线互相平分
对称性 是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，过对称中心的直线平分平行四边形的面积和周长
面积 （表示一条边长，表示此边上的高）
2.平行四边形的判定
边 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义） ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
考点2 多边形的性质
例2
（1） 八边形的内角和是______________，外角和度数为____________，从一个顶点出发可以画出________条对角线，它们把八边形分成________个三角形；
（2） 若正多边形的一个内角是 ，则这个正多边形的边数是__________，若正多边形的一个外角是 ，则这个正多边形的内角和是____________；
（3） 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________.
【答案】（1） ；；；
（2） ；
（3）
变式2．如图，将直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点，且经过点，直尺的上沿经过点，则的度数为____________.
变式2图
【答案】
知识精讲
1.多边形的性质
（1）内角和：边形的内角和为
（2）外角和：边形的外角和为
（3）对角线：过边形的一个顶点可以引条对角线，把这个边形分成个三角形，边形共有条对角线
2.正多边形的性质
（1）正边形的各条边相等
（2）各个内角相等，正边形的每个内角的度数为
（3）各个外角相等，正边形的每个外角的度数为
（4）正多边形都是轴对称图形，其中边数为偶数的正多边形也是中心对称图形，正边形有条对称轴
贵州真题 随堂测
（建议用时：25分钟）
命题点1 平行四边形的性质与判定（必考）
1．[2024贵州8题3分]如图，的对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
第1题图
A. B. C. D.
【答案】B
2．[2021贵阳11题3分]（北师八下P159 T10改编）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点.若，，则的长是（ ）
第2题图
A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3
【答案】B
3．[2022毕节18题]如图，在中， ，，，点为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为________.［解析见P172］
第3题图
【答案】
4．[2024遵义市红花岗区模拟改编]如图，在中， ，点是边的中点，交的延长线于点.
第4题图
（1） 求证：；
（2） 若 ，，连接，求四边形的面积.
【答案】
（1） 证明： 点是边的中点，
.
，
.
在和中，，
，
.
（2） 解： ， ，，
，.
由（1）知.
又， 四边形是平行四边形，
四边形的面积.
5．[2022毕节26题]如图1，在四边形中，和相交于点，，.
第5题图1
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 如图2，，，分别是，，的中点，连接，，.若，，，求的周长.
第5题图2
【答案】
（1） 证明：，.
在与中，,
，
，
四边形是平行四边形.
（2） 解：如图2，连接，
图2
四边形是平行四边形，
，，，，
.
，
，.
是的中点，
，，
，
.
是的中点， ，
.
点，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
的周长为.
命题点2 多边形的性质
6．[2024铜仁市万山区模拟]正十二边形的外角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
7．[2024贵阳市南明区模拟]风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下.如图是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为（ ）
第7题图
A. B. C. D.
【答案】C
温馨提示 请完成《课后提升练》P50～51习题
第23节 矩形、菱形、正方形
2022年版课标重要变化
①理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系（新增）
②理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系（新增）
核心考点 精讲练
考点1 矩形、菱形、正方形的性质与判定（重点）
矩形 菱形 正方形
图形 （，为两邻边长） （为边长，为该边上的高，,为对角线的长） （为边长，为对角线的长）
边 对边平行且相等 对边平行，四条边都相等 对边平行，四条边都相等
角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角
对角线 对角线互相平分且相等 对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形
面积
判定 ①有三个角是直角的四边形是矩形②有一个角是直角的平行四边形是矩形 ③对角线相等的平行四边形是矩形 ①四条边相等的四边形是菱形 ②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ①有一组邻边相等的矩形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形 ③有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线相等的菱形是正方形
考点2 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
边、角的特点 对角线的特点
考点3 中点四边形
概念 顺次连接四边形各边的中点所得的四边形叫做中点四边形
原图形 任意四边形 矩形 菱形 正方形 对角线相等的四边形 对角线互相垂直的四边形 对角线互相垂直且相等的四边形
中点四边形的形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形
考点4 梯形［2022年版课标新增］
概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形
分类 ①等腰梯形：在同一底边上的两个内角相等的梯形 ②直角梯形：有一个角是直角的梯形
性质 梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半
面积 （上底下底）高
第1课时 矩 形
重难点突破
例1 已知在四边形中,对角线和交于点.
（1） 若增加下列条件中的一个,可使四边形为矩形,则这个条件可以是____.（填序号）
;②四边形是平行四边形,;,;,, ;, .
（2） 若四边形为矩形,回答下列问题.
① 如图1,若,,则__________ ,的长为________.
例1题图
② 如图2,点是边上一动点.
若,,则的最小值为________,
若,, ,则的长为____________.
【答案】（1） ①③④
（2） ① ；
② ；或4
变式1．[2022铜仁2题]如图，在矩形中，，，，则的坐标为（ ）
变式1图
A. B. C. D.
【答案】D
例2 [2024贵州20题10分]如图，四边形的对角线与相交于点，， ，有下列条件：，.
例2题图
（1） 请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形；
（2） 在（1）的条件下，若，，求四边形的面积.
【答案】
（1） 解：答案不唯一，若选择①，证明如下：
，，
四边形是平行四边形.
， 四边形是矩形.
（2） 四边形是矩形， .
，，，
四边形的面积.
贵州真题 随堂测
（建议用时：20分钟）
命题点 矩形的性质与判定（5年4考）
1．[2023贵州20题10分]如图，在中， ，延长至，使得，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话：
第1题图
（1） 请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2） 连接，若,，求的长．
【答案】
（1） 解：答案不唯一，若选择小星的说法，证明如下：如解图1，连接，，， 四边形是平行四边形，，.又，点在的延长线上，， 四边形是平行四边形. 又 ， 四边形是矩形，.
图1
（2） 如解图2，连接，，，，.在中，，，解得.
图2
2．[2021贵阳19题10分]如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为.
第2题图
（1） 求证：；
（2） 若，，求四边形的面积.
【答案】
（1） 证明：在矩形中，
，，
.
， .
在和中，
.
（2） 解：，,
,
，，.
3．[2022六盘水19题]如图，在平行四边形中，平分，平分.
第3题图
（1） 求证：；
（2） 当满足什么条件时，四边形是矩形？请写出证明过程.
【答案】（1） 证明： 四边形是平行四边形，，，，平分，平分，，，.在和中，，.
（2） 解：当满足时，四边形是矩形，证明如下：由（1）可知，，， 四边形是平行四边形.，平分，， ， 四边形是矩形.
温馨提示 请完成《课后提升练》P52习题
第2课时 菱 形
重难点突破
例1 已知四边形为菱形,对角线,交于点.
（1） 若 ,则__________ ；
（2） 如图1，若,，，分别是，的中点.
图1
① 菱形的周长为__________;
② ,间的距离为____________；
③ 连接，则的长为________;
④ 连接，则的长为________.
（3） 如图2，若菱形的边长为4, ，点是边上一动点（不与点,重合）,过点作交于点,连接.
图2
① 当是等腰三角形时,的长为____________________;
② 过点分别向直线,作垂线,垂足分别为点,，连接,当取得最小值时,的长为________.
【答案】（1）
（2） ①
②
③
④
（3） ① 或
②
变式1．如图，在四边形中，， ，，连接，的平分线交，分别于点，.若，，则的长为（ ）
变式1图
A. 4 B. C. D.
【答案】D
例2 [2024贵阳市南明区模拟]如图，四边形是平行四边形，点，分别是边，的中点，.
例2题图
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若 ，平行线与间的距离是，求平行四边形的面积.
【答案】
（1） 证明： 四边形是平行四边形，
，.
点，分别是边，的中点，
， 四边形是平行四边形.
， 四边形是菱形.
（2） 解：如解图，过点作于点，连接.
例2题解图
点是边的中点，.
由（1）知四边形是菱形，
,，
易得为直角三角形， .
四边形是平行四边形， ，
， ，
.
由题意知，，
，
.
,
，
.
，，，
.
贵州真题 随堂测
（建议用时：15分钟）
命题点 菱形的性质与判定（5年4考）
1．[2020贵阳7题3分]菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A. 5 B. 20 C. 24 D. 32
【答案】B
2．[2024安顺模拟]（北师九上P9 T3改编）如图，在菱形中，，，，垂足为，与交于点，则的值为（ ）
第2题图
A. B. C. D.
【答案】D
3．[2021贵阳14题4分]如图，在平面直角坐标系中，菱形对角线的交点坐标是，点的坐标是，且，则点的坐标是______________.
第3题图
【答案】
4．[2023贵州模拟15题4分]如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形.若， ，则，两点间的距离为________.
第4题图
【答案】
5．[2022黔东南州15题]（人教八下P67 T5改编）如图，矩形的对角线，相交于点，，.若，则四边形的周长是__________.
第5题图
【答案】
6．[2022铜仁14题]如图，四边形为菱形， ，延长到点，在内作射线，使得 ，过点作，垂足为.若，则的长为__________（结果保留根号）.
第6题图
【答案】
7．[2024贵阳市乌当区模拟]如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，.
第7题图
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若，，求四边形的面积.
【答案】
（1） 证明：，，
四边形是平行四边形.
四边形是矩形，
，，
四边形是菱形.
（2） 解： 四边形是矩形，
.
，
，
在中，，
，
.
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第3课时 正方形
重难点突破
例1
（1） 已知四边形为平行四边形.
① 若 ,则要使平行四边形为正方形,需添加的条件为______________________________;
② 连接,,若,则要使平行四边形为正方形,需添加的条件为____________________________________.
（2） 如图1,若四边形为正方形,是上一点,连接,交于点,且.
例1题图1
① 的长为__________，____________;
② 若是的中点,则的长为________,____________;
（3） 若四边形为正方形,连接,交于点.
① 如图2,点,分别是,上的点,连接,,,.若四边形是菱形,且,则__________,______________________;
图2
② 如图3,是的中点,是上一点,为对角线上一点.若，,则的最小值为________.
图3
【答案】① （答案不唯一）
② （答案不唯一）
（2） ① ；
② ；
（3） ① ；
②
变式1．[2022贵阳21题10分]如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且.
变式1图
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
【答案】
（1） 证明： 四边形为正方形，，， .
，
四边形是矩形，
，，
.
的垂直平分线交于点，交于点，垂足为， ，
.
在和中，,
.
（2） 解： ，是公共角，
，.
，，，
,，.
由（1）知，，
.
例2 [2024云南改编]如图，在四边形中，点，，，分别是各边的中点，且，，四边形是矩形，则四边形的形状是____.
例2题图
【答案】菱形
贵州真题 随堂测
（建议用时：20分钟）
命题点 正方形的性质与判定（5年5考）
1．[2022贵阳8题3分]如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）
第1题图
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】B
2．[2024遵义市红花岗区模拟]如图，是等腰直角三角形， ，是的中点，连接并延长至，使得，连接和.①以点为圆心，的长为半径画弧交于点;②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点;③作射线交于点，连接.若，则的长为（ ）
第2题图
A. 2 B. C. D.
【答案】A
3．[2022黔东南州9题]如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为（ ）
第3题图
A. B. C. D.
【答案】D
4．[2024贵州模拟18题10分]如图，在矩形中，点，分别在，上，连接，，.
第4题图
（1） 试判断四边形的形状，并说明理由；
（2） 若，，求矩形的周长.
【答案】
（1） 解：四边形为正方形，理由如下：
四边形是矩形，
.
， ，
四边形为矩形.
， 四边形为正方形.
（2） 四边形为正方形，.
，，
矩形的周长为.
5．[2022遵义19题]将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上.
第5题图
（1） 求证：；
（2） 若，求的长.
【答案】
（1） 证明： 四边形是正方形，四边形是菱形，点与点重合，，
， .
在和中，，.
（2） 解：如图，过点作于点，则 .
四边形是正方形，
，， ， ，，（负值已舍去），
在中，由勾股定理得.
四边形是菱形，，
，
.
第5题图
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提分专题 六 构造直角三角形解决，倍的线段数量关系
类型1 构造含45° 角的直角三角形
题中有 角 作垂线构造等腰直角三角形
题中无 角 寻找直角，作腰相等构造等腰直角三角形
类型2 构造含45° 角的直角三角形
题中有 角 作垂线构造含角的直角三角形
题中无 角 寻找直角，截长补短构造含角的直角三角形
针对训练
1．如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，.若，则的长为______.
第1题图
【答案】
2．如图，在正方形中，，分别为，的中点，与交于点，连接.若，，则__________.
第2题图
【答案】
3．如图，在中， ， ，点是边上一点，过点作，过点作的垂线交于点，连接.若，则__________.
第3题图
【答案】
4．[2023贵州16题4分]如图，在矩形中，点为矩形内一点，且，, , ，则四边形的面积是____________．
第4题图
【答案】
圆知识脉络图
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