青岛十九中2024-2025学年度第一学期期中模块检测
高三数学试题
2024.11
说明：1.本试卷分第I卷和第II卷.满分150分.答题时间120分钟.
2.请将第I卷题目的答案选出后用2B铅笔涂在答题纸对应题目的代号上；第II卷用黑色签字笔将正确答案写在答题纸对应的位置上，答在试卷上作废.
第I卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
2.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
4.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中，若，平面将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（ ）
A. B. C. D.
5.在中，，，，P为所在平面内的动点，且.则的最大值为（ ）
A.12 B. C. D.
6.已知函数，若对于任意实数k，总存在实数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，则球O的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法错误的是（ ）
A.的图象关于点对称
B.的图象关于直线对称
C.的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D.若方程在上有且只有两个极值点，则t的最大值为
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列不等式恒成立的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
10.已知向量，，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.的最大值为6 D.若，则
11.如图，正方体棱长为2，P，Q分别是棱，棱BC的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列结论正确的是（ ）
A.沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B.过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面面积为
C.当时，点M的轨迹长度为
D.保持PM与垂直时，点M的运动轨迹长度为
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知角的终边上一点，且，则________.
13.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足，则________.
14.设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P.现有四组函数：①，；②，；③，；④，.其中具有性质P的是________.（写出所有满足条件的函数的序号）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）设函数
（1）求函数的最小正周期，并解不等式；
（2）先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向左平移个单位；最后向下平移个单位得到函数的图象.若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
16.（15分）如图，在三棱锥中，为P在平面ABC内的射影点，已知，，，，.
（1）请以、为基底表示，并证明.
（2）求证平面PAC.
17.（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.且满足.
（1）求角C的大小；
（2）若的面积，内切圆的半径为，求c；
（3）若的平分线交AB于D，且，求的面积S的最小值.
18.（17分）如图，PD垂直于梯形ABCD所在平面，，F为PA的中点，，，四边形PDCE为矩形.
（1）求证：平面DEF；
（2）求平面ABCD与平面BCP的夹角的余弦值；
（3）求点F到平面BCP的距离.
19.（17分）凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如，等.记为的导数.现有如下定理：在区间I上为凸函数的充要条件为.
（1）证明：函数为上的凸函数；
（2）已知函数.
①若为上的凸函数，求a的最小值；
②在①的条件下，当a取最小值时，证明：，在上恒成立.
青岛十九中2024-2025学年度第一学期期中模块检测
高三数学试题答案
一、单项选择题 1-5 DABBC 6-8 DAC
二、多项选择题 9. ABD 10. ACD 11. CD
三、填空题 12. 13. 14.①③
四、解答题
15.（1）由可得
令，则，
故，，解得，.
故不等式的解为；
（2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；
可得，再向左平移个单位，可得；
最后向下平移个单位得到函数，
当，由于在单调递增，
故，所以，
由于，故，即.
16.（1）如图：中：延长到，使；
延长到，使.
因为，所以，
所以点为的重心.所以
所以.
又因为
即.
因为
.
所以.
（2）如图：
因为平面ABC，平面ABC，所以；
又，，平面，，所以平面，
又平面，所以.
又因为，
所以，
所以；
在中，，，所以.
又，
所以，
所以.
在中，，，所以.
在中，，，，
因为，所以.
又平面PAC，，所以平面PAC.
17.（1）由，
可得，
所以，即，
因，则.
（2）由等面积法可得：，即：，
所以①，②，
在中，由余弦定理得，
即③，
由①②③解得：；
（3）如图，因CD平分，故，
在中，设，则，
在中，由正弦定理，得，则，
在中，由正弦定理，得，则，
得，故有（*）.
在中，由正弦定理，得，则，
得代入（*）式，可得，即.
由基本不等式，得，解得，当且仅当时取“”.
于是，.即的面积的最小值为.
18.【详解】（1）令，连接FG，
由四边形PDCE为矩形，得为PC中点，又为PA中点，则，
又平面DEF，平面DEF；所以平面DEF.
（2）由PD垂直于梯形ABCD所在平面，，得直线DA，DC，DP两两垂直，
以为坐标原点，直线DA，DC，DP分別为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面BCP的法向量，则，
令，得，由轴平面ABCD，得平面ABCD的法向量，
则，
所以平面ABCD与平面BCP的夹角的余弦值为.
（3）由（2）知：，则，
而平面BCP的法向量，
所以点到平面BCP的距离.
19.（1）因为，则，
因为，又，所以，
故在区间上恒成立，
即函数为上的凸函数.
（2）①因为，所以，，由题知在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，则在区间上恒成立，
令，对称轴为，所以当时，取到最大值，最大值为1，
所以，得到，所以的最小值为.
②由（1）知，
令，
则，
令，
则在区间恒成立，
当且仅当时取等号，
所以在区间上单调递增，得到，
当且仅当时取等号，即在区间恒成立，
当且仅当时取等号，即在区间上单调递增，
所以，
令，令，得到，
则在区间上恒成立，
即在区间上单调递减，所以，
即当，，
当且仅当时取等号，所以，在上恒成立.
