平面向量的应用 选择题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练
一、选择题
1．若,是夹角为60°的两个单位向量,则向量与的夹角为( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
2．在中,已知,,则“”是“”成立的______条件( )
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充分必要 D.既不充分也不必要
3．已知中,,且O为的外心.若在上的投影向量为,且,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4．已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是( )
A.-2 B. C. D.-1
5．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，，，则( )
A. B. C. D.
6．如图，在平面四边形ABCD中．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为( )
A． B． C． D．1
7．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,且的面积,若的平分线交于点D,则( )
A. B. C. D.
8．在中，，，，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9．已知焦点为，的双曲线C的离心率为，点P为C上一点，且满足.若的面积为，则双曲线C的实轴长为( )
A.2 B. C. D.
10．在中，“是正三角形”是“A，B，C成等差数列且，，成等比数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
12．在中，，，且的面积为，则角B的大小为( )
A. B. C.或 D.或
13．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量,.若,则角C的大小为( )
A. B. C. D.
14．如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一条直线上的三点C，D，E.从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，（单位：百米），则A，B两点间的距离为( )
A. B. C.3 D.
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，其面积为，则( )
A. B. C. D.
16．如图,某市人民广场正中央有一座铁塔,为了测量塔高AB,小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为,然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处,在D处测得塔顶的仰角为,则铁塔AB的高度是( )
A.70米 B.80米 C.90米 D.100米
参考答案
1．答案：D
解析：,
,
,夹角120°,
故选：D.
2．答案：B
解析：由正弦定理得,即,
,又因为,
或;
则“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B.
3．答案：A
解析：因为,
则,所以,即B,O,C三点共线.
因为O为的外心,即有,
所以为直角三角形,因此,O为斜边的中点.因为,所以为锐角.
如图,过点A作,垂足为Q.
因为在上的投影向量为,所以,
所以在上的投影向量为.
又因为,所以.
因为,所以,
故的取值范围为.
故选：A.
4．答案：B
解析：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
故选：B.
5．答案：B
解析：，
，
，
，
，
，
，
，
，
由正弦定理可得，
，，
，
，
，
故选B．
6．答案：B
解析：由于，
如图，以D为坐标原点，以为x,y轴建立直角坐标系，
连接AC,由于，则
而，故，则，
则，
设，则，，
故，
当时，有最小值，
故选：B
7．答案：A
解析：由可知,,所以,所以.
在中,由等面积法得,
即,
即,解得,故A正确.
故选：A.
8．答案：D
解析：以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则，，设，则，，，所以，又表示圆上一点到点的距离的平方，圆心到点的距离为，所以，即，故选D.
9．答案：B
解析：设，则，故，所以，，故，而，则，则，又，所以，故，即，解得，故实轴长.故选B.
10．答案：C
解析：在中，由A，B，C成等差数列，得，而，则，
由，，成等比数列，得，由正弦定理得，
由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形；
若是正三角形，则，，
因此A，B，C成等差数列且，，成等比数列，
所以“是正三角形”是“A，B，C成等差数列且，，”成等比数列的充要条件.
故选：C.
11．答案：B
解析：设外接圆的半径为R，则，解得，
所以外接圆的面积为.
故选：B.
12．答案：D
解析：的面积，解得，
因为，所以角B的大小为或.
故选：D.
13．答案：B
解析：因为向量,,
因,
所以,即,
由余弦定理可得.
因为,所以,
故选:B.
14．答案：C
解析：在中，，，则，.在中，，，则，
由正弦定理得，
则.
则在中，，，，由余弦定理得，则.故选C.
15．答案：C
解析：设的面积为S，由题意知，即，解得.
由余弦定理得，即.所以，故选C.
16．答案：A
解析：设塔AB的高度为h,在中,
因为,所以;
在中,因为,所以;
在中,,,,根据余弦定理可得,即,
解得或(舍去).
故选：A.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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