2024-2025学年人教版数学九年级上册综合训练（第二十一章~第二十五章）
一、单选题
1．在下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列成语所描述的事件，是随机事件的是（ ）
A．水中捞月 B．守株待兔 C．瓜熟蒂落 D．竹篮打水
3．根据下列表格的对应值：
1 1.1 1.2
0.84
由此可判断方程必有一个解满足（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，按从大到小的顺序排列正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
6．如图，四边形内接于．连接，若，则（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
7．如图，当某运动员以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．下列结论不正确的是（ ）
A．小球从飞出到落地要用
B．小球飞行的最大高度为
C．当小球飞出时间从到时，飞行的高度随时间的增大而减小
D．当小球飞出时间从到时，飞行的高度随时间的增大而减小
8．如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形，则剪下的的周长为（ ）
A． B．
C． D．随直线的变化而变化
9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（ ）
A．π B．6π C．3π D．
10．如图，抛物线的对称轴是直线，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，其中点A在点的右侧，直线经过A、B两点.给出以下结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点在0与之间；④，⑤，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为 ．
12．二次函数y=x2+2x﹣3的图象的顶点坐标 ，对称轴是直线 ，最小值是 ．
13．科研人员对某玉米种子在相同条件下的发芽情况进行试验，统计结果如下表：
试验的种子数n（单位：粒） 500 800 1000 2000 3000
发芽的频数m（单位：粒） 458 764 948 1902 2849
发芽的频率 0.916 0.955 0.948 0.951 0.950
根据统计结果，该玉米种子发芽的概率估计值为 （结果精确到0.01）．
14．如图，将绕点A逆时针旋转得到．若，的度数为 ．
15．已知，是一元二次方程的两个实数根，则 ．
16．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝120t﹣2.5t2．在飞机从开始滑行到最后停止一共滑行的距离是 m．
17．如图，水平放置半径为6cm的球形容器中装有溶液，容器内液面的面积为20πcm2．如图所示，是该球体的一个最大截面，则该截面⊙O上到液面的距离为2cm的点共有 个．
18．如图，将矩形绕点顺时针旋转50°，得到矩形，点，，在一条直线上，连接，则的度数为 ．
三、解答题
19．解方程：
(1)； (2)．
20．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点O为原点，点，．
(1)画出关于坐标原点O成中心对称的；
(2)将绕点O顺时针旋转90°后得到，请在图中作出，并直接写出点的坐标；
(3)求在旋转过程中，线段扫过的图形的面积．（结果保留）
21．关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，求m的值及此时方程根．
22．旅客在网购高铁车票时，系统是随机分配座位的．小王和小李打算购买从杭州到北京的高铁车票（如图所示，同一排的座位编号为A，B，C，D，F），假设系统已将两人分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的．
窗 A B C 过道 D F 窗
(1)求系统将王某安排到靠窗座位的概率；
(2)求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率．
23．一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．
24．如图，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
25．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从6月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
26．如图①，已知是等腰直角三角形，，点是的中点．作正方形，使点、分别在和上，连接、．
(1)直接写出线段与的数量关系与位置关系；
(2)将正方形绕点D按逆时针方向旋转一定角度，如图②，判断（1）的结论是否仍然成立？并说明理由．
27．如图①，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线l．
(1)求直线的表达式．
(2)如图②，若点E为y轴上一动点，当时，求点E的坐标．
(3)如图③，若点M是直线上方抛物线上一动点，过点M作轴于点N，交直线于点P．
①当线段取得最大值时，求点M的坐标．
②当时，求点P的坐标．
参考答案：
1．B
2．B
3．C
4．A
5．A
6．B
7．C
8．C
9．D
10．C
11．
12． （﹣1，﹣4） x=﹣1 ﹣4
13．0.95
14．
15．-11
16．
17．3
18．65°
19．（1）解：
，．
（2）解：
或
，．
20．（1）解：如图所示；
（2）如图所示，；
（3）；
线段扫过的图形的面积：．
21．（1）解：∵，
依题意，得，
解得且；
（2）解：∵m为正整数，
∴，
∴原方程为．
解得．
22．（1）根据题意可知座位编号为A和F的为靠窗，
∴将王某安排到靠窗座位的概率为；
（2）根据题意可列表格如下：
A B C D F
A A，B A，C A，D A，F
B B，A B，C B，D B，F
C C，A C，B C，D C，F
D D，A D，B D，C D，F
F F，A F，B F，C F，D
根据表格可知共有20种等可能的情况，其中王某和李某相邻的情况有6种，
∴王某和李某是相邻座位的概率为．
23．（1）解：设抛物线解析式为，
∴桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面高度为4米，
∴点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式；
（2）解：∵船宽5米，
∴当时，，
若该渔船能安全通过，此时水面高为米，
∴当时，，
解得，
∴水面宽度为米．
24．（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为：．
25．（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
答：当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
26．（1）结论：，．
理由：如图①，延长交于．
是等腰直角三角形，，点是的中点，
，，
．
四边形是正方形，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
．
（2）成立，理由如下：
如图②，连接，延长交于，交于．
在中，为斜边中点，
，，
．
四边形为正方形，
，且，
，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
．
27．（1）把代入二次函数，得
解得，
∴点，点
把代入二次函数，得
∴点
设直线的表达式为
∵直线过点，点
解得
∴直线的表达式为
（2）点E的坐标为
∵点C的坐标为
，，
∴在中，
解得
∴点E的坐标为
（3）①设点M的横坐标为m，
把代入二次函数，得
∴点
轴于点N，交直线于点P
∴点N的坐标为，点P的横坐标为m
把代入，得
∴点P的坐标为
∴当时，线段有最大值，
此时点M的纵坐标为
∴点M的坐标为
②，
∴当时，
解得，（舍去）
当时，点P的纵坐标为
∴点P的坐标为
