3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质（同步练习）
一、选择题
1.双曲线－＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于( )
A.6 B.8
C.9 D.10
2.已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( )
A. B.
C. D.
3.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
4.已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，设左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，在C的右支上存在一点P，使得以F1F2，F2P为邻边的平行四边形为菱形，且直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切，则该双曲线C的离心率为( )
A. B.
C. D．2
6.若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A.(，＋∞) B.(，2)
C.(1，) D.(1,2)
7.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为( )
A.2 B.
C. D.5
8. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A.实轴长为8 B.虚轴长为4
C.焦距为6 D.离心率为
9.(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 ( )
A.C的方程为－＝1 B.C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2
二、填空题
10.双曲线x2－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于________
11.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________________
12.已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为______
13.已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为，则双曲线C的方程为________
三、解答题
14.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
15.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
参考答案及解析：
一、选择题
1.B 解析：由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
2.C 解析：由双曲线－＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，则圆心到渐近线的距离为d＝＝，则＝2，可得e＝＝.
3.D 解析：由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.
4.A 解析：由题意，得点P(2,1)在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝，即a＝2b.
又2c＝10，∴c＝5.由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.故所求双曲线方程为－＝1.
5.B 解析：由题意得|PF2|＝|F1F2|＝2c，设直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切于点T，如图，
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则PF1⊥TF2，|TF2|＝c，在Rt△F1TF2中，∠TF2F1＝60° |PF1|＝2c，
则由双曲线的定义可得|PF2|＝|PF1|－2a＝2c－2a，所以2c＝2c－2a，解得e＝＝.
6.C 解析：由题意得双曲线的离心率e＝．即e2＝＝1＋．
∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜．故选C．
7.B 解析：e＝＝＝.
8.ABD 解析：双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.
9.AD 解析：由双曲线C的一个焦点为F(5,0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确；|PF|的最小值为c－a＝2，D正确．
二、填空题
10.答案：
解析：双曲线x2－＝1的一个焦点坐标是(2,0)，一条渐近线的方程为y＝x，
因此焦点到渐近线的距离d＝＝.
11.答案：－＝1
解析：椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1，a2＝64，c2＝64－16＝48，
∴焦点为(0,4)，(0，－4)，离心率e＝，
则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝＝，从而a′＝6，b′2＝12，
故所求双曲线的方程为－＝1.
12.答案：32
解析：根据题意，双曲线C：－＝1的左焦点F(－，0)，
所以点A(，0)是双曲线的右焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点．虚轴长为6，
所以|PQ|＝12.双曲线图象如图．
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|PF|－|AP|＝2a＝4，①
|QF|－|QA|＝2a＝4，②
①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8，所以周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝8＋2|PQ|＝32.
13.答案：－＝1
解析：因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，所以e2＝1＋＝，即b＝2a．又从C的右焦点F(c,0)引渐近线y＝x的垂线，则|AF|＝＝b，所以|AO|＝＝a，因为△AFO的面积为，所以ab＝，解得a＝，b＝2，所以双曲线C的方程为－＝1．
三、解答题
14.解：将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝.
因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.
15.解：(1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝.
由题意得解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
