统计与统计案例
第四节 列联表与独立性检验
1．某机构为调查网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计得知在500名男生中有200名网游爱好者，在400名女生中有50名网游爱好者．若要确定爱好网游是否与性别有关时，用下列最适合的统计方法是( )
A．均值 B．方差
C．独立性检验 D．回归分析
2．为了解某大学的学生喜欢体育锻炼是否与性别有关，某机构用简单随机抽样方法在校园内调查了120名学生，得到如下2×2列联表：
单位：名
体育锻炼 性别 合计
男 女
喜欢 a b 73
不喜欢 c 25
合计 74
则a－b－c等于( )
A．7 B．8
C．9 D．10
3．根据分类变量X与Y的抽样数据，计算得到χ2＝7.505，依据α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，结论为( )
A．变量X与Y不独立
B．变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率超过0.01
C．变量X与Y独立
D．变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
4．观察下列各图，其中两个分类变量X，Y之间关系最强的是( )
5．已知两个分类变量X，Y的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，通过随机调查得到样本数据，再整理成如下的2×2列联表：
X Y
y1 y2
x1 10 m
x2 n 30
若样本容量为75，且m＜n，则当判断X与Y有关系的把握最小时，a的值为( )
A．5 B．10
C．15 D．17
6．(多选题)(数学与文化)千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了某地区100天的日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表，并计算得到χ2≈19.05，则下列小波对该地区天气的判断正确的是( )
日落云里走 夜晚天气
下雨 未下雨
出现 25 5
未出现 25 45
A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C．依据α＝0.005的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
D．依据α＝0.005的独立性检验，若出现“日落云里走”，则认为夜晚一定会下雨
高考训练
7．(多选题)有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表．
分类 优秀 非优秀 合计
甲班 10 b
乙班 c 30
已知从105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法中正确的是( )
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为20，b的值为45
C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
8．有两个分类变量X和Y，根据其中一组观测数据得到如下的2×2列联表：
X Y 合计
y1 y2
x1 a 15－a 15
x2 20－a 30＋a 50
合计 20 45 65
其中a，15－a均为大于5的整数，则a＝________时，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“X和Y之间有关系”．
9．(能力创新)为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1，将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)
(2)把年龄在[15，45)的居民称为青年组，年龄在[45，65]的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面2×2列联表，依据α＝0.025的独立性检验，能否认为阅读方式与年龄有关联？
单位：人
年龄分组 阅读方式 合计
电子阅读 纸质阅读
青年
中老年
合计
α 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
答案解析
1、C 解析：由题意可知，“爱好网游”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断．
2、C 解析：根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，
补充完整2×2列联表为：
单位：名
体育锻炼 性别 合计
男 女
喜欢 52 21 73
不喜欢 22 25 47
合计 74 46 120
所以a－b－c＝52－21－22＝9.
3、A 解析：依据α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，χ2＝7.505＞6.635＝x0.01，
所以变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01，故A正确．
4、D 解析：观察等高堆积条形图易知D选项的两个分类变量之间关系最强．
5、C 解析：在两个分类变量的列联表中，当|ad－bc|的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小．
令|10×30－mn|＝0，得mn＝10×30＝300.
又因为样本容量为75，所以m＋n＋40＝75，则n＝35－m，
所以mn＝m(35－m)＝300，化简得m2－35m＋300＝0，解得m1＝15，m2＝20.
又因为m＜n，所以m＝15.
6、ABC 解析：对于A，根据列联表可知，100天中有50天夜晚下雨，50天夜晚未下雨，
因此夜晚下雨的概率约为，A正确；
对于B，未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，B正确；
对于C，χ2≈19.05＞7.879＝x0.005，
因此依据α＝0.005的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，C正确；
对于D，依据α＝0.005的独立性检验，可判断“日落云里走，雨在半夜后”的说法犯错误的概率不超过0.005，但不代表出现“日落云里走”就一定会下雨，D错误．
7、BC 解析：由题意，从105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，
所以成绩优秀的人数为105×＝30，非优秀的人数为105－30＝75，
所以c＝30－10＝20，b＝75－30＝45，
则χ2＝≈6.109＞3.841.
若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”．
8、9 解析：由题意可知χ2≥6.635，则≥6.635.
又由a＞5且15－a＞5，a∈N，得5＜a＜10.
综上得a＝9.
9、解：(1)由题图可得，(0.01＋0.015＋a＋0.03＋0.01)×10＝1，解得a＝0.035.
各组的频率依次为0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，
所以通过电子阅读的居民的平均年龄为20×0.1＋30×0.15＋40×0.35＋50×0.3＋60×0.1＝41.5(岁)．
所以a的值为0.035，通过电子阅读的居民的平均年龄为41.5岁．
(2)因为200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1，
所以通过电子阅读的有150人，通过纸质阅读的有50人．
因为年龄在[15，45)的居民称为青年组，年龄在[45，65]的居民称为中老年组，
所以电子阅读的青年有150×(0.1＋0.15＋0.35)＝90(人)，中老年有150×(0.3＋0.1)＝60(人)．
补全列联表如下：
单位：人
年龄分组 阅读方式 合计
电子阅读 纸质阅读
青年 90 20 110
中老年 60 30 90
合计 150 50 200
零假设为H0：阅读方式与年龄无关．
根据表中数据，计算得χ2＝≈6.061＞5.024.
所以依据α＝0.025的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为阅读方式与年龄有关联．此推断犯错误的概率不大于0.025.
