立体几何初步 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练
一、多项选择题
1．如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,则下列结论成立的是( )
A.平面PCD B.平面PDA C.平面PBA D.平面PBC
2．棱台具备的特点有( )
A.两底面相似 B.侧面都是梯形
C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点
3．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是( )
A.弧长度为 B.曲池的体积为
C.曲池的表面积为 D.三棱锥的体积为5
4．半正多面体亦称“阿基米德体多面体”,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成,其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中,若其棱长为1,则下列结论正确的是( )
A.该半正多面体的表面积为
B.该半正多面体的体积为
C.该半正多面体外接球的的表面积为
D.若点M,N分别在线段DE,BC上,则的最小值为
5．如图,矩形中,,E为边的中点,将沿翻折成,若M为线段的中点,则在翻折过程中,下列结论中正确的是( )
A.翻折到某个位置,使得
B.翻折到某个位置,使得平面
C.四棱锥体积的最大值为
D.点M在某个球面上运动
6．已知m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题为真命题的有( )
A.若,,则
B.若,,,则
C.若,,则
D.若m,n为异面直线,,,,,则
7．如图，矩形中，E、F分别为、的中点，且，现将沿间上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( )
A.存在点P，使得
B.存在点P，使得
C.当平面平面时，二面角大小的正切值为
D.当平面平面时，三棱锥外接球表面积为
8．在正方体中,过对角线的平面与,分别交于E,F,且,,则( )
A.四边形一定是平行四边形
B.四边形BEDF可能是正方形
C.
D.四边形在侧面内的投影一定是平行四边形
9．已知m,n是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题为真命题的有( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,则或
D.若,m,n相交,则
10．已知点A,B为不同的两点,直线,,为不同的三条直线,平面,为不同的两个平面,则下列说法正确的是( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,,,则
D.若,,,,则直线
11．如图所示，直线垂直于圆O所在的平面，内接于圆O，且为圆O的直径，点M为线段的中点.则下列结论正确的是( )
A.；
B.平面；
C.平面；
D.点B到平面的距离等于线段的长.
12．如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形是( )
A.① B.② C.③ D.④
13．下列命题中为假命题的是( )
A.长方体是四棱柱,直四棱柱是长方体
B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D.正四棱柱是平行六面体
14．已知正四棱锥的所有棱长均相等，O为顶点S在底面内的射影，则下列说法正确的有( )
A.平面平面
B.侧面内存在无穷多个点P，使得平面
C.在正方形的边上存在点Q，使得直线与底面所成角大小为
D.动点M，N分别在棱和上（不含端点），则二面角的范围是
15．已知a，b是空间中两条互相垂直的异面直线，则下列说法正确的是( )
A.存在平面，使得且
B.存在平面，使得且
C.存在平面，使得，
D.存在平面，使得，
16．在中，，，平面，边，在平面上的射影长分别为6，8，则( )
A.边在上的射影长为 B.边在上的射影长为
C.B，C两点在平面的同一侧 D.B，C两点在平面的两侧
17．如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面，，O，P分别是AC，SC的中点，M是棱SD上的动点，则( )
A.
B.存在点M，使平面SBC
C.存在点M，使直线OM与AB所成的角为
D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值
18．已知,是不同平面,m,n,l是不同直线,则“”的充分条件是( )
A.,; B.,,;
C.,,; D.,,
19．设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若,,,,则
B.若,,,则
C.若m,n异面,,,,,则
D.若,,,则
20．下列命题中正确的是( )
A.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为
B.圆柱形容器底半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为
C.正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为
D.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为
参考答案
1．答案：AB
解析：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,所以点O为BD的中点,在△PBD中,因为点M是PB的中点,所以OM是的中位线,,平面PCD,平面PCD,平面PCD,故A正确;
平面PDA,平面PDA,平面PDA,故B正确;
因为MPB,平面PBC,平面PAB,所以OM与平面PAB,平面PBC相交,故CD错误;
故选:AB.
2．答案：ABD
解析：因为棱台是由平行棱锥底面的平面截得的,
所以棱台的两底面相似,侧面都是梯形,侧棱延长后都交于一点,
故选：ABD.
3．答案：ACD
解析：设弧所在圆的半径为R，弧所在圆的半径为，
因为弧的长度是弧长度的倍，，即，
，，，
所以弧的长度为，故A正确；
曲池的体积为，故B错误；
曲池的表面积为
，故C正确；
三棱锥的体积为，故D正确.
故选：ACD.
4．答案：BCD
解析：由题意,某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成,其可由正四面体切割而成,其棱长为1,
A中,该半正多面体的表面积为,所以A错误.
B中,如图所示,该半正多面体所在的正四面体中,可得正四面体的棱长为3,
取正四面体的下底面的中心为N,连接MN,则底面ABC,
在直角中,因为,,
所以,
即该半正多面体所在的正四面体的高为,体积为,
该半正多面体的体积为,所以B正确；
C中,该半正多面体外接球的球心即其所在正四面体的外接球的球心,
记球心为O,半径为R,的中心为,
连接OA,NA,OF,,由等边的边长为,可得,
又由底面正六边形AHKBCL的边长为1,可得,
在正四面体中,可得,所以,
设,因为,可得,
即,解得,即,
所以,故该半正多面体外接球的表面积为,
所以C正确.
D中,该半正多面体的展开图,如图所示,
则,,所以D正确.
故选：BCD.
5．答案：ACD
解析：对于选项A：由题可知：,
若存在某个位置使得,
由于,,平面,可得平面,
且平面,所以,
又因为,可得,
由于在折叠过程中,,所以存在某个位置,使得,
故存在某个位置,使得,故A正确;
对于选项B：若存在某个位置,使得平面,
由,平面,可知,,
因为,,
由可得,由可得,
因为与不能同时成立,所以平面不成立,故B错误;
对于选项C：若四棱锥体积的最大时,则平面平面,
由于是等腰直角三角形,可知此时点到平面的距离为,
所以四棱锥体积的最大值为,故C正确;
对于选项D：取中点O,连接,
由于M为线段的中点,则,为定值,
所以M在以点O为球心的球面上,故D正确.
故选：ACD.
6．答案：AD
解析：若,,则,故A正确;若,,,则m与n可能平行,故B错误;若,,则或,故C错误;过m作平面,又,所以,又m,n为异面直线,所以l与n相交,设,又,,,,,所以,故D正确.故选AD.
7．答案：BCD
解析：对于A，E、F分别是、的中点，与平行且相等，则，
与相交，与不可能平行，故A错误；
对于B，由题意，当平面平面时，连接，取的中点Q，连接，作图如下：
在长方形中，E、F分别是、的中点，且，
，，
，，
，且Q为的中点，，
平面平面，且平面平面，平面，
平面，，
，且平面，平面，
平面，，故B正确；
对于C，在选项B的图上，补全长方形，点为翻折之前的点B，取的中点O，连接，，作图如下：
显然平面，且，Q，O分别是，的中点，
，且，则，
由B选项可知平面，平面，，
，平面，平面，
平面，，平面，且平面，
平面，故为二面角的平面角，
易知为直角三角形，则，
在等腰中，，
则，故C正确；
对于D，在B选项图上，连接，，作图如下：
在长方形中，易知，
由选项B可知，平面，平面，，
由选项C可知，，同理可得，
在中，，则F为三棱锥外接球的球心，
故该外接球的表面积，故D正确.
故选：BCD.
8．答案：AC
解析：A选项:由题意可知,平面,根据线面平行的性质定理可知,,
同理可证,,所以四边形一定是平行四边形,故A正确.
B选项:由A可知,四边形是平行四边形,不妨设,当F为冲点时,
,,所以,故B不正确.
C选项:因为,,
由A可知,,所以,即,故C正确.
D选项:当点F与重合时,且点E与4重合（或,）时,直线BF在平面
内的射影为,此时,即为,所以四边形在侧面内的投影是一条线段或者是平行四边形,故D不正确.
9．答案：BC
解析：对于A,若,,则直线m,n可能相交或平行或异面,故A错误.
对于B,若,,则,故B正确.
对于C,若,,则或,故C正确.
对于D,若,m,n相交,则或n与相交,故D错误.
10．答案：AC
解析：若,则垂直于任一条平行于的直线,又,则,故A正确;
若,不能推出,故B错误;
若,则,,又,故,故C正确;
若,,则AB为内的一条直线,不一定对,故D错误.
11．答案：ABD
解析：对A，因为平面，且平面，
所以，
又因为为圆O的直径，且点C在圆O上，
所以，
又
所以平面
又平面
所以，故A正确；
对B，因为点O为线段中点，点M为线段中点
所以
又因为平面，且平面
所以平面，故B正确；
对C，若平面，则，又因为点O为线段中点，则，而题中并无条件说明，故C错误；
对D，由选项A的解题思路可知：平面，所以点B到平面的距离等于线段的长，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：BD
解析：异面直线的判定定理：“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线.”
根据异面直线的判定定理可知：在图②④中，直线、是异面直线；
在图①中，由G、M均为棱的中点可知：；
在图③中，G、M均为棱的中点，四边形为梯形，则与相交.
故选：BD.
13．答案：ABC
解析：对于选项A,当底面不是矩形的时候,直四棱柱非长方体,A错误;
对于选项B,根据棱柱的定义,显然不成立,如图,满足要求,但不是棱柱,B错误;
对于选项C,可以是两对称面是矩形的平行六面体,C错误;
D选项,正四棱柱是平行六面体,D正确.
故选：ABC.
14．答案：BD
解析：已知所有棱长都相等，不妨设为1.对于A：过S作直线，因为，所以，所以l为平面与平面的交线，取中点E，中点F，连接，，由正四棱锥，可得，，所以，，所以为二面角的平面角，连接，
在中，所以平面与平面不垂直，故A错误；对于B：取中点G，中点H，连接，，，因为，，又平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，所以当时，平面，这样的点P有无穷多，故B正确；对于C：由已知可知当Q在正方形各边中点时，与底面所成角最大，所以，所以不布存Q使得与底面成的角为，故C错误；对于D：作垂直于，连接，因为平面，又平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以，因为则为二面角的平面角，当都无限向点B靠拢时，；当，时，，所以二面角范围是，故D正确.故选：BD.
15．答案：ABD
解析：如下图，可知A、B、D都正确，而满足C的平面不存在.
故选：ABD.
16．答案：BD
解析：设B，C在平面上的射影分别为，，因为，，且边，在平面上的射影长分别为6，8，所以，.当B，C在的同一侧时，在上的射影，此时，A，C错误；当B，C在的两侧时，在上的射影，满足，B，D正确.
17．答案：ABD
解析：依题意可知AB，AD，AS两两相互垂直，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，，设，，，，所以，所以，A选项正确.
点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为，为定值，D选项正确.
易知，，，
设平面SBC的法向量为，则令，可得，又平面SBC，要使平面SBC，
则，
解得，所以存在点M，使平面SBC，B选项正确.
，
若直线OM与直线AB所成的角为，则
，
即，，无实数解，所以C选项错误.故选ABD.
18．答案：BC
解析：对于A,由,,则m,n可能相交,可能异面,可能平行,故A错误,
对于B,由线面平行的性质定理可知,,,则,B正确,
对于C,若,,,则,C正确,
对于D,若,,,则m,n异面或者平行,D错误,
故选:BC
19．答案：CD
解析：对于A：当且仅当m与n相交时,满足,故A错误;
对于B：若,,,则或,或n与相交,故B错误;
对于C：假设与不平行,即与相交,设,
若l与m、n不重合,由,,所以,又,,所以,所以,与m,n异面矛盾,故假设不成立,
若l与m、n中某一条直线重合,则直接可以得到,与m,n异面矛盾,故假设不成立,故C正确;
对于D：若,,则,又,所以,故D正确;
故选：CD.
20．答案：BCD
解析：对于A，截面小圆半径为1，则球半径，该球的表面积为，A错误；
对于B，设容器内水面下降的高度为h，则，解得，B正确；
对于C，正四棱台的高，体积为，C正确；
对于D，圆锥底面圆半径，则，解得，圆锥的高，
体积为，D正确.
故选：BCD.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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