11月月考数学试题参考答案
一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.直线 + = 0的倾斜角为（ B ）
. . . . 3
6 4 3 4
2.圆 1: 2 2 + 2 = 4与圆 : 2 + 22 + 2 8 + 8 = 0的位置关系为（ C ）
. 相交 . 内切 . 外切 . 外离
3. 已知两条直线： 1: 2 + + 4 = 2 ， 2: 3 + 3 + = 6， 1// 2，则 =（ D ）
. 1或 6 . 6 . 1 . 1
4.正四面体 的棱长为1，点 为 的中点，点 为 的中点，则 的长为（ A ）
. 11 . 11 . 3 2 . 5
4 16 4 4
【详解】：设 AB a, AC b, AD c 1，由题意可知 a b a c b c
2
BO a 1 b 1
2
因为 c ，所以 BO a
1 b 1 c 11
4 4 4 4 4
5.椭圆 的左、右焦点分别记为 1、 2，过左焦点 1的直线交椭圆 于 、 两点.若弦长 AB
的最小值为3，且△ABF2 的周长为8，则椭圆 的焦距等于（ B ）
. 1 . 2 . 3 . 2 3
b 2 3 2
【详解】：由题意可知 ,4a 8， a 2,b 3， c 1，焦距等于2
a 2
6.在棱长为2的正方体 1 1 1 1中，点 ， 分别为棱 、 1的中点，则点 到直
线 的距离为（ D ）
. 2 5 . 21 . 115 . 105
5 5 5 5
【详解】：以D为原点，DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，可得 AE ( 1,2,0) ,
则 AE方向的单位向量u ( 1 , 2 ,0)，AF ( 2,0,1) 2，那么 AF u ，所以F到直
5 5 5
2
AE d AF (AF u)2 4 105线 的距离 5
5 5
{#{QQABaYAEgggIAAAAAAgCAQWCCgAQkhACCYgGwEAAsAAACANABCA=}#}
7.已知直线 : + + 1 = 0与圆 ： 3 2 + 4 2 = 1，点 ， 在直线 上，过点 作圆
的切线，切点分别为 ， ，当 取最小值时，则 + 的最小值为（ C ）
. 31 . 8 2 . 2 31 . 2 33
【详解】：当CP l时， PA 最小，由点到直线的距
离公式可得此时
CP 4 2， PA PB PC 2 r 2 31，过A
作直线l的对称点A’，再连接A’B，与直线l的交点即为
所找的Q点（其实就是P点），所以 + 的最小
值等于 ' = 2 = 2 31
2 2
8.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1 > > 0 的焦点为 1、 2，直线 = 3 与椭圆 交于 、 ，
若 1 1 = 0，则椭圆 的离心率为（ A ）
. 3 1 . 3 + 1 . 2 3 . 3+1
2
【详解】：由椭圆对称性知，原点O为MN的中点，因为 MF1N 90 ，
OM OF1 OF2 c， MF1 MF2，又直线MN
的倾斜角为60 ， MF1F2 30
MF2 c,MF1 3c,又MF1 MF2 2a，
c 3c 2a,e c 2 3 1
a 3 1
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
2 2
9.已知椭圆 ： + = 1，则椭圆 的（ BD ）
25 16
. 焦点在 轴上 . 3长轴长为10 . 短轴长为4 . 离心率为
5
10.下列命题正确的有（ BCD ）
. 10已知向量 = 2, 1,3 , = 4,2, 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为 ∞, 3
. 向量 = 2, 1, 2 在向量 = 1, 2, 1 上的投影向量的模为 6
{#{QQABaYAEgggIAAAAAAgCAQWCCgAQkhACCYgGwEAAsAAACANABCA=}#}
. 为空间任意一点，若 = 1 + 1 + 14 8 ，若 ， ， ， 四点共面，则 = 8
.设直线 的方程为 + + 3 = 0 ∈ ，则直线 3π的倾斜角 的取值范围是 ,
4 4
11. 已知点 ， 在圆 2 + 2 2 + 4 + 4 = 0上运动，则（ AD ）
. 2 的取值范围是 5 5，5 + 5
. 3的最小值是
4
. 2 + 2 4 2 + 1的最大值为 10 3
. 若直线 ：6 + 8 + 5 = 0 1，则满足 ， 到直线 的距离为 32的点有 个
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15分.
12. 直线 1：2 + 3 = 0关于点 1, 2 对称的直线方程为 2 3 = 0 .
13.直线 ： 2 + = 0被圆 + 1 2 + 2 2 = 8截得的弦长为2 3，则 = 0或10.
14.已知棱长为2的正方体 1 1 1 1内有一内切球 ，点 在球 的表面上运动，则
的取值范围为 2,2 .
【详解】：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(2,0,0)，C(0, 2,0)，设点 P(x, y, z)，
所以 PA (2 x, y, z)， PC ( x, 2 y, z)，
所以
PA PC x 2 x y 2 y z2 x2 2x y2 2 y z2 x 1 2 y 1 2 z2 2，
x 1 2 y 1 2因为 z2表示点P(x, y, z)与点M (1,1,0)之间距离的平方，
所以当点 的坐标为 P(1,1,2)时， PA PC取得最大值为 22 2 2，
当 P与点M (1,1,0)重合时， PA PC 取得最小值 2，所以 PA PC的取值范围为： 2,2 .
四、解答题：本题共5 小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知直线 1： + 1 = 0， 2：2 + + 5 = 0.
（1）求过直线 1与 2的交点，且与直线 3：2 3 1 = 0垂直的直线 的方程；
（2）求过点 0, 0 ， 2, 4 ，且圆心在直线 1上的圆 的方程.
{#{QQABaYAEgggIAAAAAAgCAQWCCgAQkhACCYgGwEAAsAAACANABCA=}#}
+ 1 = 0 = 2
【详解】（1）由 2 + + 5 = 0 解得， = 1，即直线 1与 2的交点为 2， 1 ，
………………………2分
∵直线 2 33：2 3 1 = 0的斜率为 ，∴直线 的斜率 = ，………………4分3 2
∴ 3直线 的方程为 + 1 = + 2 ，即：3 + 2 + 8 = 0.……………………6分
2
（2）设圆 的方程为 2 + 2 + + + = 0,
= 0
则由题意有 20 + 2 + 4 + = 0，………………………………9分
+ + 1 = 0
2 2
= 2
解得， = 4，………………………………12分
= 0
所以，圆 的方程为 2 + 2 2 4 = 0.…………………………13分
16.（本小题满分15分）
2 2
已知直线 : 2 + + 1 + 3 1 = 0 ∈ ，椭圆 : + = 1
4 2
（1）求证：对于任意实数 ，直线 过定点 ，并求出点 坐标；
（2）当 = 1时，求直线 被椭圆 截得的弦长.
【详解】（1）因为2 + ( + 1) + 3 1 = 0 2 + + 3 + 1 = 0，
………………………………2分
2 + + 3 = 0 = 2
由 1 = 0 = 1 ，……………………5分
此时，不管 取何值，2 + ( + 1) + 3 1 = 0必成立.
所以直线 l必过定点 2,1 .……………………6分
（2）当 = 1时，直线 l的方程为 + + 1 = 0，………………7分
设直线 l与椭圆 的交点为 1， 1 ， 2， 2 ，
+ + 1 = 0
由 2 2 消去 得，+ = 1 3
2 + 4 2 = 0， = 42 4 × 3 × 2 = 40 > 0,
4 2
……………………………………9分
1 + =
4
2 ， 1 2 =
2
，………………………………11分
3 3
∴ = 1+ 2 1 + 22 4 1 2 ………………………………13分
{#{QQABaYAEgggIAAAAAAgCAQWCCgAQkhACCYgGwEAAsAAACANABCA=}#}
= 2 4
2
4 × 2 = 4 5 .………………………………15分
3 3 3
17.（本小题满分15分）
如图，正方形 与正三角形 的边长均为2，平面 ⊥平
面 ， ⊥平面 ，且 = 3．
（1）求证： //平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
【详解】（1）如图，过点 作 ⊥ 于 ，连接 .
∵ 正三角形 的边长为 2， ∴ = 3.
∵平面 ⊥平面
平面
平面 ∩平面 = ⊥平面 ………………3 分
又∵ ⊥ //平面 ， = 3，∴ = ……………………4 分
∴四边形 为平行四边形.∴ // ，……………………5分
∵ 平面 ， 平面 ，∴ //平面 .……………………7 分
（2）∵ ⊥平面 ，且 为正方形，
∴以点 坐标为原点， 、 、 所在的直线分别为
轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 如图.
则 0, 2, 0 ， 2, 2, 0 ， 0, 0, 3 ， 2, 1, 3
= 2, 2, 3 ， = 2, 0, 0 ， = 0, 1, 3 .……………………9分
设平面 的法向量为 = 1, 1, 1 ，
= 0 2 1 2 1 + 3 由 1 = 0
，得 ，
= 0 2 1 = 0
令 1 = 3，则 1 = 2，所以平面 的法向量 = 0, 3 , 2 .
………………………………11分
设平面 的法向量为 = 2, 2, 2 ，
由 = 0
2
，得 2
2 2 + 3 2 = 0，
= 0 2 + 3 2 = 0
令 2 = 2 3，则 2 = 3， 2 = 2，所以平面 的法向量 = 3, 2 3 , 2 .…………13分
{#{QQABaYAEgggIAAAAAAgCAQWCCgAQkhACCYgGwEAAsAAACANABCA=}#}
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 = 10 10 133, = = = . 7 19 133
所以平面 与平面 10 133夹角的余弦值为 .……………………15分
133
18.（本小题满分17分）
如图1，在边长为4的棱形 中，∠ = 600，点 ， 分别是边 ， 的中点， ∩
= 1， ∩ = .沿 将 翻折到 的位置，连接 ， ， ，得到如
图2所示的五棱锥 .
（1）在翻转过程中是否总有平面 ⊥平面 ？证明你的结论；
（2）设点 为线段 的中点，点 在线段 上，且 = 0 < < 1 ，当四棱锥
的体积最大时，是否存在满足条件的实数 ，使直线 与平面 所成角的正弦值
的最大值.若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
( )
1
1
图1
图2
【详解】（1）在翻转过程中总有平面 ⊥平面 .……………………1分
证明如下：点 ， 分别是边 ， 的中点，又∠ = 600，∴ // ，…………2分
且 是等边三角形，∴ 是 的中点，∴ ⊥ .…………3分
棱形 的对角线互相垂直，∴ ⊥ ，∴ ⊥ ，………………4分
∵ ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，……………………6分
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 .……………………8分
（2）由题意知，四边形 为等腰梯形，且 = 4， = 2， 1 = 3，
所以等腰梯形 的面积 = 2+4 × 3 = 3 3.
2
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要使得四棱锥 的体积最大，只要点 到平面 的距离最大即可.…………9分
以点 为坐标原点， 、 、 所在的直线分别为
轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 如图.……………………10分
则 3 3, 0, 0 ， 0, 0, 3 ， 3, 2, 0 ， 0, 1, 0 ，
∵ 3 3 3点 为线段 的中点，∴ , 0, ,
2 2
设 = 0 ≤ ≤ 1 3 + 3 , 2 2 , 3，则 ，………12分
2 2
= 2 3, 2, 0 ， = 3 3, 0, 3 ，
设平面 的法向量为 = , , ，
= 0 2 3 + 2 = 0
由
，得 ，
= 0 3 3 + 3 = 0
令 = 1，则 = 3， = 3，所以平面 的法向量 = 1, 3 , 3 .………………14分
又 = 3 + 3 , 1 2 , 3 ，
2 2
设直线 与平面 所成角为 ，
则 = , =
2 3 3
= = .…………16分
11 2 11 1 2 87
2 +4× 13 13× 2 11 +22
1
当且仅当 = 时， 取得最大值…………………………17分
11
19.（本小题满分17分）
古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个
定点的距离之比值为常数 ( > 0, ≠ 1)的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知
点 到 0, 2 的距离是点 到 (0,1)的距离的2倍.
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）过点 作直线 1，交轨迹 于 ， 两点， ， 不在 y 轴上.
（i）过点 作与直线 1垂直的直线 2，交轨迹 于 ， 两点，记四边形 的面积为 ，
求 的最大值；
（ii）设轨迹 与 轴正半轴的交点为 ，直线 ， 相交于点 ，试证明点 在定直线上，
求出该直线方程.
【详解】（1）设点 P(x, y)，由题意可得 | PA | 2 | PB |，
{#{QQABaYAEgggIAAAAAAgCAQWCCgAQkhACCYgGwEAAsAAACANABCA=}#}
即 x2 (y 2)2 2 x2 (y 1)2 ，…………1分
化简得 x2 (y 2)2 4，所以点 P的轨迹 的方程为 x2 (y 2)2 4.………………3分
（2）由题易知直线 l1的斜率 k存在，设直线 l1的方程为 y kx 1，即 kx y 1 0，
| 2 1 | 1
则圆心 (0,2)到直线 l1的距离d1 k 2 1 k 2
，
1
2
所以 | PQ | 2 2 2 d 21 2 4
1
2 4k 3 ，………………5分
k 2 1 k 2 1
（i）若 k 0，则直线 l2的斜率不存在，
易得 | PQ | 2 3， | EF | 4，则 S
1
| EF | | PQ | 4 3；………………6分
2
1
若 k 0，则直线 l2的方程为 y x 1，即 x ky k 0，k
| k |
则圆心 (0,2)到直线 l2的距离 d2 k 2
，
1
2 2
所以 | EF | 2 2 2 d 22 2 4
k 2 3k 4 ，…………7分
k 2 1 k 2 1
1 4k 2 3 3k 2 4 12 2
2
k 1 k 2
则 S EF PQ 2
2 2
2 2
k 2 1 k 2 1
2
2 12 k 2 2 12
1
1 2 12
1
7
k 2 1 k 2 2 2 ，………………9分k 2 k
2 1
k 2
2
2 1
当且仅当 k 2 即 k 1时，取等号，k
综上所述，因为7 49 4 3，所以S的最大值为7.…………………………10分
（ii）C (0, 4)，设 1, 1 ， 2, 2 ，
x2 y 2 2 4, 2
联立 消 y得 k 1 x2 2kx 3 0，
y kx 1,
- 3
则 x x
2k
1 2 2 ， x1x2 = 2 ，………………12分k 1 k + 1
y y 4
所以直线OP的方程为 y 1 x，直线CQ 2x 的方程为
y x 4
x ，…………13分1 2
{#{QQABaYAEgggIAAAAAAgCAQWCCgAQkhACCYgGwEAAsAAACANABCA=}#}
y y 1 x, x1
联立 x
4x
1
x2
y 4 解得 3x x ，…………14分 y 2 x 4, 1 2
x2
y y1 4x1x2 4y1x2
4 kx1 1 x2 4kx1x2 4x2 6x1 2x则 2 2，
x1 3x1 x2 3x1 x2 3x1 x2 3x1 x2 3x1 x2
所以N
4x
1
x2 , 2
3x x ，所以点
N在定直线 y 2上.……………………17分
1 2
{#{QQABaYAEgggIAAAAAAgCAQWCCgAQkhACCYgGwEAAsAAACANABCA=}#}重庆市杨家坪中学2024-2025学年高2026届高二上期
11月月考数学试题
一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线 + = 0的倾斜角为（ ）
3
. . . .
6 4 3 4
2.圆 2 2 2 21: 2 + = 4与圆 2: + + 2 8 + 8 = 0的位置关系为（ ）
. 相交 . 内切 . 外切 . 外离
3. 已知两条直线： 1: 2 + + 4 = 2 ， 2: 3 + 3 + = 6， 1// 2，则 =
（ ）
. 1或 6 . 6 . 1 . 1
4.正四面体 的棱长为1，点 为 的中点，点 为 的中点，则 的长为（ ）
11 11 3 2 5
. . . .
4 16 4 4
5.椭圆 的左、右焦点分别记为 1、 2，过左焦点 1的直线交椭圆 于 、 两点.若弦长
AB 的最小值为3，且△ABF2 的周长为8，则椭圆 的焦距等于（ ）
. 1 . 2 . 3 . 2 3
6.在棱长为2的正方体 1 1 1 1中，点 ， 分别为棱 、 1的中点，则点
到直线 的距离为（ ）
2 5 21 115 105
. . . .
5 5 5 5
7.已知直线 : + + 1 = 0与圆 ： 3 2 + 4 2 = 1，点 ， 在直线 上，过点
作圆 的切线，切点分别为 ， ，当 取最小值时，则 + 的最小值为（ ）
. 31 . 8 2 . 2 31 . 2 33
2 2
8.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1 > > 0 的焦点为 1、 2，直线 = 3 与椭圆 交于
数学试题 第 1 页 （共4页）
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、 ，若 1 1 = 0，则椭圆 的离心率为（ ）
3+1
. 3 1 . 3 + 1 . 2 3 .
2
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
2 2
9.已知椭圆 ： + = 1，则椭圆 的（ ）
25 16
. 焦点在 轴上 . 3长轴长为10 . 短轴长为4 . 离心率为
5
10.下列命题正确的有（ ）
. 10已知向量 = 2, 1,3 , = 4,2, 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为 ∞, 3
. 向量 = 2, 1, 2 在向量 = 1, 2, 1 上的投影向量的模为 6
. 1 1为空间任意一点，若 = + + = 14 8 ，若 ， ， ， 四点共面，则 8
.设直线 的方程为 + + 3 = 0 ∈ ，则直线 的倾斜角 的取值范围是
, 3π
4 4
11. 已知点 ， 在圆 2 + 2 2 + 4 + 4 = 0上运动，则（ ）
. 2 的取值范围是 5 5，5 + 5
3
. 的最小值是
4
. 2 + 2 4 2 + 1的最大值为 10 3
. 1若直线 ：6 + 8 + 5 = 0，则满足 ， 到直线 的距离为 的点有3个
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线 1：2 + 3 = 0关于点 1, 2 对称的直线方程为 .
13.直线 ： 2 + = 0被圆 + 1 2 + 2 2 = 8截得的弦长为2 3，则
= .
数学试题 第 2 页 （共4页）
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14.已知棱长为2的正方体 1 1 1 1内有一内切球 ，点 在球 的表面上运动，
则 的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知直线 1： + 1 = 0， 2：2 + + 5 = 0.
（1）求过直线 1与 2的交点，且与直线 3：2 3 1 = 0垂直的直线 的方程；
（2）求过点 0, 0 ， 2, 4 ，且圆心在直线 1上的圆 的方程.
16.（本小题满分15分）
2 2
已知直线 : 2 + + 1 + 3 1 = 0 ∈ ，椭圆 : + = 1
4 2
（1）求证：对于任意实数 ，直线 过定点 ，并求出点 坐标；
（2）当 = 1时，求直线 被椭圆 截得的弦长.
17.（本小题满分15分）
如图，正方形 与正三角形 的边长均为2，平面
⊥平面 ， ⊥平面 ，且 = 3．
（1）求证： //平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.（本小题满分17分）
如图1，在边长为4的棱形 中，∠ = 600，点 ， 分别是边 ， 的中点， ∩
= 1， ∩ = .沿 将 翻折到 的位置，连接 ， ， ，得到
数学试题 第 3 页 （共4页）
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如图2所示的五棱锥 .
（1）在翻转过程中是否总有平面 ⊥平面 ？证明你的结论；
（2）设点 为线段 的中点，点 在线段 上，且 = 0 < < 1 ，当四棱锥
的体积最大时，是否存在满足条件的实数 ，使直线 与平面 所成角的正
弦值的最大值.若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
( )
1
1 图1
图2
19.（本小题满分17分）
古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两
个定点的距离之比值为常数 ( > 0, ≠ 1)的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.
已知点 到 0, 2 的距离是点 到 (0,1)的距离的2倍.
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）过点 作直线 1，交轨迹 于 ， 两点， ， 不在 y 轴上.
（i）过点 作与直线 1垂直的直线 2，交轨迹 于 ， 两点，记四边形 的面积为 ，
求 的最大值；
（ii）设轨迹 与 轴正半轴的交点为 ，直线 ， 相交于点 ，试证明点 在定直线
上，并求出该直线方程.
命题人：袁峰
审题人：周雅娜
数学试题 第 4 页 （共4页）
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