第6章 图形的相似能力提升卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·广东·中考真题）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
2．（2024·江苏扬州·模拟预测）若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏镇江·模拟预测）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1、2、3、4 B．2、3、4、5 C．3、4、6、9 D．2、3、4、6
4．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，与相交于点 O，要使与相似，可添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
7．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江·一模）如图，矩形矩形，连接、、，要求出的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（ ）
A．矩形的面积
B．四边形的面积
C．的面积
D．的面积
9．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2024·广东·一模）若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为
12．（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：
13．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为 ．
14．（2024·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ．
15．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
16．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为 ．
17．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则 ．
18．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
三、解答题：本大题共10小题，共96分．
19．（6分）（2024·新疆克孜勒苏·二模）如图所示的两个四边形相似，则角α的度数是多少？
20．（8分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知点D，E分别在边，上，，交于点O，，，，，．求，的长．
21．（8分）（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
22．（8分）（2024·广东·模拟预测）路边有一口废弃的圆柱形枯井，出于安全考虑，大家准备运来泥土把它填平，如图，先测得井口的直径，然后在D处立一根长的铁管 ，用聚光笔从铁管的顶端E点照射井底B点，光线与直径交于点O，测得．求填平这口井需要的泥土的体积（参考数据：）．
23．（8分）（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，与有公共顶点A，．请添加一个条件：______，使得，然后再加以证明．
24．（10分）（2023·河南周口·一模）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形且顶点均在格点上．
(1)在图中画出位似中心的位置，并写出位似中心的坐标；
(2)与的位似比为__________，面积比为__________．
25．（10分）（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．
(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”．
(2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）．
26．（12分）（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
27．（12分）（2024·山东东营·中考真题）在中，，，．
(1)问题发现
如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______；
(2)类比探究
将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
28．（14分）（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．
操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点．
理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3，，点E、F在直线上．
①作线段的中点；
②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点；
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）．第6章 图形的相似能力提升卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·广东·中考真题）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
【答案】A
【解析】解：0.618为黄金分割比，所以优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数；
故选A．
2．（2024·江苏扬州·模拟预测）若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A．因为，所以，故A不符合题意；
B．因为，所以，，故B不符合题意；
C．因为，所以，，故C不符合题意；
D．因为，所以，故D符合题意；
故选D．
3．（2023·江苏镇江·模拟预测）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1、2、3、4 B．2、3、4、5 C．3、4、6、9 D．2、3、4、6
【答案】D
【解析】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意，
故选：D．
4．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，与相交于点 O，要使与相似，可添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：（对顶角相等），
A、当时，则与相似，符合题意；
B、当时，无法证明与相似，不符合题意；
C、当时，无法证明与相似，不符合题意；
D、，无法证明与相似，不符合题意；
故选：A．
5．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是
故选：D．
6．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【答案】D
【解析】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．
故选D．
7．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，，
∴，
∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，
∵三角形硬纸板的面积为，
∴，
∴的面积为．
故选：D．
8．（2024·浙江·一模）如图，矩形矩形，连接、、，要求出的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（ ）
A．矩形的面积 B．四边形的面积
C．的面积 D．的面积
【答案】D
【解析】解：矩形矩形，
，
，
，
知道的面积，即可求出的面积，
故选：D．
9．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵，
设，，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等，
∴，即，
故选：A．
10．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【解析】解：如图，交于点，
∵矩形，
∴，
由折叠的性质得，，四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即①，
∵，
∴，
∴，即②，
∵，
由①②得，
解得，则，
在中，，
∵，
∴，即，
故答案为：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2024·广东·一模）若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为
【答案】
【解析】解：∵两个相似多边形的面积比为，
∴两个相似多边形的相似比为，
∴两个相似多边形的周长比两个相似多边形的相似比为.
故答案为：．
12．（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：
【答案】
【解析】解：∵
∴
∴，
故答案为：．
13．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为 ．
【答案】
【解析】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则，
∴，解方程得，，
点是靠近点的黄金分割点，设，则，
∴，解方程得，，
∴之间的距离为，
故答案为：．
14．（2024·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ．
【答案】12
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12．
15．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
【解析】由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
16．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为 ．
【解析】解：如图，连接，
点P是的重心，点D是边的中点，P在上，
，
，
，
，
，
，
，
设的面积为m，则的面积为，的面积为，
四边形的面积为6，
，
，
的面积为9，
的面积是18．
故答案为：18．
17．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则 ．
【解析】解：延长，截取，连接，，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：．
18．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
【答案】/
【解析】解：∵等腰中，，，
∴，
∵为中线，
∴，，
∴，，
∴，
∵将沿其底边中线向下平移，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
三、解答题：本大题共10小题，共96分．
19．（6分）（2024·新疆克孜勒苏·二模）如图所示的两个四边形相似，则角α的度数是多少？
【解析】解：因为两个四边形相似，所以对应角相等，由题意可得：
角α的度数．
20．（8分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知点D，E分别在边，上，，交于点O，，，，，．求，的长．
【解析】∵，，，
∴，的长分别为.
21．（8分）（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
【解析】解：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
又，
．
22．（8分）（2024·广东·模拟预测）路边有一口废弃的圆柱形枯井，出于安全考虑，大家准备运来泥土把它填平，如图，先测得井口的直径，然后在D处立一根长的铁管 ，用聚光笔从铁管的顶端E点照射井底B点，光线与直径交于点O，测得．求填平这口井需要的泥土的体积（参考数据：）．
【解析解】解：∵，
∴，
∴
∴
解得，
∴圆柱形枯井的体积为，
∴填平这口井需要的泥土的体积大约是．
23．（8分）（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，与有公共顶点A，．请添加一个条件：______，使得，然后再加以证明．
【解析】解：使，则需添加的条件可以是：或，
理由：①添加的条件可以是：时，
∵，
，
即，
又∵，
；
②添加的条件可以是：时，
∵，
，
即，
又∵，
；
故答案为：或（答案不唯一）．
24．（10分）（2023·河南周口·一模）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形且顶点均在格点上．
(1)在图中画出位似中心的位置，并写出位似中心的坐标；
(2)与的位似比为__________，面积比为__________．
【解析】（1）解：如图，位似中心的坐标为：．
（2）解：∵，，
∴与的位似比为：，
与的面积比为：．
故答案为：，．
25．（10分）（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．
(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”．
(2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D是点C的“关联点”．
（2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点；
②以为圆心，为半径作圆；
③过作交于点；
④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求，
证明：∵在以为直径的圆上运动，
∴，
由（1）可知：，
∵，
∴．
（3）①当时，如图所示，过点作的垂线，交于，作交于，
结合第（2）问，我们发现当点在直线左侧、右侧时，是锐角三角形，
此时，
∵，且，，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
②当，同理可得；
综上，或．
26．（12分）（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，
测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
【解析】（1）解：由题意得，由题意得：，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，由题意得，，
根据镜面反射可知：，
，，
，
，
，即，
，
答：旗杆高度为；
（3）解：设，
由题意得：，，
∴，，
即，，
∴，
整理得，
解得，经检验符合他
∴，
答：雕塑高度为．
27．（12分）（2024·山东东营·中考真题）在中，，，．
(1)问题发现
如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______；
(2)类比探究
将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
【解析】（1）解：延长交于点H，如图所示：
∵将绕点按逆时针方向旋转得到，
∴，，，
∴根据勾股定理得：，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下：
延长交于点H，如图所示：
∵将绕点旋转得到，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
又∵，，，
∴，
∴；
（3）解：过点C作于点N，如图所示：
根据旋转可知：，
∴，
∵在中，，，，
∴根据勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
根据解析（2）可知：．
28．（14分）（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．
操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点．
理由：由可得及，所以，．所以，
．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3，，点E、F在直线上．
①作线段的中点；
②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点；
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）．
【解析】解：[实践操作]
（1）①如图，
点即为所求作的点；
②如图，
点即为所求作的点；
（2）如图，
作法一、
作法二、
点，即为所求作的点；
[探索发现]（3）如图，
作法一、
作法二、
作法三、
作法四、
作法五、
点即为所求的点．
