2024－2025学年度第一学期期中学业水平检测
初四数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧．若点燃后燃烧时间为，所剩余蜡烛的长为，则在这个变化过程中，下列判断错误的是（ ）
A．20是常量 B．是自变量 C．是因变量 D．是的函数
2．已知反比例函数的图象经过点（－2，3），那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）
A．（2，3） B．（1，6） C．（－3，－2） D．（－6，1）
3．已知在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
第4题图
A． B．
C． D．
5．某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是1：3，坝高，则迎水坡的长度是（ ）
第5题图
A． B． C． D．
6．已知点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格的格点上，连接，则等于（ ）
第7题图
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同心点”．下列函数的图象上不存在“同心点”的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，则的面积为（ ）
第9题图
A． B． C． D．
10．学习完函数的有关知识之后，小刚对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出了如图（1）所示的函数的图象，并对该函数的性质进行了探究．
第10题图
①该函数自变量的取值范围为；
②该函数图象与轴没有交点；
③若是该函数图象上的两点，则当时，一定有；
④如图（2），若是该函数图象上的一个动点，是直线上的一个动点，过点作轴于点，连接，则．
则上面小刚推断的①②③④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．函数中自变量的取值范围为_____．
12．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的值可以为_____．（填写一个即可）
13．小明为测量某棵树的高度，绘制了如图所示的测量示意图（点表示树的底部，点表示树的顶端），已知于点，点在线段上，米，且．若设树顶到地面的高度米，则为求得树高可列出关于的方程为_____．
第13题图
14．已知点在抛物线上．若该抛物线的对称轴与轴的交点在点之间（即点在线段上，但不与E，F重合），则，的大小关系为_____．（用“＞” 连接）
15．如图，直线与双曲线相交于A，B两点，现将线段沿着直线对折，得到对应线段，过点作轴的垂线，交该双曲线于点，连接，．若，则的值为_____．
第15题图
三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上）
16．计算：（1）； （2）．
17．如图，在中，，求的长．
第17题图
18．把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线．
（1）请直接写出抛物线的表达式；
（2）对于抛物线所对应的函数，当自变量时，其函数值是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
19．阅读理解：如图，为计算角的正切值，我们可以构建，使得，，延长至点，使，连接，可得到，所以，．
类比迁移：请根据阅读理解中的方法，计算的值．
第19题图
20．如图（1），一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
第20题图
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据图（1）中的图象，请直接写出关于的不等式的解集．
（3）如图（2），在线段上取点（不与点，重合），连接，交反比例函数的图象于点，连接．当时，求点的坐标．
21．海岱楼钟书阁位于山东省淄博市张店区齐盛湖公园，是钟书阁全国单体面积最大的连锁店和唯一建于独栋建筑的文化综合体，似一颗璀璨的明珠，俯瞰淄博大地的日新月异．某校数学“综合与实践”小组在测量海岱楼钟书阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告：
测量对象 海岱楼钟书阁
测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题
测量工具 无人机
测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 先将无人机从地面的点处垂直上升至点，此时测得海岱楼钟书阁的顶端的俯角为； 再将无人机从点处向右沿水平方向飞行至点，然后沿垂直方向上升至点，此时测得海岱楼钟书阁的端的俯角．
测量示意图
请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出海岱楼钟书阁的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
22．如图（1），已知抛物线交轴于点A，B（点A在点的左侧），交轴于点，连接．
第22题图
（1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）如图（2），点是直线下方该抛物线上的一个动点，连接，．问的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图（1），在四边形中，对角线平分，．
（1）求证：；
（2）小宇为了研究图（1）中线段之间的数量关系，设．
①建立模型：请求出关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围；
②画出图象：请在如图（2）所示的平面直角坐标系中，画出①中该函数的图象；
③归纳性质：请写出①中该函数的一条性质：_____；
（3）问边与边的和是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
第23题图
2024－2025学年度第一学期期中学业水平检测
初四数学试题答案及评分标准
一、选择题（每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C A B A B C D B
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．； 12．（即可）； 13．；
14．； 15．3
三、解答题（共8小题，共90分）
16．（本题共10分）
（1）；
（2）．
17．（本题共10分）
解：，，
第17题图
在中，由勾股定理得：
在中，
，
，
18．（本题共10分）
解：（1）或
（2）存在
抛物线开口向上，对称轴；
时，先随的增大而减小，再随的增大而增大
时，取最小值－3
19．（本题共10分）
解：在中，，
延长到点，使，连接．
，
，在中，令，
则，，．
在中，，
即．
20．（本题共12分）
解：（1）将代入得，，
所以，反比例函数的表达式为：，
将代入得，，
将代入一次函数中，得，
解，得所以，一次函数的表达式为：；
（2）；
（3）如图，分别过点D，C作轴轴，轴于点M，N，
因为，，所以，，即，，
所以，，设点的坐标，所以，，
所以，点的坐标为，所以，，
解，得，所以，点的坐标为（3，3）或．
21．（本题共12分）
解：延长交于点，延长交于点，
由题意得：设，
，
由题意得：
在中，，
由题意得：在中，，
由题意得：，，，
解得：，，
由题意得：，
，
海岱楼钟书阁的高度约为．
22．（本题共13分）
解：（1）抛物线的对称轴为直线；
将代入得，
抛物线的顶点为
（2）是直角三角形，理由如下：
在中，令得；
在中，令得，
；
，
，
是直角三角形，且，
（3）存在．
设直线的表达式为，将代入，
得，解得，
直线的表达式为．
过点作轴交直线于，
设，则，
，
，
当时，的面积有最大值4，此时点坐标为（2，－3）；
23．（本题共13分）
解：（1）平分，，，．
（2）①，
，，
，；
②函数图象如图所示：
③函数的最小值是8；或当时，随的增大而增大．（答案不唯一）
（3）存在；
，
又，，，
，．
故，边与边和的最小值为．
