江津中学初2025届初三（上）半期考试
数学试题
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将答题卡收回。
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线表达式为（ ）
A． B． C． D．
3．比亚迪公司今年二月份生产机器295万台，今年三、四月份共生产630万台，设三、四月份生产量的月平均增长率为，则根据题意列出的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ）
第4题图
A． B． C． D．
5．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
6．如图，等腰直角中，，，以点为圆心画弧与斜边相切于点，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
第6题图
A． B． C． D．
7．函数与在同一坐标上的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．“链状烷烃”是一种无环的饱和烃类化合物，它们的分子结构是一个直线状的碳原子链，每个碳原子与两个氢原子和两个相邻碳原子相连。“链状烷烃”的分子式如、、可分别按如图对应展开，则中的值是（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
9．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，，则线段的长度为（ ）
第9题图
A．6 B． C． D．
10．有个依次排列的算式：第1项是，第2项是，用第2项减去第1项，所得之差记为，将加2记为，将第2项与相加作为第3项，将加2记为，将第3项与相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论①；②若第6项与第5项之差为4059，则；③当时，；其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．二次函数图象的顶点坐标为______．
12．若是方程的一个根，则______．
13．如图，二次函数的图象，则不等式的解集是______．
第13题图
14．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为______．
第14题图
15．如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为______米．
第15题图
16．关于的不等式组有且仅有个3整数解，且关于的一元二次方程没有实数根，则符合条件的整数的和为______．
17．如图，为的直径，为上半圆的一个动点，于点，的角平分线交于点．且的半径为5，连接，则______；若弦的长为6，则______．
第17题图
18．一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以101所得的商记为，例如：时，，．对于两位正整数与，其中，（，，，且、、、为整数）．若能被8整除，则的值为______，在此条件下，若，其中为整数，则此时与乘积的最大值为______．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．
19．解下列方程：
（1）； （2）．
20．如图，已知是的直径，点在上，点在外．
（1）尺规作图：作的角平分线，与圆交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在你所作的图中，连接，若，求证：是的切线．
证明：连接，
，
① ．
，
② ．
是的直径，
③ ．
即
④ ．
．
又 ⑤ ．
是的切线．
21．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将绕着点逆时针旋转，画出旋转后的，并写出的坐标；
（2）画出关于原点对称的，并写出的坐标；
（3）在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标______．
22．网购已经成为了一种新的购物方式，越来越多的人熟悉和喜欢网购．双十一，某网站一店铺购进一批甲、乙两款羊毛衫，已知每件乙款羊毛衫进价比甲款羊毛衫进价多40元，用8000元购进甲款羊毛衫和用9000元购进乙款羊毛衫的数量相同．
（1）求每件甲、乙款羊毛衫的进价各为多少元？
（2）甲款羊毛衫每件售价为370元，每天可卖出30件；乙款羊毛衫每件售价为420元，每天可卖出15件．在销售过程中为了增大甲款羊毛衫的销量，商家决定对甲款羊毛衫进行降价销售，在现有售价的基础上，每降价1元，可多售出2件。为更大程度让利顾客，每件甲款羊毛衫售价多少元时，商家日盈利可达到3000元？
23．已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点P运动的时间为秒，规定，．
（1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；并写出函数的一条性质；
（3））根据函数，当时，直接写出的值为______．
24．如图，四边形是的内接四边形，为直径，是切线，且的延长线于点．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径和的长．
25．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标；
（3）将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
26．如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点．
（1）如图1，连接，若，，，求的面积；
（2）如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：；
（3）如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点，连接、，点在边上运动的过程中，当时，直接写出的值．
