浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
1．（2024高二上·杭州期末）抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·杭州期末）圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
3．（2024高二上·杭州期末）设平面内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面内存在一点D满足，则x的值为（ ）
A．0 B． C． D．
4．（2024高二上·杭州期末）已知△ABC的三个顶点分别为，，，则BC边上的中线长为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．（2024高二上·杭州期末）设是公差为d的等差数列，是其前n项和，且，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·杭州期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（ ）
A．1项 B．项 C．项 D．项
7．（2024高二上·杭州期末）若数列满足递推关系式，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·杭州期末）设双曲线的中心为O，右焦点为F，点B满足，若在双曲线的右支上存在一点A，使得，且，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高二上·杭州期末）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024高二上·杭州期末）已知等差数列的前项和为，正项等比数列的前项积为，则（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列是等差数列 D．数列是等比数列
11．（2024高二上·杭州期末）已知O为抛物线C：（）的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l过焦点F，则以MN为直径的圆与y轴相切
B．若直线l过焦点F，则
C．若M，N两点的纵坐标之积为，则直线l过定点
D．若，则直线l恒过点
12．（2024高二上·杭州期末）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
A．
B．若M为线段CQ上的一个动点，则的最小值为1
C．点F到直线CQ的距离是
D．异面直线CQ与所成角的正切值为
13．（2024高二上·杭州期末）已知，则 ．
14．（2024高二上·杭州期末）若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为 ．
15．（2024高二上·杭州期末）已知点P是抛物线上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为，则的最小值为 ．
16．（2024高二上·杭州期末）意大利著名数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo·Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为．记一个新的数列，其中的值为除以4得到的余数，则 ．
17．（2024高二上·杭州期末）已知函数，直线l：与x轴交于点A．
（1）求过点A的的切线方程；
（2）若点B在函数图象上，且在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．
18．（2024高二上·杭州期末）已知圆O：（）与圆C：有两个不同的交点D，E．
（1）求r的取值范围；
（2）若，求线段DE的长．
19．（2024高二上·杭州期末）已知数列是首项为正数的等差数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
20．（2024高二上·杭州期末）如图，在四棱锥中，底面四边形为正方形，且，，
（1）若与交于点，证明：平面；
（2）棱上的点满足，若，，求直线与平面所成角的正弦值．
21．（2024高二上·杭州期末）已知数列满足，且对任意正整数n都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，，（），若，求集合A中所有元素的和．
22．（2024高二上·杭州期末）已知焦点在x轴上的椭圆C：，长轴长为4，离心率为，左焦点为F．点M在椭圆内，且MF⊥x轴，过点M的直线与椭圆交于A、B两点（点B在点A右侧），直线AN、BN分别与椭圆相切且交于点N．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AF与直线BF的倾斜角互补，则M点与N点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解： 抛物线 焦点在y轴上，且，所以抛物线的准线方程为 .
故答案为：C.
【分析】根据抛物线标准方程，可求抛物线的准线方程.
2．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由，得，圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
故圆上的点到直线的距离的最小值为.
故答案为：A
【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，根据d-r即为所求的最大距离，求出d-r即可.
3．【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：空间四点共面，但任意三点不共线，
，解得：.
故选：C.
【分析】由空间向量共面定理构造方程，从而求得x的值.
4．【答案】B
【知识点】空间中两点间的距离公式；空间中的中点坐标公式
【解析】【解答】解：易知的中点为，又，
则边上的中线长为.
故答案为：B.
【分析】利用中点坐标公式与空间两点距离公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、由，得，则，
，故，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、d>0，为递增数列，， 故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据等差数列的通项公式和前n项求和公式，计算出，依次判断即可.
6．【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】解：由，可知
，共项，
共项，
故比共增加了项.
答案为：D.
【分析】分别写出和的表达式，作差即可.
7．【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由取倒数，得，
所以，又，
故数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则，得，
所以.
故答案为：A.
【分析】取倒数可得，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.
8．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设A在第一象限，
因为，所以A是以O为圆心，为半径的圆O与的交点，
设的左焦点为X，则，
，即，，
在圆O上上取一点C，使，则，
由双曲线的定义知（a是实半轴长），
即（c是半焦距），
由，得，
得，，
又因为双曲线的离心率为，所以，
又因为，所以.
故选：B.
【分析】利用得出A是以O为圆心，为半径的圆O与双曲线的交点，再根据已知条件结合双曲线的定义，从而得出，再结合一元二次不等式求解方法得出双曲线的离心率的取值范围.
9．【答案】B,C,D
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：A、，故A错；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用导数的定义依次判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：对于A，设的公差为，的公比为，
则，
所以是常数，故A正确；
对于B，因为是常数，故B正确；
对于C，因为不是常数，故C错误；
对于D，因为是常数，故D正确.
故选：ABD.
【分析】根据等差数列和等比数列的定义以及等差数列前项和公式和等比数列前n项和公式，从而判断出各选项，进而找出正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：
设，
A、中点即以为直径的圆的圆心横坐标为，
则由抛物线的定义可知，
所以梯形的中位线，
所以点到轴的距离为不等于半径，故A错误；
B、由抛物线的定义可知，，根据平行线的性质可得，
所以，同理可得，，即，故B正确；
C、由题意可知直线斜率不为，设直线方程为，
联立得，，
所以，
由解得，满足，
所以直线过定点，故C正确；
D、因为，所以由可得，所以①，
将，代入①得，满足，
所以直线过定点，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用抛物线的焦半径公式结合条件判断AB，设直线方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD即可.
12．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面内点到直线的距离公式；异面直线所成的角；空间向量基本定理
【解析】【解答】解：对于A，
因为，
所以，故A正确；
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，，，
对于B，因为为线段上的一个动点，设，，
则，
所以，
所以，当时，故B正确；
对于C：，，
所以，点到直线的距离为，故C错误；
对于D，因为，
所以，
所以，
即异面直线与所成角的正切值为，故D正确.
故选：ABD.
【分析】根据空间向量基本定理判断出选项A，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标表示和几何法求最值的方法判断出选项B；利用向量求模公式和数量积以及勾股定理得出点F到直线CQ的距离，从而判断出选项C；利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
13．【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由，
故答案为：.
【分析】利用复合函数求导函数方法即可.
14．【答案】3
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如图，设，
由，知，
即，整理得：，
所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的圆，所以点到距离的最大值是，
所以面积的最大值是.
故答案为：3.
【分析】建立直角坐标系，由求点的轨迹方程，再利用数形结合求面积的最大值.
15．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：
抛物线的焦点，准线方程为，过P做PM垂直于准线，M为垂足，
则，则为锐角，
故当最小时，最小，即当与抛物线相切时，最小。
设直线PA斜率为k，所以直线PA的方程为，与抛物线联立可解，
因为相切，所以方程只有一个实根，故，解得，，
不妨令，此时，，所以.
故答案为：.
【分析】过P做准线的垂线，则，让最小，结合图象知，当PA与抛物线相切时，最小，联立直线与抛物线方程，求出PA斜率k，进而可得的值.
16．【答案】2698
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：由题意可知，
斐波那契数列：每项被4除所得的余数构成数列，
可得数列的各项分别为，
即数列中各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，
所以，数列在一个周期内的和为，
因为，所以.
故填：.
【分析】根据题意结合周期函数的定义，从而得到数列中各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，再结合函数的周期性得出的值.
17．【答案】（1）解：设切点为，切线斜率，
∴切线方程为过点，则
，
∴或；
当时切线方程为；当时切线方程为
（2）解：，∴或．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）设切点，求出，利用导数的几何意义求出切线方程即可.
（2）由平行知，求出点的横坐标即可.
18．【答案】（1）解： 由于圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆C：（x-4）2+（y-3）2=9有两个不同的交点，
故|r-3|＜5＜r+3，
整理得：2＜r＜8，
即r∈（2，8）．
（2）解：∵，，，
∴△OCD形成直角三角形，
∴．
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）结合圆与圆的位置关系，两圆相交有，求解即可；
（2）易知为直角三角形，由可得，利用相似三角形的性质即可求解.
19．【答案】（1）解：（），
∴
（2）解：
∴．
【知识点】数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）已知求，求解即可；
（2）化简得，根据错位相减求解即可.
20．【答案】（1）证明：因为底面四边形为正方形，与交于点，
所以为中点，
又因为，，
所以，，
因为平面，
所以平面.
（2）解：由（1）可知两两垂直，
以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示坐标系，
，，，，
则，，，，
因为，所以，，
设平面的法向量，
则，
取，可得平面的一个法向量，
所以，直线与平面所成角的正弦值为：.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质和中点的性质以及等腰三角形三线合一，从而证出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直.
（2）由（1）可知两两垂直，从而以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量共线定理和两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用向量的坐标运算和数量积的坐标表示，从而得出直线的方向向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值．
（1）因为底面四边形为正方形，与交于点，
所以为中点，
又因为，，所以，，
因为平面，所以平面.
（2）由（1）可知两两垂直，
以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示坐标系，
，，，，
则，，，，
因为，所以，，
设平面的法向量，
则，取可得平面的一个法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值.
21．【答案】（1）解：由，知，
当时
，
时满足上式，
综上；
（2）解：，显然，当n为偶函数，
∴．
则，，…，满意题意
，
∴，，，，满足
∴A中所有元素和为．
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由题意知，利用累加法求解即可；
（2）求出，，由，得，，…，满足题意，得，，，，满足题意，从而求得答案.
22．【答案】（1）解：由 长轴长为4知 ，所以，由 离心率为知得 ，，
∴ 椭圆的方程 ．
（2）解：由（1）知椭圆方程为，，
易知过M点的直线存在斜率，设方程为：，联立直线和圆的方程，消去y整理得，．
展开整理可得，
设，由根与系数的关系得
因为直线AF与直线BF的倾斜角互补，
所以，
得，∴，
由，得，AN：，则
BN：，则，得
，
∴．
∵
∴，
∴为定值．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】(1)由椭圆的长轴和离心率即可求出a和c，然后求出b；
(2) 过点M的直线的斜率显然存在，可设为：，联立方程得，结合韦达定理代入，得，再由切线方程得到，整理得，即可求解.
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
1．（2024高二上·杭州期末）抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解： 抛物线 焦点在y轴上，且，所以抛物线的准线方程为 .
故答案为：C.
【分析】根据抛物线标准方程，可求抛物线的准线方程.
2．（2024高二上·杭州期末）圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由，得，圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
故圆上的点到直线的距离的最小值为.
故答案为：A
【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，根据d-r即为所求的最大距离，求出d-r即可.
3．（2024高二上·杭州期末）设平面内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面内存在一点D满足，则x的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：空间四点共面，但任意三点不共线，
，解得：.
故选：C.
【分析】由空间向量共面定理构造方程，从而求得x的值.
4．（2024高二上·杭州期末）已知△ABC的三个顶点分别为，，，则BC边上的中线长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】空间中两点间的距离公式；空间中的中点坐标公式
【解析】【解答】解：易知的中点为，又，
则边上的中线长为.
故答案为：B.
【分析】利用中点坐标公式与空间两点距离公式求解即可.
5．（2024高二上·杭州期末）设是公差为d的等差数列，是其前n项和，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、由，得，则，
，故，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、d>0，为递增数列，， 故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据等差数列的通项公式和前n项求和公式，计算出，依次判断即可.
6．（2024高二上·杭州期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（ ）
A．1项 B．项 C．项 D．项
【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】解：由，可知
，共项，
共项，
故比共增加了项.
答案为：D.
【分析】分别写出和的表达式，作差即可.
7．（2024高二上·杭州期末）若数列满足递推关系式，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由取倒数，得，
所以，又，
故数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则，得，
所以.
故答案为：A.
【分析】取倒数可得，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.
8．（2024高二上·杭州期末）设双曲线的中心为O，右焦点为F，点B满足，若在双曲线的右支上存在一点A，使得，且，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设A在第一象限，
因为，所以A是以O为圆心，为半径的圆O与的交点，
设的左焦点为X，则，
，即，，
在圆O上上取一点C，使，则，
由双曲线的定义知（a是实半轴长），
即（c是半焦距），
由，得，
得，，
又因为双曲线的离心率为，所以，
又因为，所以.
故选：B.
【分析】利用得出A是以O为圆心，为半径的圆O与双曲线的交点，再根据已知条件结合双曲线的定义，从而得出，再结合一元二次不等式求解方法得出双曲线的离心率的取值范围.
9．（2024高二上·杭州期末）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B,C,D
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：A、，故A错；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用导数的定义依次判断即可.
10．（2024高二上·杭州期末）已知等差数列的前项和为，正项等比数列的前项积为，则（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列是等差数列 D．数列是等比数列
【答案】A,B,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：对于A，设的公差为，的公比为，
则，
所以是常数，故A正确；
对于B，因为是常数，故B正确；
对于C，因为不是常数，故C错误；
对于D，因为是常数，故D正确.
故选：ABD.
【分析】根据等差数列和等比数列的定义以及等差数列前项和公式和等比数列前n项和公式，从而判断出各选项，进而找出正确的选项.
11．（2024高二上·杭州期末）已知O为抛物线C：（）的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l过焦点F，则以MN为直径的圆与y轴相切
B．若直线l过焦点F，则
C．若M，N两点的纵坐标之积为，则直线l过定点
D．若，则直线l恒过点
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：
设，
A、中点即以为直径的圆的圆心横坐标为，
则由抛物线的定义可知，
所以梯形的中位线，
所以点到轴的距离为不等于半径，故A错误；
B、由抛物线的定义可知，，根据平行线的性质可得，
所以，同理可得，，即，故B正确；
C、由题意可知直线斜率不为，设直线方程为，
联立得，，
所以，
由解得，满足，
所以直线过定点，故C正确；
D、因为，所以由可得，所以①，
将，代入①得，满足，
所以直线过定点，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用抛物线的焦半径公式结合条件判断AB，设直线方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD即可.
12．（2024高二上·杭州期末）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
A．
B．若M为线段CQ上的一个动点，则的最小值为1
C．点F到直线CQ的距离是
D．异面直线CQ与所成角的正切值为
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面内点到直线的距离公式；异面直线所成的角；空间向量基本定理
【解析】【解答】解：对于A，
因为，
所以，故A正确；
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，，，
对于B，因为为线段上的一个动点，设，，
则，
所以，
所以，当时，故B正确；
对于C：，，
所以，点到直线的距离为，故C错误；
对于D，因为，
所以，
所以，
即异面直线与所成角的正切值为，故D正确.
故选：ABD.
【分析】根据空间向量基本定理判断出选项A，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标表示和几何法求最值的方法判断出选项B；利用向量求模公式和数量积以及勾股定理得出点F到直线CQ的距离，从而判断出选项C；利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
13．（2024高二上·杭州期末）已知，则 ．
【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由，
故答案为：.
【分析】利用复合函数求导函数方法即可.
14．（2024高二上·杭州期末）若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为 ．
【答案】3
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如图，设，
由，知，
即，整理得：，
所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的圆，所以点到距离的最大值是，
所以面积的最大值是.
故答案为：3.
【分析】建立直角坐标系，由求点的轨迹方程，再利用数形结合求面积的最大值.
15．（2024高二上·杭州期末）已知点P是抛物线上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：
抛物线的焦点，准线方程为，过P做PM垂直于准线，M为垂足，
则，则为锐角，
故当最小时，最小，即当与抛物线相切时，最小。
设直线PA斜率为k，所以直线PA的方程为，与抛物线联立可解，
因为相切，所以方程只有一个实根，故，解得，，
不妨令，此时，，所以.
故答案为：.
【分析】过P做准线的垂线，则，让最小，结合图象知，当PA与抛物线相切时，最小，联立直线与抛物线方程，求出PA斜率k，进而可得的值.
16．（2024高二上·杭州期末）意大利著名数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo·Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为．记一个新的数列，其中的值为除以4得到的余数，则 ．
【答案】2698
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：由题意可知，
斐波那契数列：每项被4除所得的余数构成数列，
可得数列的各项分别为，
即数列中各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，
所以，数列在一个周期内的和为，
因为，所以.
故填：.
【分析】根据题意结合周期函数的定义，从而得到数列中各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，再结合函数的周期性得出的值.
17．（2024高二上·杭州期末）已知函数，直线l：与x轴交于点A．
（1）求过点A的的切线方程；
（2）若点B在函数图象上，且在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．
【答案】（1）解：设切点为，切线斜率，
∴切线方程为过点，则
，
∴或；
当时切线方程为；当时切线方程为
（2）解：，∴或．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）设切点，求出，利用导数的几何意义求出切线方程即可.
（2）由平行知，求出点的横坐标即可.
18．（2024高二上·杭州期末）已知圆O：（）与圆C：有两个不同的交点D，E．
（1）求r的取值范围；
（2）若，求线段DE的长．
【答案】（1）解： 由于圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆C：（x-4）2+（y-3）2=9有两个不同的交点，
故|r-3|＜5＜r+3，
整理得：2＜r＜8，
即r∈（2，8）．
（2）解：∵，，，
∴△OCD形成直角三角形，
∴．
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）结合圆与圆的位置关系，两圆相交有，求解即可；
（2）易知为直角三角形，由可得，利用相似三角形的性质即可求解.
19．（2024高二上·杭州期末）已知数列是首项为正数的等差数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：（），
∴
（2）解：
∴．
【知识点】数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）已知求，求解即可；
（2）化简得，根据错位相减求解即可.
20．（2024高二上·杭州期末）如图，在四棱锥中，底面四边形为正方形，且，，
（1）若与交于点，证明：平面；
（2）棱上的点满足，若，，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为底面四边形为正方形，与交于点，
所以为中点，
又因为，，
所以，，
因为平面，
所以平面.
（2）解：由（1）可知两两垂直，
以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示坐标系，
，，，，
则，，，，
因为，所以，，
设平面的法向量，
则，
取，可得平面的一个法向量，
所以，直线与平面所成角的正弦值为：.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质和中点的性质以及等腰三角形三线合一，从而证出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直.
（2）由（1）可知两两垂直，从而以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量共线定理和两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用向量的坐标运算和数量积的坐标表示，从而得出直线的方向向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值．
（1）因为底面四边形为正方形，与交于点，
所以为中点，
又因为，，所以，，
因为平面，所以平面.
（2）由（1）可知两两垂直，
以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示坐标系，
，，，，
则，，，，
因为，所以，，
设平面的法向量，
则，取可得平面的一个法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值.
21．（2024高二上·杭州期末）已知数列满足，且对任意正整数n都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，，（），若，求集合A中所有元素的和．
【答案】（1）解：由，知，
当时
，
时满足上式，
综上；
（2）解：，显然，当n为偶函数，
∴．
则，，…，满意题意
，
∴，，，，满足
∴A中所有元素和为．
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由题意知，利用累加法求解即可；
（2）求出，，由，得，，…，满足题意，得，，，，满足题意，从而求得答案.
22．（2024高二上·杭州期末）已知焦点在x轴上的椭圆C：，长轴长为4，离心率为，左焦点为F．点M在椭圆内，且MF⊥x轴，过点M的直线与椭圆交于A、B两点（点B在点A右侧），直线AN、BN分别与椭圆相切且交于点N．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AF与直线BF的倾斜角互补，则M点与N点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）解：由 长轴长为4知 ，所以，由 离心率为知得 ，，
∴ 椭圆的方程 ．
（2）解：由（1）知椭圆方程为，，
易知过M点的直线存在斜率，设方程为：，联立直线和圆的方程，消去y整理得，．
展开整理可得，
设，由根与系数的关系得
因为直线AF与直线BF的倾斜角互补，
所以，
得，∴，
由，得，AN：，则
BN：，则，得
，
∴．
∵
∴，
∴为定值．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】(1)由椭圆的长轴和离心率即可求出a和c，然后求出b；
(2) 过点M的直线的斜率显然存在，可设为：，联立方程得，结合韦达定理代入，得，再由切线方程得到，整理得，即可求解.
