2024-2025学年高二上学期期中试题
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若方程表示椭圆，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知直线与动圆，下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．当时，若直线与圆相切，则
C．若直线与圆相交截得弦长为定值，则
D．当时，直线截圆的最短弦长为
3．曲线与曲线（）的（ ）
A．短轴长相等 B．长轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
4．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知某圆台的上、下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在.，则半椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。）
9．下列四个命题中正确的是（ ）
A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为
B．向量是直线的一个方向向量
C．直线与直线之间的距离是
D．圆与圆有两条公切线
10．在棱长2的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．平面
B．直线与是异面直线
C．平面截正方体所得截面是五边形
D．平面截正方体所得截面的面积为
11．已知双曲线C：的左焦点为F，P为C右支上的动点，过P作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．点F到C的一条渐近线的距离为2
B．双曲线C的离心率为
C．则P到C的两条渐近线的距离之积大于4
D．当最小时，则的周长为
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）
12．已知是椭圆的两个焦点，点在该椭圆上，若，则的面积是 ．
13．四川的旅游资源丰富，不仅有众多著名的自然景观，还包括许多人文景点.其中，九寨沟以奇幻的山水景观著称；峨眉山以秀丽闻名；青城山以幽静清雅著称；剑门关则以雄险著称.此外，四川还有许多必去的旅游景点，如都江堰、乐山大佛、稻城亚丁、色达佛学院、黄龙景区和四姑娘山等.这些景点既展示了四川的自然美景，还体现了其深厚的文化底蕴和历史价值.甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点进行游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是，，和，，，则甲、乙选择相同的景点游玩的概率为 .
14．已知正三棱锥的外接球为球是球上任意一点，为的中点，则的取值范围为 .
四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（15分）15．已知椭圆（）的右焦点为，且过点，直线过点且交椭圆于A、两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若线段的垂直平分线与轴的交点为.
（ⅰ）求直线的方程.
（ⅱ）若点，求的面积.
（15分）16．如图，四边形与均为菱形，，，.
(1)求证：平面；
(2)为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值；
(3)设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度.
（15分）17．如图，在四棱锥中，平面平面，，为中点，点在上，且.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)线段上是否存在点，使得平面？说明理由.
（14分）18．2024年西部数学邀请赛于8月4日至10日在上海隆重举行，此次赛事不仅是对中学生数学能力的一次全面考验，更是对数学教育未来发展的深刻实践探索，共有200多名学生参赛，引起社会广泛关注，点燃了全社会对数学的热情.甲、乙、丙3名同学各自独立去做2024年西部数学邀请赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为.
(1)求乙、丙各自解出该题的概率；
(2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.
（18分）19．已知拋物线的焦点，直线，
(1)设直线与x轴交于点，直线与抛物线交于两点，其中在第一象限，求出所有满足的点的坐标.（其中点与点对应，点与点对应）；
(2)过直线上的点作抛物线的两条切线，切点分别为，求的最小值.数学答案
1．D【详解】因为方程表示椭圆，
所以，解得，
2．C【详解】对于A，将直线整理为.
令，解方程组，得，即，
将代入得，所以直线过定点，故A选项错误.
对于B，当时，直线方程为，即.
圆，圆心，半径.
因为直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，即，
或，解得或，故B选项错误.
对于C，圆，圆心，半径.
直线，根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离.
弦长，若弦长为定值，则为定值，与，无关.
当时，，，是定值，故C选项正确.
对于D，当时，求直线截圆的最短弦长
当时，圆，圆心，半径.
直线过定点.
圆心到定点的距离.
根据几何关系，直线截圆的最短弦长，故D选项错误.
3．C【详解】A选项，明显短轴不相等，一个，故错误；B选项，一个
另一个为，故错误．D选项，离心率，结合前面提到了a不相等，故错误；曲线的焦半径满足，而焦半径满足
，故两曲线的焦半径相等，故焦距相等，C正确．
4．C【详解】以代换，方程不变，
故曲线C：关于原点及x轴，y轴对称，
当时，可得，即，
可得此时曲线是以 为圆心，为半径的半圆，
由此作出曲线C的图象如图所示，
所以曲线C围成的图形的面积是，
5．A【详解】，由，
结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支，
在双曲线中，，可得，，
所以，
动点的轨迹方程为.
6．C【详解】设圆台的高为，根据圆台的母线长、高和上下底面半径之差构成直角三角形，由勾股定理可得.
已知，，，则.
代入圆台体积公式，
可得.
7．C【详解】过点作平行于底面的截面圆，过点作平行于底面的截面圆，，
设圆柱的底面圆半径为，则，解得 ，于是，
由，得
，
所以、两点间的距离为.
8．D【详解】
（解法1）设，
因为，所以.
，所以.
因为，所以.
因为，所以，即，解得.
（解法2）设，
因为，所以，
所以.
因为，所以.
因为存在.，所以在上有解.
因为，且，
所以在上有解，
即在上有解.
因为，所以，即解得.
9．BD【详解】选项A：由题意可知直线斜率存在且不为，设直线方程为，
令解得，令解得，
因为该直线在轴上的截距是在轴上截距的倍，
所以，解得或，
所以直线方程为或，A说法错误；
选项B：直线的斜率为，方向向量为，当时，B说法正确；
选项C：由得，
则直线与直线之间的距离，C说法错误；
选项D：由题意圆圆心为，半径，
圆圆心为，半径，
因为，，
所以两圆相交，有且仅有两条公切线，D说法正确；
10．ABD【详解】对于A，如图，正方体中，分别为，的中点，取分别为，的中点.连接..由正方体性质，知道，，平面，平面，则平面.故A正确.
对于B，点不在MN上，由异面直线定义可知，直线与是异面直线，故B正确.
对于C和D，由前面知道，，则等腰梯形是所求截面，
如图，棱长是2的正方体，可求得,，
，，
作则.
则等腰梯形的面积为：.故C错误，D正确.
11．BCD【详解】双曲线的渐近线为，左焦点，所以点到C的一条渐近线的距离为，所以A错误；
由双曲线方程可得，，所以离心率，所以B正确；
设点，则，即，
点到两渐近线距离分别为和，
则，所以C正确；
设双曲线的右焦点，则，所以，
若最小，则只需最小即可，
过作垂直渐近线与点，交双曲线右支与点，此时最小，
，由勾股定理得，所以，所以，
所以的周长为，所以D正确.
12．
【详解】由题意知是椭圆的两个焦点，
则，
不妨取，则，
又，结合可得，
则，即，
故，
13．
【详解】由题意知甲，乙两人选择景点游玩相互独立，所以甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为.
14．
【详解】因为底面是正三角形，.
根据正三角形外接圆半径公式（其中为正三角形的边长），可得.
设正三棱锥的高为，顶点在底面的射影为.
因为为中点，在上，且.
对于正三角形，，则.
在中，，，根据勾股定理.
设外接球半径为，球心在高上.
根据，将，代入可得：
. 展开得.
移项化简得，解得.
因为.
设球心到点的距离为，在中，，，根据勾股定理.
的最小值为，最大值为.
，.
所以的取值范围是.
15．(1)； (2)或；
【详解】（1）根据题意有，解之得，所以椭圆的方程；
（2）（ⅰ）显然若l斜率不存在，其垂直平分线与横轴重合，不符合题意；
不妨设直线的方程为，的中点为C，
设，
l与椭圆方程联立有，整理得，
则，
所以，
易知，解之得，
即，整理得直线的方程为或；
（ⅱ）由弦长公式可知
，
由直线的对称性知点P到两条直线l的距离相同，即，
所以的面积为.
16．(1)证明见解析 (2) (3)
【详解】（1）因为四边形为菱形，则，
设，连接，则为的中点，
因为，则，
因为，、平面，故平面.
（2）连接，因为四边形为菱形，则，
又因为，则为等边三角形，
因为为的中点，则，
又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、
、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，四边形为菱形，且，则是边长为的等边三角形，
所以，，，，
同理可得，
所以，、、、、、，
则，，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
因为为上的动点，设，其中，
且，，
所以，，
设直线与平面所成角为，
则
，
当时，取最大值，且最大值为，
因此，与平面所成角正弦值的最大值为.
（3）因为为的中点，则，
设点，则，，
因为，即，即，
化简可得，
故动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在四边形内的部分，
即圆心角为的圆弧，故所求轨迹的长度为.
17．(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析
【详解】（1）在中，
所以，即.
又因为，在平面中，，
所以平面.
（2）因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，由平面，得.
由（2）知，且已知，
故以A为原点，建立如图空间直角坐标系，
则，.
所以
因为为中点，所以.
由知，.
设平面的法向量为，
则即
令，则.于是.
由（1）知平面，所以平面的法向量为.
所以，
由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为；
（3）设是线段上一点，则存在使得.
因为，
所以.
因为平面，所以平面，当且仅当，
即.
即.解得.
因为，
所以线段上不存在使得平面.
18．(1)， (2)
【详解】（1）设“甲解出该题”为事件，“乙解出该题”为事件，“丙解出该题”为事件，
则，，相互独立，
由题意得，，
所以，，
所以，所以乙、丙各自解出该题的概率为，.
（2）设“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件，
则，
因为，，，
所以，，，
因为、、相互独立，
所以.
所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为.
19．(1)或 (2)
【详解】（1）因为拋物线的焦点为，则，得到，所以拋物线，
由题知，由，得到，所以，
在中，，，
则，又，所以，
因为，且点与点对应，点与点对应，所以，
如图，易知，所以点在轴正半轴或轴负半轴上，
又因为，，得到，
所以点的坐标为或.
（2）设，则，，
再设切线的方程为，
联立方程组，整理得，
由，且，可得，
则切线的方程为，即.
由切线过点，可得.
同理，切线的方程为，
由切线过点，可得，
则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
可得，
则
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
