2024—2025学年度第一学期期中测试卷
九年级数学（RJ）
测试范围：21.1—24.4
注意事项：
1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟．
2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上．
3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为2，则一次项系数是（ ）
A．3 B．－3 C．1 D．－1
2．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程有一根是，则另一根是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若，则的度数是（ ）
第5题图
A． B． C． D．
6．已知，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（ ）
第7题图
A．点A B．点B C．点C D．点D
8．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把旋转，则旋转后点D的对应点的坐标是（ ）
第9题图
A．（2，10） B．（－2，0） C．（2，10）或（－2，0） D．（10，2）或（－2，0）
10．将抛物线位于y轴左侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则t的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式______．
12．一元二次方程的根是______．
13．一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数是______．
14．如图，AB是半圆O的直径，将直径BA绕点B顺时针旋转得对应线段BC，若AB＝2，则图中阴影部分的面积是______．
第14题图
15．如图，是等边三角形，，点D在边AB上，且，E是边AC的中点，将线段BD绕点B顺时针旋转，点D的对应点为F，连接AF，EF，当为直角三角形时，______．
第15题图
三、解答题（共8题，共75分）
16．（10分）解方程
（1） ；
（2） ．
17．（9分）已知二次函数的图象经过点．
（1）求a的值；
（2）求此抛物线的对称轴；
（3）直接写出函数y随自变量的增大而减小的x的取值范围．
18．（9分）如图，AB是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求AB的长．
19．（9分）如图，三个顶点坐标分别为、、，请在所给的正方形网格中按要求画图和解答下列问题：
（1）以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出．
（2）画出关于坐标原点O成中心对称的．
（3）若可看作是由旋转得来，则旋转中心坐标为______．
20．（9分）如图，AB是的直径，点D在射线BA上，DC与相切于点C，过点B作，交DC的延长线于点E，连接BC、OC．
（1）求证：BC是的平分线；
（2）若，，求AB的长．
21．（9分）某商店销售一批精装风景纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30％．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本．现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元
（3）将纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大 最大利润是多少元
22．（10分）如图，已知抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当时，求y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．
23．（10分）如图，两个等腰直角和中，．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明把绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗 说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．
2024—2025学年度第一学期期中测试卷参考答案
九年级数学（RJ）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．B 2．A 3．D 4．B 5．D 6．D 7．B 8．C 9．C 10．C
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如，答案不唯一 12．， 13．9
14． 15．或
三、解答题（共8题，共75分）
16．解．（1） ，
，，，，；
（2） ，
移项，得，
配方，得，即
开方，得，
即，．
17．解：（1）∵二次函数的图象经过点，
∴，解得：，
∴a的值为－2；
（2）由（1）可知抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线；
（3）∵抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小．
18．解：（1）∵，∴，
∴；
（2）∵，∴AC＝BC，
∵，∴，∴AC＝8，
∴AB＝2AC＝16．
19．解：（1）如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
（3）连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P，
则可看作是由绕点P顺时针旋转得来，
由图可知，旋转中心P的坐标为．
故答案为：．
20．（1）证明：∵DC是的切线，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，即BC是的平分线；
（2）解：设的半径为r，则，
在中，，即，
解得r＝6，则．
21．解：（1） ，
即：，
∵每本进价40元，且获利不高于30％，
∴最高价为52元，即，故：．
（2）依题意有：，
解得， （舍去），
答：当每本纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元．
（3） ，
，
∵，图象开口向下，当时，w随x的增大而增大，
而，
所以当时，w有最大值，最大值为．
∴将纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
22．解：（1）把、分别代入中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点坐标为．
（2）由图可得当时，．
（3）∵、，∴AB＝4．
设，则，
∴．
∴．
①当时，，解得：，，
此时P点坐标为或；
②当时，，方程无解；
综上所述，P点坐标为或．
23．解：（1）AE＝BD，．
（2）结论：AE＝BD，．
理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．
∵，∴，
∵，，CE＝CD，
∴，
∴AE＝BD，，
∵，，
∴，
∴，即．
