广东省深圳市罗湖区翠园东晓中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题
1．（2024九上·罗湖开学考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、图案既不是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
D、图案既是轴对称图形，也是中心对称图形，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．”并结合各选项依次判断即可求解．
2．（2024九上·罗湖开学考）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由实数a，b在数轴上对应的点的位置可得：
，，
A、a＜b，原不等式不成立，此选项不符合题意；
B、，原不等式成立，此选项符合题意；
C、， 原不等式不成立，此选项不符合题意；
D、a+b＜0，原不等式不成立，此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据实数a，b在数轴上对应的点的位置 点在数轴的位置可知：，，由数轴上的点所表示的数从左至右依次增大并结合有理数的加法法则和各选项可判断求解．
3．（2024九上·罗湖开学考）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、≠a2，此选项不符合题意；
B、≠n3m5，此选项不符合题意；
C、，此选项符合题意；
D、≠x2+1，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】A、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
D、根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”可求解.
4．（2024九上·罗湖开学考）某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法正确的是（ ）
A．每月阅读课外书本数的众数是58本
B．每月阅读课外书本数的中位数是45本
C．从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降
D．从1到7月份每月阅读课外书本数的极差是45
【答案】A
【知识点】折线统计图；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：A、因为58出现了两次，是出现次数最多的数据，所以每月阅读课外书本数的众数是58，此选项符合题意；
B、每月阅读课外书本数从小到大的顺序为：28、33、45、58、58、72、78，最中间的两个数字为58，58，所以该组数据的中位数为≠45，此选项不符合题意；
C、从折线图可以看出，从2月到4月阅读课外书的本数下降，4月到5月阅读课外书的本数上升，不正确，此选项不符合题意；
D、从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值78比最小值多28，即极差=28≠45，此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】从折线图中获取信息，根据折线统计图和中位数、众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.”及极差的意义即可求解．
5．（2024九上·罗湖开学考）如图，在等边三角形ABC中，，垂足为D，点E在线段AD上，，则等于（ ）
A．18° B．20° C．30° D．15°
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△是等边三角形，，
∴，，∠ACB=60°，
在和中，
，
∴（SAS），
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=∠EBC=45°，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据题意，结合等边三角形的性质，得出，再根据题意，得出∠EDB＝∠EDC＝90°，用边角边可证，由全等三角形的性质可得∠EBC＝∠ECB＝45°，再根据角的构成∠ACE=∠ACB-∠ECB计算即可求解．
6．（2024九上·罗湖开学考）在中，用尺规作图作等腰，下列作图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：①如图①，根据作图痕迹可知，在上截取，可得是等腰三角形；
如图②，作的中点，，不是是等腰三角形；
如图③，作的角平分线，交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
综上可得，正确，
故答案为：B．
【分析】①由尺规作图可得AE=AB，根据等腰三角形的定义“有两边相等的三角形是等腰三角形”可求解；
②由尺规作图可得AE=AD≠AB，根据等腰三角形的定义不能判断△ABE是等腰三角形；
③由尺规作图可得∠ABE=∠EBC，由平行四边形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质可得∠ABE=∠AEB，根据等腰三角形的判定即可判断求解．
7．（2024九上·罗湖开学考）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰.2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植x棵树，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，
由题意得：，
故答案为：A．
【分析】设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，根据题中的相等关系“甲班植80棵树所用时间=乙班植60棵树所用时间”即可列方程，结合各选项即可判断求解．
8．（2024九上·罗湖开学考）如图，、分别是的中线和角平分线，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取的中点F，连结，
∵是的中线，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，．
由勾股定理，得．
∵BE平分，，
∴，
∴，
∴．根据等腰三角形“三线合一”，得．
∵，
∴
∴E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵的中点F，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得DF=BE，在RtADF中，用勾股定理可求得AF的值，由等腰三角形的三线合一可得AH=DH，根据“平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例”可得比例式，取的中点F，连结，根据线段的和差AC=CF+EF+AE计算即可求解．
9．（2024九上·罗湖开学考）因式分解： = .
【答案】a（b+2）（b-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式a，再利用平方差公式即可因式分解.
10．（2024九上·罗湖开学考）如图，在中，，点分别是的中点，若，则的长为 ．
【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD=AB求出CD的值，然后根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”得EF=AB即可求解．
11．（2024九上·罗湖开学考）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为 ．
【答案】16
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可得：垂直平分，
∴，
∴的周长=.
故答案为：16．
【分析】由作图可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，然后根据三角形的周长等于三角形三边之和并结合等量代换即可求解．
12．（2024九上·罗湖开学考）如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为 ．
【答案】x≤1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），∴把点P（m，3）代入直线y=x+2得，3=m+2，
解得：m=1，
∴P（1，3），
由图象可知：x+2≤ax+c的解集为x≤1.
故答案为：x≤1．
【分析】由题意，将点P（m，3）代入y=x+2可得关于m的方程，解方程求出m的值，可得点P的坐标；根据不等式x+2≤ax+c可知，直线y=ax+c高于直线y=x+2即为符合题意的不等式的值，结合函数图象即可求解.
13．（2024九上·罗湖开学考）如图，在中，，，点P为直线上一个动点，以为对称轴折叠．得到，点C的对应点为点Q，当以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，的长为 ．
【答案】或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
14．（2024九上·罗湖开学考）计算：
【答案】解：原式=2+6+1-1
=8.
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-3.14）°=1，由立方根的定义可得，然后根据有理数的混合运算法则计算即可求解．
15．（2024九上·罗湖开学考）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式=
=
=，
∵x=1，
∴原式==.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】由题意，先将原式括号中的项通分，再利用同分母分式的减法法则计算，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数可把除法转化为乘法，再将各分子和分母分别分解因式，并约分即可化简，最后将x的值代入化简后的代数式计算即可求解．
16．（2024九上·罗湖开学考）当今社会提倡全民健康与体育运动，提高公民身体素质．某校为了解九年级共480名同学身体素质情况，对他们进行了体能测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生体能测试成绩分别为78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
乙班15名学生体能测试成绩中的成绩如下：90，91，92，93，94．
【整理数据】
班级
甲 1 1 3 4 6
乙 1 2 3 5 4
【分析数据】
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 92 a 93 47.3
乙 90 87 b 50.2
【应用数据】
（1）根据以上信息，求a和b的值．
（2）若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加体能测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人．
（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生体能测试的整体成绩较好？请说明理由（一条即可）．
【答案】（1），
（2）解：根据题意得：
（人，
答：估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有304人；
（3）解：甲班成绩较好，理由如下：
甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，
甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳定（答案不唯一，合理均可）．
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：∵甲班15名学生体能测试成绩中100分的出现了2次，是出现次数最多的数据，
∴众数，
∵乙班有15名学生，
∴中位数是第8名学生的成绩，
而1+2+3+3=9，
∴从表格中可知第8名的成绩落在这一组，且是第2个数据为91，
∴中位数，
故答案为：，；
【分析】（1）根据众数定义“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数”和中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”并结合题意即可求解；
（2）用样本估计总体即可求解；
（3）根据平均数、众数、中位数、方差的意义求解即可（答案不唯一，合理即可）．
（1）解：甲班15名学生体能测试成绩中100分的出现了2次且次数最多，因此众数，
乙班有15名学生，因此中位数是第8名学生的成绩，从表格中得到第8名的成绩落在这一档，且是第2个数据为91，因此中位数，
故答案为：，；
（2）解：根据题意得：
（人，
答：估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有304人；
（3）解：甲班成绩较好，理由如下：
甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，
甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳定（答案不唯一，合理均可）．
17．（2024九上·罗湖开学考）根据以下素材，探索完成任务1和任务2：
主题：奶茶销售方案制定问题
年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．
素材1 两款奶茶配料表如下：
芝士杨梅 配料
19元/杯 芝士/杯
茉莉清茶/杯
杨梅肉
多肉
满杯杨梅 配料
17元/杯 茉莉清茶/杯
杨梅肉
多肉
素材2 9月2日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．
问题解决
任务1 确定奶茶的利润 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？
任务2 拟定最优方案 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？
【答案】解：任务1：设“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”利润为元，9月2日当天销售“芝士杨梅”杯，则销售“满杯杨梅”杯，
由题意得：，
由可得，
把代入可得，
∴“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”利润为元，
任务2：设9月3日制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”分别为杯和杯，总获利为元，
由题意可得：
由可得，
∴，解得，
∵和都是正整数，
∴且必须是的倍数，
∴或，
当时，，，
当时，，，
∴为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”35杯和“满杯杨梅”7杯，共42杯．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】任务1：由每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，设每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，再设出数量，最后根据““芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元”可得关于m、n的方程组，解方程组即可求解；
任务2：设9月3日制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”分别为杯和杯，根据要求"当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”"列出关于x的不等式组，解不等式组可得x的范围，再根据整数解即可求解．
18．（2024九上·罗湖开学考）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形：
（2）若AB=3，BC=5，若四边形ADCF是菱形，求DG的值．
【答案】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点
∴DE∥AB，BD＝CD
∵AF∥BC
∴四边形ABDF是平行四边形
∴AF＝BD
∴AF＝DC，AF∥DC
∴四边形ADCF是平行四边形
（2）解：由（1）知：，DF=AB=5
∵四边形ADCF是菱形
∴AC⊥DF，CD=CF=
∵AB∥DF
∴∠BAC=90°
∴AC4
∵DG⊥CF
∴S菱形ADCFAC DF＝CF DG
∴
∴DG
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先点D、E分别是边BC、AC的中点，得DE∥AB，又因为AF∥BC，可证：四边形ABDF是平行四边形，得AF＝BD，则AF＝DC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）先由（1）得：，DF=AB=5，再根据菱形性质得出：AC⊥DF，CD=CF=，得出△ABC是直角三角形，根据勾股定理：AC，求出AC，再根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半和底×高，列出方程即可.
19．（2024九上·罗湖开学考）阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”．
解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．
（1）已知3个点：，则这三点中，可以做线段的“等距点”是 ，线段的“完美等距点”是 ；
（2）若坐标原点O为线段AP的“等距点”，求出点P的坐标；
（3）若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标；
（4）当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标．
【答案】（1）和；
（2）解：在上，
，
∵坐标原点O为线段AP的“等距点”，OA=4，
，
解得：，
，∴n=×()=；
或，
答：若坐标原点O为线段AP的“等距点”，点P的坐标为或.
（3）解：在上，
，
∵OP=，
，
解得：m=±2，
∴n=×(±2)=±1，
或，
∵点在轴上，
∴设的坐标为，
或，
∴，
∵是线段的“等距点”，
∴，
或，
解得：或．
的坐标为或；
答：点的坐标为或.
（4）解：∵点是线段的“等距点”，
∴设点的坐标为，ON=PN，
，
，，
，
解得：，
为线段的“完美等距点”，
，
为等腰直角三角形，
∴ON2+PN2=OP2，
，
，，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
点的坐标为或．
答：存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，点P的坐标为或.
【知识点】勾股定理的逆定理；一次函数中的动态几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】（1）解：∵A(4，0)，B（2，－3），0（0，0），
∴OB==，AB=，
，
为等距点．
同理可得：
，，
，
为等距点．
，，
，
不为等距点．
，
，，，，
为完美等距点，
故答案：和；；
【分析】（1）根据两点之间的距离公式“d=”分别计算各点到，的距离，根据等距点和完美等距点的定义即可判断求解；
（2）由在上，得到，根据两点间的距离公式“d=”并结合“等距点”的意义可列关于m、n的方程，解方程即可求解；
（3）由题意设点的坐标，根据等距点的定义并结合两点之间的距离公式列关于t的方程，解方程可求解；
（4）假定存在，设出点的坐标，根据等距点的定义并结合两点之间的距离公式列出关于m、n的方程，解方程可求解.
（1）解：，，
，
为等距点．
，，
，
为等距点．
，，
，
不为等距点．
，
，，，，
为完美等距点，
故答案：和；；
（2）解：在上，
，
，
，
，
或，
（3）解：在上，
，
，
，
，
或，
设的坐标为，
或，
，，
或，
解得：或．
的坐标为或；
（4）解：设点的坐标为，
，
，，
点是线段的“等距点”，
，
，
解得：，
为线段的“完美等距点”，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
点的坐标为或．
20．（2024九上·罗湖开学考）【综合与实践】
【问题背景】几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢？
【问题解决】下面是两位同学的转化方法：
方法1：如图1，连接四边形的对角线，分别过四边形的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形，易证四边形是平行四边形．
（1）请直接写出和之间的数量关系：______．
方法2：如图2，取四边形四边的中点，，，，连接，，，，可以得出．
（2）求证：四边形是平行四边形；
【实践应用】如图3，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状．
（3）请问能否实现这一设想？若能，请你画出你设计的图形；若不能，请说明理由．
（4）已知，在四边形池塘中，对角线与交于点．，，，则求四边形池塘的面积．
【答案】解：（1）；
（2）证明：∵E，H分别为，中点
∴．，
∵F，G分别为，中点
∴，，
∴，，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（3）能，理由如下：
如图所示，连接对角线，交于点O，
过点D作的平行线，过点B作的平行线
过点A作的平行线，过点C作的平行线
四边形即为所求，
（4）过H作于点M，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1），理由如下：
由题意知：，，
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，
∴，，
，，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据平行四边形的判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，然后根据平行四边形的对角线分得两个面积相等的三角形即可求解；
（2）根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得EH=FG，EH∥FG，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解；
（3）根据平行四边形的判定即可求解；
（4）过H作于点M，在Rt HEM中，用勾股定理求出的值，然后根据S四边形ABCD=S平行四边形EFGH可求解.
广东省深圳市罗湖区翠园东晓中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题
1．（2024九上·罗湖开学考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·罗湖开学考）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·罗湖开学考）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·罗湖开学考）某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法正确的是（ ）
A．每月阅读课外书本数的众数是58本
B．每月阅读课外书本数的中位数是45本
C．从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降
D．从1到7月份每月阅读课外书本数的极差是45
5．（2024九上·罗湖开学考）如图，在等边三角形ABC中，，垂足为D，点E在线段AD上，，则等于（ ）
A．18° B．20° C．30° D．15°
6．（2024九上·罗湖开学考）在中，用尺规作图作等腰，下列作图正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·罗湖开学考）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰.2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植x棵树，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·罗湖开学考）如图，、分别是的中线和角平分线，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·罗湖开学考）因式分解： = .
10．（2024九上·罗湖开学考）如图，在中，，点分别是的中点，若，则的长为 ．
11．（2024九上·罗湖开学考）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为 ．
12．（2024九上·罗湖开学考）如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为 ．
13．（2024九上·罗湖开学考）如图，在中，，，点P为直线上一个动点，以为对称轴折叠．得到，点C的对应点为点Q，当以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，的长为 ．
14．（2024九上·罗湖开学考）计算：
15．（2024九上·罗湖开学考）先化简，再求值：，其中．
16．（2024九上·罗湖开学考）当今社会提倡全民健康与体育运动，提高公民身体素质．某校为了解九年级共480名同学身体素质情况，对他们进行了体能测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生体能测试成绩分别为78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
乙班15名学生体能测试成绩中的成绩如下：90，91，92，93，94．
【整理数据】
班级
甲 1 1 3 4 6
乙 1 2 3 5 4
【分析数据】
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 92 a 93 47.3
乙 90 87 b 50.2
【应用数据】
（1）根据以上信息，求a和b的值．
（2）若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加体能测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人．
（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生体能测试的整体成绩较好？请说明理由（一条即可）．
17．（2024九上·罗湖开学考）根据以下素材，探索完成任务1和任务2：
主题：奶茶销售方案制定问题
年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．
素材1 两款奶茶配料表如下：
芝士杨梅 配料
19元/杯 芝士/杯
茉莉清茶/杯
杨梅肉
多肉
满杯杨梅 配料
17元/杯 茉莉清茶/杯
杨梅肉
多肉
素材2 9月2日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．
问题解决
任务1 确定奶茶的利润 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？
任务2 拟定最优方案 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？
18．（2024九上·罗湖开学考）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形：
（2）若AB=3，BC=5，若四边形ADCF是菱形，求DG的值．
19．（2024九上·罗湖开学考）阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”．
解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．
（1）已知3个点：，则这三点中，可以做线段的“等距点”是 ，线段的“完美等距点”是 ；
（2）若坐标原点O为线段AP的“等距点”，求出点P的坐标；
（3）若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标；
（4）当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标．
20．（2024九上·罗湖开学考）【综合与实践】
【问题背景】几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢？
【问题解决】下面是两位同学的转化方法：
方法1：如图1，连接四边形的对角线，分别过四边形的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形，易证四边形是平行四边形．
（1）请直接写出和之间的数量关系：______．
方法2：如图2，取四边形四边的中点，，，，连接，，，，可以得出．
（2）求证：四边形是平行四边形；
【实践应用】如图3，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状．
（3）请问能否实现这一设想？若能，请你画出你设计的图形；若不能，请说明理由．
（4）已知，在四边形池塘中，对角线与交于点．，，，则求四边形池塘的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、图案既不是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
D、图案既是轴对称图形，也是中心对称图形，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．”并结合各选项依次判断即可求解．
2．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由实数a，b在数轴上对应的点的位置可得：
，，
A、a＜b，原不等式不成立，此选项不符合题意；
B、，原不等式成立，此选项符合题意；
C、， 原不等式不成立，此选项不符合题意；
D、a+b＜0，原不等式不成立，此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据实数a，b在数轴上对应的点的位置 点在数轴的位置可知：，，由数轴上的点所表示的数从左至右依次增大并结合有理数的加法法则和各选项可判断求解．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、≠a2，此选项不符合题意；
B、≠n3m5，此选项不符合题意；
C、，此选项符合题意；
D、≠x2+1，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】A、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
D、根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”可求解.
4．【答案】A
【知识点】折线统计图；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：A、因为58出现了两次，是出现次数最多的数据，所以每月阅读课外书本数的众数是58，此选项符合题意；
B、每月阅读课外书本数从小到大的顺序为：28、33、45、58、58、72、78，最中间的两个数字为58，58，所以该组数据的中位数为≠45，此选项不符合题意；
C、从折线图可以看出，从2月到4月阅读课外书的本数下降，4月到5月阅读课外书的本数上升，不正确，此选项不符合题意；
D、从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值78比最小值多28，即极差=28≠45，此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】从折线图中获取信息，根据折线统计图和中位数、众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.”及极差的意义即可求解．
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△是等边三角形，，
∴，，∠ACB=60°，
在和中，
，
∴（SAS），
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=∠EBC=45°，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据题意，结合等边三角形的性质，得出，再根据题意，得出∠EDB＝∠EDC＝90°，用边角边可证，由全等三角形的性质可得∠EBC＝∠ECB＝45°，再根据角的构成∠ACE=∠ACB-∠ECB计算即可求解．
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：①如图①，根据作图痕迹可知，在上截取，可得是等腰三角形；
如图②，作的中点，，不是是等腰三角形；
如图③，作的角平分线，交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
综上可得，正确，
故答案为：B．
【分析】①由尺规作图可得AE=AB，根据等腰三角形的定义“有两边相等的三角形是等腰三角形”可求解；
②由尺规作图可得AE=AD≠AB，根据等腰三角形的定义不能判断△ABE是等腰三角形；
③由尺规作图可得∠ABE=∠EBC，由平行四边形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质可得∠ABE=∠AEB，根据等腰三角形的判定即可判断求解．
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，
由题意得：，
故答案为：A．
【分析】设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，根据题中的相等关系“甲班植80棵树所用时间=乙班植60棵树所用时间”即可列方程，结合各选项即可判断求解．
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取的中点F，连结，
∵是的中线，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，．
由勾股定理，得．
∵BE平分，，
∴，
∴，
∴．根据等腰三角形“三线合一”，得．
∵，
∴
∴E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵的中点F，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得DF=BE，在RtADF中，用勾股定理可求得AF的值，由等腰三角形的三线合一可得AH=DH，根据“平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例”可得比例式，取的中点F，连结，根据线段的和差AC=CF+EF+AE计算即可求解．
9．【答案】a（b+2）（b-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式a，再利用平方差公式即可因式分解.
10．【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD=AB求出CD的值，然后根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”得EF=AB即可求解．
11．【答案】16
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可得：垂直平分，
∴，
∴的周长=.
故答案为：16．
【分析】由作图可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，然后根据三角形的周长等于三角形三边之和并结合等量代换即可求解．
12．【答案】x≤1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），∴把点P（m，3）代入直线y=x+2得，3=m+2，
解得：m=1，
∴P（1，3），
由图象可知：x+2≤ax+c的解集为x≤1.
故答案为：x≤1．
【分析】由题意，将点P（m，3）代入y=x+2可得关于m的方程，解方程求出m的值，可得点P的坐标；根据不等式x+2≤ax+c可知，直线y=ax+c高于直线y=x+2即为符合题意的不等式的值，结合函数图象即可求解.
13．【答案】或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
14．【答案】解：原式=2+6+1-1
=8.
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-3.14）°=1，由立方根的定义可得，然后根据有理数的混合运算法则计算即可求解．
15．【答案】解：原式=
=
=，
∵x=1，
∴原式==.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】由题意，先将原式括号中的项通分，再利用同分母分式的减法法则计算，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数可把除法转化为乘法，再将各分子和分母分别分解因式，并约分即可化简，最后将x的值代入化简后的代数式计算即可求解．
16．【答案】（1），
（2）解：根据题意得：
（人，
答：估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有304人；
（3）解：甲班成绩较好，理由如下：
甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，
甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳定（答案不唯一，合理均可）．
【知识点】中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：∵甲班15名学生体能测试成绩中100分的出现了2次，是出现次数最多的数据，
∴众数，
∵乙班有15名学生，
∴中位数是第8名学生的成绩，
而1+2+3+3=9，
∴从表格中可知第8名的成绩落在这一组，且是第2个数据为91，
∴中位数，
故答案为：，；
【分析】（1）根据众数定义“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数”和中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”并结合题意即可求解；
（2）用样本估计总体即可求解；
（3）根据平均数、众数、中位数、方差的意义求解即可（答案不唯一，合理即可）．
（1）解：甲班15名学生体能测试成绩中100分的出现了2次且次数最多，因此众数，
乙班有15名学生，因此中位数是第8名学生的成绩，从表格中得到第8名的成绩落在这一档，且是第2个数据为91，因此中位数，
故答案为：，；
（2）解：根据题意得：
（人，
答：估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有304人；
（3）解：甲班成绩较好，理由如下：
甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，
甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳定（答案不唯一，合理均可）．
17．【答案】解：任务1：设“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”利润为元，9月2日当天销售“芝士杨梅”杯，则销售“满杯杨梅”杯，
由题意得：，
由可得，
把代入可得，
∴“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”利润为元，
任务2：设9月3日制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”分别为杯和杯，总获利为元，
由题意可得：
由可得，
∴，解得，
∵和都是正整数，
∴且必须是的倍数，
∴或，
当时，，，
当时，，，
∴为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”35杯和“满杯杨梅”7杯，共42杯．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】任务1：由每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，设每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，再设出数量，最后根据““芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元”可得关于m、n的方程组，解方程组即可求解；
任务2：设9月3日制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”分别为杯和杯，根据要求"当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”"列出关于x的不等式组，解不等式组可得x的范围，再根据整数解即可求解．
18．【答案】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点
∴DE∥AB，BD＝CD
∵AF∥BC
∴四边形ABDF是平行四边形
∴AF＝BD
∴AF＝DC，AF∥DC
∴四边形ADCF是平行四边形
（2）解：由（1）知：，DF=AB=5
∵四边形ADCF是菱形
∴AC⊥DF，CD=CF=
∵AB∥DF
∴∠BAC=90°
∴AC4
∵DG⊥CF
∴S菱形ADCFAC DF＝CF DG
∴
∴DG
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先点D、E分别是边BC、AC的中点，得DE∥AB，又因为AF∥BC，可证：四边形ABDF是平行四边形，得AF＝BD，则AF＝DC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）先由（1）得：，DF=AB=5，再根据菱形性质得出：AC⊥DF，CD=CF=，得出△ABC是直角三角形，根据勾股定理：AC，求出AC，再根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半和底×高，列出方程即可.
19．【答案】（1）和；
（2）解：在上，
，
∵坐标原点O为线段AP的“等距点”，OA=4，
，
解得：，
，∴n=×()=；
或，
答：若坐标原点O为线段AP的“等距点”，点P的坐标为或.
（3）解：在上，
，
∵OP=，
，
解得：m=±2，
∴n=×(±2)=±1，
或，
∵点在轴上，
∴设的坐标为，
或，
∴，
∵是线段的“等距点”，
∴，
或，
解得：或．
的坐标为或；
答：点的坐标为或.
（4）解：∵点是线段的“等距点”，
∴设点的坐标为，ON=PN，
，
，，
，
解得：，
为线段的“完美等距点”，
，
为等腰直角三角形，
∴ON2+PN2=OP2，
，
，，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
点的坐标为或．
答：存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，点P的坐标为或.
【知识点】勾股定理的逆定理；一次函数中的动态几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】（1）解：∵A(4，0)，B（2，－3），0（0，0），
∴OB==，AB=，
，
为等距点．
同理可得：
，，
，
为等距点．
，，
，
不为等距点．
，
，，，，
为完美等距点，
故答案：和；；
【分析】（1）根据两点之间的距离公式“d=”分别计算各点到，的距离，根据等距点和完美等距点的定义即可判断求解；
（2）由在上，得到，根据两点间的距离公式“d=”并结合“等距点”的意义可列关于m、n的方程，解方程即可求解；
（3）由题意设点的坐标，根据等距点的定义并结合两点之间的距离公式列关于t的方程，解方程可求解；
（4）假定存在，设出点的坐标，根据等距点的定义并结合两点之间的距离公式列出关于m、n的方程，解方程可求解.
（1）解：，，
，
为等距点．
，，
，
为等距点．
，，
，
不为等距点．
，
，，，，
为完美等距点，
故答案：和；；
（2）解：在上，
，
，
，
，
或，
（3）解：在上，
，
，
，
，
或，
设的坐标为，
或，
，，
或，
解得：或．
的坐标为或；
（4）解：设点的坐标为，
，
，，
点是线段的“等距点”，
，
，
解得：，
为线段的“完美等距点”，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
点的坐标为或．
20．【答案】解：（1）；
（2）证明：∵E，H分别为，中点
∴．，
∵F，G分别为，中点
∴，，
∴，，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（3）能，理由如下：
如图所示，连接对角线，交于点O，
过点D作的平行线，过点B作的平行线
过点A作的平行线，过点C作的平行线
四边形即为所求，
（4）过H作于点M，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1），理由如下：
由题意知：，，
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，
∴，，
，，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据平行四边形的判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，然后根据平行四边形的对角线分得两个面积相等的三角形即可求解；
（2）根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得EH=FG，EH∥FG，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解；
（3）根据平行四边形的判定即可求解；
（4）过H作于点M，在Rt HEM中，用勾股定理求出的值，然后根据S四边形ABCD=S平行四边形EFGH可求解.
