2024年九年级（上）第一次学情监测卷
数学
温警提示：
1.本试卷共三道大题（共26个小题）；
2.请同学们用黑色字迹的签字笔或钢笔认真作答，不要随意涂改答案；
2.时量：120分钟总分：120分．
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1.反比例函数的图象在（ ）
A.第一、三象限 B.第一、二象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
2.下列函数中，是关于的反比例函数的是（ ）
A. B.
C. D.
3.一次函数与反比例函数在同一平面坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
4.某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A.当时，
B.与的函数表达式是
C.当时，
D.当时，则
5.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C.且 D.且
6.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天搅件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.若把方程的左边配成完全平方的形式，则下列变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9.如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
10.如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，若，则的值为（ ）
A. B. C.4 D.
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11.如图，已知反比例函数（为常数，）的图象经过点，过点作轴，垂足为．若的面积为4，则__________．
12.已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是__________．（任意写一个满足条件的的值）
13.当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积满足的条件是__________．
14.若点都在反比例函数的图象上，则__________．（填“”“<”或“=”）
15.如果是方程的一个根，那么代数式的值为__________．
16.收音机刻度盘上的频率是波长的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该频道的频率是__________．
17.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________．
18.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是__________．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19.（6分）解下列一元二次方程：
（1）（请用配方法）；
（2）
20.（6分）已知关于的一元二次方程．
（1）当时，求方程的根；
（2）当时，求证：方程有两个不相等的实数根．
21.（8分）如图一次函数与反比例函救（为常数，）的图象相交于两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）根据图象，直接写出不等式的解集．
22.（8分）某同学根据学习函数的经验，探究了函数的图象和性质，下面是他的探究过程，请补充完整．
（1）函数的自变量的取值范围为__________；
（2）下表是函数与自变量的几组对应值：则__________，__________．．
0 1 3 4 5 6 7
0.6 1 1.5 3 1.5 1 0.75 0.6
（3）在平面直角坐标系中，补全此函数的图象；
（4）根据函数图象，写出函数的性质（至少两条）．
23.（9分）如图，某单位准备将院内一块长，宽的短形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度．
24.（9分）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？
25.（10分）如图，在矩形中，，动点分别以的速度从点同时出发，点从点向点移动．
（1）若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点分别从点同时出发，问经过多长时间两点之间的距离是10？
（2）若点沿着移动，点分别从点同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？
26.（10分）如图：反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，其中点坐标为．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围；
（3）一次函数的图象与轴交于点，点是反比例函数图象上的一个动点，若；求此时点的坐标．
数学参考答案
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1.【解答】解：反比例函数的图象在第一、三象限，
故选：A.
2.解：A.是是关于的正比例函数，A错误，故不符合要求；
B.是是关于的反比例函数，B正确，故符合要求；
C.不是是关于的反比例函数，C错误，故不符合要求；
D.不是是关于的反比例函数，D错误，故不符合要求；
故选：B.
3.解：当时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故A符合题意；
当时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，没有符合题意的．故选：A.
4.解：设反比例函数的解析式为，
把点坐标代入得：，解得：，
即函数解析式为：，故B不正确；
当时，即，解得：；故A不正确；
当时，，
由图象知，当时，；故C不正确；
当时，；当时，，
表明当时，则；故D正确；
故选：D.
5.解：一元二次方程有实数根，
，且，解得且，
故选：D.
6.解：根据题意，可列方程：，
故选：A.
7.解：，
．
故选：B.
8.解：，
移项得，
配方可得，
即
故选：B.
9.解：反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数和的图象分布在第二象限，
，
当时，由图象可得，
，
，
故选：C.
10.解：设，则，
，
，
，
，
解得，
经检验，是方程的解，符合题意，
故选：D.
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11.解：反比例函数为常数，的图象经过点轴，
，
反比例函数的图象经过第二象限，
，
12.解：反比例函数的图象位于第二、四象限，
，
，
的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）．
13.解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为，
图象过点，
，
，
由已知得图象在第一象限内，
随的增大而减小，
当时，
，即不小于
故答案为：．
14.解：点都在反比例函数的图象上，
，
，
故答案为：．
15.解：是一元二次方程的根，
，
即，
．
故答案为：2030.
16.解：设函数的表达式为：，
将点代上式得：，
解得：，
则函数的表达式为：，
当时，，
故答案为：300.
17.解：解方程得：或4，
当腰为3时，三角形的三边为，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为，故答案为：14.
18.解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：或（舍去），
则．
所以．
故答案为：9.
三、解答题（共8小题，满分66分）
19.解：（1），
解得；
（2），
，
，
或，
解得．
20.（1）解：当时，原方程可化为，
，
，
，
，
；
（2）证明：当时，
原方程可化为，
，
方程有两个不相等的实数根．
21.解：（1）把代入得，
，
把代入得：，
把代得：
，
解得，
（2）由图可知：或．
22.解：（1）根据分式分母不能为零可知，函数的自变量的取值范围是：；故答案为：；
（2）把代得，；
把代入得，，
故答案为：；
（3）如图所示：
（4）由图象得可得①图象关于对称；②图象全部在轴上方（答案不唯一）．
23.解：设小道进出口的宽度为米，
依题意得．
整理，得．
解得，．
（不合题意，舍去），
．
答：小道进出口的宽度应为1米．
24.解：（1）当每件盈利50元时，每件商品降价：（元），
商场每天可多销售：（件），
每天销售：（件），
答：当每件盈利50元时，每天可销售60件；
（2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到3150元，
则商场每天多销售件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
为了尽快减少库存，
，
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元．
25.解：（1）过点作于．则根据题意，得
设秒后，点和点的距离是10cm．
即
，
经过或两点之间的距离是10；
（2）连接．设经过后的面积为．
①当时，则，
，即，
解得；
②当时，
，则
，
解得（舍去）；
③时，
则
，
解得（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒的面积为．
26.解：（1）把代入得，
反比例函数解析式为，
把代入得，解得，
一次函数解析式为．
（2）点和点关于直线对称，
，
由函数图象可得：当时，或；
（3）设，
当时，，
，
，
，解得，
或．
