2024学年第一学期阶段性抽测
九年级数学（问卷）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分120分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写镇（街）、学校、试室号、姓名、学号及准考证号等自己的个人信息，再用2B铅笔把对应准考证号的标号涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图.答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡和试卷一并上交.
第一部分选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.一元二次方程的常数项是（ ）.
A.2 B.5 C.-1 D.1
2.下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ）.
A.B.C.D.
3.将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得新抛’物线的解析式为（ ）.
A. B. C. D.
4.用配方法解一元二次方程时，配方后得到的方程是（ ）.
A. B. C. D.
5.如图，将绕点顺时针旋转后，得到，下列说法错误的是（ ）.
A. B. C. D.
6.下列二次函数中，对称轴为直线的是（ ）.
A. B. C. D.
7.某中学教师党小组开展民主生活会，要求小组每位组员给同组的其他教师各提一条建议，已知该党小组一共收到90条建议，设该党小组的党员人数为人，根据题意，下列方程正确的是（ ）.
A. B. C. D.
8.已知二次函数，下列说法正确的是（ ）.
A.图象的顶点坐标为 B当时，随的增大而减小
C.图象与轴的交点坐标是 D.函数的最小值是1
9.已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是（ ）
A.无实数根 B.有两个同号不等实数根
C.有两个异号实数根 D.有两个相等实数根
10.如图，菱形的对角线交于原点，，，将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时点的坐标为（ ）.
A. B. C. D.
第二部分非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为_____.
12.如图，将一个含角的直角三角板绕点逆时针旋转，点的对应点为点，若点落在延长线上，则三角板旋转的度数是_____.
13.新能源汽车已逐渐成为人们喜爱的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商8月份至10月份统计，该品牌新能源汽车8月份销售1000辆，10月份销售1690辆.设月平均增长率为，根据题意可列方程为__________.
14.已知二次函数的图象上有两点，，则与的大小关系为_____.
15.若是方程的一个实数根，则的值是_____.
16.如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，与轴负半轴交于点，在下面四个结论中：①；②；③；④若，且，则.其中正确结论有_____.（填写序号）
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分4分）
解方程：.
18.（本小题满分4分）如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点在边上，已知，，求的长.
19.（本小题满分6分）
如图，已知的顶点的坐标分别为，，将绕坐标原点逆时针旋转得到.
（1）请画出对应的；
（2）在轴上存在一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标_____.
20.（本小题满分6分）
如图，在一块长米，宽米的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为45平方米，求道路的宽.
21.（本小题满分8分）
关于的方程有两个不相等的实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，且，求的值.
22.（本小题满分10分）
某商店销售一种商品，平均每天可以销售20件，每件盈利12元.为了扩大销售量，增加盈利，该商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件商品降价1元，平均每天可以多卖5件.
（1）若每件商品降价5元，每件商品盈利_____元，则平均每天可卖_____件商品，所得利润是_____元；
（2）该商店想要一天的盈利最大，应降价多少元？所得的最大利润是多少？
23.（本小题满分10分）
如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点的正上方5米处的点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员某次滑下时，在距所在直线水平距离为米的地点，运动员距离地面高度为米.获得如下数据：
水平距离/米 0 2 4 6 8
地面高度/米 5 10 13 14 13
请解决以下问题：
（1）在图中描出表中数据对应的点，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米；
（3）求关于的函数表达式；
（4）当运动员距所在直线水平距离为3米时，请根据（3）中求出的函数解析式，求出此时运动员距离地面的高度.
24.（本小题满分12分）
旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件集中，从而解决问题.
（1）阅读填空：如图1，中，，，点E，F为边上的点，且，把绕点逆时针旋转至，_____度，，连接易证_____，则，，之间的数量关系为_____.
（2）拓展研究：请利用第（1）题中的思想方法，解决下面的问题：
①如图2，等边内有一点，，请判断，，之间的数量关系并证明；
②如图3，在中，，，，在内部有一点，连接，，，请直接写出的最小值.
25.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A、B（A在的左侧），与轴交于点.
（1）求点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若记抛物线的顶点为，
①顶点的坐标为_____；（用含的代数式表示）
②当时，的最小值为3，求的值；
（3）当时，点在第一象限的抛物线上，连接，.试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点，满足 如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.
2024学年第一学期阶段性抽测九年级数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A D B C C B B D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
题号 11 12 13 14 15 16
答案 150°（不写度不扣分） -2 ①②④
（注：第16题答对1个得1分，2个得2分，3个得3分，答错一个不得分）
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分4分）
解：（解法1）
…………1分
…………2分
或…………3分，
，……4分
（解法2）…………2分，
或…………3分
，……4分
（解法3），，，…………1分
…………2分
…………3分
，…………4分
18.（本小题满分4分）解：将绕点顺时针旋转得到
，…………2分
…………4分
19.（本小题满分6分）
解：（1）如图所示，为所求……4分
（图形2分，标点1分，作答1分）
（2）……6分
20.（本小题满分6分）
解：设道路的宽应为米……1分
由题意得，……3分
解得或（舍去）……5分，
答：道路的宽是3米.……6分
21.（本小题满分8分）
解：（1）方程有两个不相等的实数根，…………1分
…………2分
即……3分，
……4分
（2）由根与系数的关系得，
…………5分，
……6分
……7分
解得……8分（不检验不扣分）
22.（本小题满分10分）
（1）7 45 315……3分
（2）解法1：
设降价元，所获得的利润为元……4分
由题意得，……6分
……8分
，
当时，有最大值，最大值是320……9分
答：当降价4元时，盈利最大，所得的最大利润是320元.……10分
解法2：
设降价元，所获得的利润为元.……4分
由题意得，……6分
…………7分
对称轴为：直线……8分
当时，有最大值，此时，…………9分
答：当降价4元时，盈利最大，所得的最大利润是320元.……10分
23.（本小题满分10分）
（1）……2分
（2）14……3分
（3）由题意可知，抛物线的顶点坐标为……4分
设关于的函数表达式为……5分
把代入得，
解得……6分
关于的函数表达式为……7分
（用一般式求解也可以）
（4）当时，……10分
答：此时运动员距离地面的高度为.
24.（本小题满分12分）
（1）45……1分，……2分，……3分
（2）解：，理由如下：……4分
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接……5分
，……6分
，，，，
为等边三角形…………7分
，
即……8分
在中，由勾股定理得
……9分
【本题有其他旋转的方式来构造辅助线，均可得分，得分点参照以上步骤】
如：将绕点顺时针旋转得到，连接
（3）……12分
25.（本小题满分12分）
解：（1）令，则，……1分
对称轴为直线……2分
（2）①……3分
②I当时，抛物线开口向上
当时，取得最小值3
解得……5分
II当时，抛物线开口向下
当时，取得最小值.
即解得……7分
综上所述，或.
（3）存在
当时，函数解析式为，令，则
解得，
在的左侧，
……8分
把代入得，，
由（1）得，
轴，，……9分
记直线与轴交于点，如图所示，
又，
，……10分
，
设直线的解析式为
把，代入得，
解得
直线的解析式为…………11分
点是直线与抛物线的交点，
联立方程组解得或
…………12分
