浙教版2024-2025学年度九年级第一学期期末模拟卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“文明交通”“垃圾分类”两个宣传队，若小明和小亮每人随机选择参加其中一个宣传队，则他们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上的两点且位于直径AB的两侧．若∠D＝24°，则∠ABC的度数为（ ）
A．66° B．64° C．56° D．54°
4．（3分）关于二次函数y＝2（x+2）2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数的最大值是5
D．当x≥1时，y随x的增大而增大
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，把Rt△ABC绕着点A逆时针旋转，使点C落在AB边的C′上，C′B的长度是（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．（3分）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），AB＝4，则线段BC的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，飞云江五桥外边沿（AB）呈圆弧状，已知弦AB＝80m，弓形的高度CD＝20m，则该桥的外边沿所在圆的半径长为（ ）
A．60m B．50m C．40m D．30m
9．（3分）如图，点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使BD＝BF，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下五个结论中：①OH∥BF；②；③；④∠CHF＝2∠EBC；⑤CH2＝HE HB，正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b﹣a＞c；④若B（，y1），C（，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）一个不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出2个球，摸出两个颜色不同的小球的概率为 ．
12．（3分）如果，则△ABC的形状是 ．
13．（3分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，若AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝1.5m，BP＝2m，PD＝6m，则该古城墙的高度CD是 m．
14．（3分）如图，正八边形ABCDEFGH和正六边形GHIJKL的边长均为6，以顶点H为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 .（结果保留π）
15．（3分）如图1是某地公园的一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝24米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝ 米．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③△GDE∽BEF；④S△BEF．在以上4个结论中，其中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE．
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）若AC＝8，CE＝6，求BD的长度．
18．（6分）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8，CD＝24，求⊙O的直径．
19．（8分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是 ．
（2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．
20．（8分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，已知托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝40mm，托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．
（1）若∠DCB＝90°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，保持∠DCB＝90°，在（1）的情况下，将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．
21．（10分）某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，
①该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
②能否获得比150更大的利润？如果能请求出最大利润，如果不能请说明理由．
22．（10分）喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．如图2，将喷灌架置于坡度为1：5的坡地底部点O处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷水头的水平距离为20米时，达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9米．
（1）求图2中抛物线表达式；
（2）当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度AB的长；
（3）若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为3.5米，求水流与喷水头的水平距离．
23．（12分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，DA⊥CA，且DA＝BC，点E从点C出发，以1cm/s的速度沿射线CA移动，以DE为直径作⊙O，交射线BA于点F，连接EF、DF，过点E作EG⊥EF交⊙O于G点，连接DG．
（1）求证：△EDG∽△ABC；
（2）设E点的运动时间为t，当⊙O与射线BA相切时，求t的值；
（3）当⊙O与射线BA相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，求点G移动的路线长．
24．（12分）天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP＝CQ；
（2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，CQ＝2，求正方形ADBC的边长．
浙教版2024-2025学年度九年级第一学期期末模拟卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据比例的性质的xy，代入所求的式子计算即可．
【解答】解：∵，
∴xy，
∴．
故选：A．
2．（3分）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“文明交通”“垃圾分类”两个宣传队，若小明和小亮每人随机选择参加其中一个宣传队，则他们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】列表可得出所有等可能的结果数以及他们恰好选到同一个宣传队的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将“文明交通”“垃圾分类”两个宣传队分别记为A，B，
列表如下：
A B
A （A，A） （A，B）
B （B，A） （B，B）
共有4种等可能的结果，其中他们恰好选到同一个宣传队的结果有2种，
∴他们恰好选到同一个宣传队的概率为．
故选：C．
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上的两点且位于直径AB的两侧．若∠D＝24°，则∠ABC的度数为（ ）
A．66° B．64° C．56° D．54°
【思路点拔】根据圆周角定理求出∠A的度数，从而求出∠ABC的度数即可．
【解答】解：∵∠D＝24°，
∴∠A＝24°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣24°＝66°．
故选：A．
4．（3分）关于二次函数y＝2（x+2）2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数的最大值是5
D．当x≥1时，y随x的增大而增大
【思路点拔】依据题意，由二次函数为y＝2（x+2）2+5，从而抛物线开口向上，顶点为（﹣2，5），函数的最小值为5，当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，进而可以逐个判断得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝2（x+2）2+5，
∴抛物线开口向上，顶点为（﹣2，5），函数的最小值为5，当x≥﹣2时，y随x的增大而增大．
综上，A、B、C均不正确，D正确．
故答案为：D．
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】先利用正弦定义得到sinB，则可设AC＝3x，AB＝5x，利用勾股定理计算出BC＝4x，然后根据正切的定义求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB，
∴设AC＝3x，AB＝5x，
∴BC4x，
∴tanA．
故选：A．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，把Rt△ABC绕着点A逆时针旋转，使点C落在AB边的C′上，C′B的长度是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【思路点拔】由勾股定理可求AB＝5，由旋转的性质可得AC＝AC'＝4，即可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB5，
∵把Rt△ABC绕着点A逆时针旋转，
∴AC＝AC'＝4，
∴BC'＝1，
故选：A．
7．（3分）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），AB＝4，则线段BC的大小是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．即可求解．
【解答】解：设线段BC的长为x，则AC＝4﹣x，
根据黄金分割定义，得
（4﹣x）2＝4x，
解得，x1＝6﹣2，x2＝6+2（不符合题意，舍去），
所以BC＝6﹣2．
故选：D．
8．（3分）如图，飞云江五桥外边沿（AB）呈圆弧状，已知弦AB＝80m，弓形的高度CD＝20m，则该桥的外边沿所在圆的半径长为（ ）
A．60m B．50m C．40m D．30m
【思路点拔】设圆弧圆心为O，连接OA，OC，根据垂径定理，勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，设圆弧圆心为O，连接OA，OC，
∵CD是弓形的高，
∴AC＝BCAB＝40m，∠ACD＝∠ACO＝90°，
∴OA＝OD，
∴OC＝OD﹣CD＝（OA﹣20）m，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：
OA2＝AC2+OC2，
∴OA2＝402+（OA﹣20）2，
∴OA＝50，
∴该桥的外边沿所在圆的半径长为50m．
故选：B．
9．（3分）如图，点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使BD＝BF，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下五个结论中：①OH∥BF；②；③；④∠CHF＝2∠EBC；⑤CH2＝HE HB，正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【思路点拔】只要证明OH是△DBF的中位线即可对①作出判断；根据OH是△BFD的中位线，得出可对②作出判断；由②的结论和OG的值，可对③作出判断；证明∠EBC＝∠EDH，由直角三角形的性质可得DH＝CH，可对④作出判断；证明△HEC∽△HCB，则HC：HB＝HE：HC，即CH2＝HE HB，即可对⑤作出判断．
【解答】解：①∵BD＝BF，BE平分∠DBC，
∴DH＝HF，BH⊥DF，
∵OD＝OB，
∴OH是△DBF的中位线，
∴OH∥BF，故①正确；
②∵点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BD＝BF，
∴．
由三角形中位线定理知，，
∴，故②正确；
③∵，
∴，故③错误；
④∵∠BCE＝∠BHD＝90°，∠BEC＝∠DEH，
∴∠EBC＝∠EDH，
∵OH是△DBF的中位线，CD⊥BF，
∴DH＝CH，
∴∠CDH＝∠DCH，
∴∠CHF＝∠DCH+∠CDH＝2∠EBC，故④正确；
⑤∵∠ECH＝∠CBH，∠CHE＝∠CHB，
∴△HEC∽△HCB，
∴CH：HB＝HE：CH，即CH2＝HE HB，故⑤正确．
正确的结论共有4个，
故选：B．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b﹣a＞c；④若B（，y1），C（，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，
故②正确；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴b﹣a＞c，
故③正确；
④∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，且1﹣（）1，
∴y1＜y2，
故④不正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），
故⑤正确．
故②③⑤正确．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）一个不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出2个球，摸出两个颜色不同的小球的概率为 ．
【思路点拔】用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，
∴摸出两个颜色不同的小球的概率为，
故答案为：．
12．（3分）如果，则△ABC的形状是 等边三角形 ．
【思路点拔】根据特殊角的三角函数值以及非负数的性质求解．
【解答】解：由题意得，cosA，tanB，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
则∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故△ABC为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
13．（3分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，若AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝1.5m，BP＝2m，PD＝6m，则该古城墙的高度CD是 4.5 m．
【思路点拔】根据题意可得∠APB＝∠CPD，根据垂直定义可得∠ABD＝∠CDB＝90°，从而可证△ABP∽△CDP，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴，
∴，
∴CD＝4.5，
∴该古城墙的高度CD是4.5m，
故答案为：4.5．
14．（3分）如图，正八边形ABCDEFGH和正六边形GHIJKL的边长均为6，以顶点H为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 .（结果保留π）
【思路点拔】根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，六边形GHIJKL是正六边形，
∴∠AHG135°，∠IHG120°，
∴∠AHI＝360°﹣135°﹣120°＝105°，
∴S阴影部分．
故答案为：．
15．（3分）如图1是某地公园的一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝24米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝ 16 米．
【思路点拔】依据题意，根据正常水位时水面宽AB＝24米，求出当x＝12时y＝﹣9，再根据水位上升5米时y＝﹣4，代入解析式求出x即可．
【解答】解：∵AB＝24米，
∴当x＝12时，y122＝﹣9．
当水位上升5米时，y＝﹣4，
把y＝﹣4代入得，﹣4x2，
解得x＝±8，
此时水面宽CD＝16米．
故答案为：16．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③△GDE∽BEF；④S△BEF．在以上4个结论中，其中一定成立的是 ①②④ （把所有正确结论的序号都填在横线上）
【思路点拔】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB＝GA+GB＝12，EB＝EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG＝4，BG＝8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的．
【解答】解：由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x，
由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2，
即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2，
解得：x＝4
∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，②正确；
BE＝EF＝6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；
S△GBE6×8＝24，S△BEF S△GBE24，④正确；
故答案为：①，②，④．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE．
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）若AC＝8，CE＝6，求BD的长度．
【思路点拔】（1）由等腰三角形等边对等角及等角的补角相等，可得∠ABD＝∠ACE，再由已知即可证明△ABD∽△ECA；
（2）由（1）中相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠D＝∠CAE，
∴△ABD∽△ECA；
（2）解：∵△ABD∽△ECA，
∴，
∵AB＝AC＝8，
∴．
18．（6分）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8，CD＝24，求⊙O的直径．
【思路点拔】（1）先利用垂径定理得到，再利用圆周角定理得到∠A＝∠BCD，而∠A＝∠ACO，所以∠ACO＝∠BCD；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣BE＝r﹣8，利用垂径定理得到CE＝DE＝12，再利用勾股定理得到在122+（r﹣8）2＝r2，然后解方程求出r从而得到⊙O的面积．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，
∴，
∴∠A＝∠BCD，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣BE＝r﹣8，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DECD24＝12，
在Rt△OCE中，122+（r﹣8）2＝r2，解得r＝13，
∴⊙O的直径＝2r＝26．
19．（8分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是 ．
（2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．
【思路点拔】（1）根据概率公式解答；
（2）列树状图解答．
【解答】解：（1）一共有三种可能，P（抽到“清明”）；
（2）列树状图：
P（至少一张雨水）．
20．（8分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，已知托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝40mm，托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．
（1）若∠DCB＝90°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，保持∠DCB＝90°，在（1）的情况下，将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．
【思路点拔】（1）延长AB交直线DE于点F，过点A作AM⊥直线DE于点M，在Rt△CDF中，利用三角形内角和定理、30度角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理可求出DF和CF的长，进而可求出AF的长，由∠DCF＝∠AMF＝90°，∠CFD＝∠MFA可得出△CDF∽△MAF，再利用相似三角形的性质可求出AM的长；
（2）在Rt△BCD中，利用勾股定理可求出BD的长，进而可得出BD＝2BC，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半可得出∠CDB＝30°，再结合（2）中∠CDE的度数即可求出CD旋转的角度．
【解答】解：（1）延长AB交直线DE于点F，过点A作AM⊥直线DE于点M，如图3所示.
在Rt△CDF中，∠DCF＝90°，∠CDF＝60°，CD＝40mm，
∴∠CFD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴DF＝2CD＝80（mm），
∴CF120（mm），
∴AF＝AC+CF＝80+120＝200（mm）．
∵∠DCF＝∠AMF＝90°，∠CFD＝∠MFA，
∴△CDF∽△MAF，
∴，即，
∴AM＝100（mm），
∴若∠DCB＝90°，∠CDE＝60°，点A到直线DE的距离为100mm．
（2）依题意画出图形，如图4所示．
在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝40mm，CD＝40mm，
∴BD80（mm），
∵BD＝2BC，
∴∠CDB＝30°，
∴CD旋转的角度＝60°﹣30°＝30°．
21．（10分）某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，
①该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
②能否获得比150更大的利润？如果能请求出最大利润，如果不能请说明理由．
【思路点拔】根据等量关系销售利润＝销售价×销售量﹣成本价×销售量，求出函数关系式．代入y＝150时就能求出销售价，根据x的取值范围判断能否获得更大利润．
【解答】解：（1）y＝（﹣2x+80）x﹣20（﹣2x+80），
y＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）当y＝150时，
150＝﹣2x2+120x﹣1600，
x＝25或x＝35（舍去），
y＝﹣2x2+120x﹣1600，
y＝﹣2（x﹣30）2+200，
当x＝28时，能取得最大值为192．
22．（10分）喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．如图2，将喷灌架置于坡度为1：5的坡地底部点O处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷水头的水平距离为20米时，达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9米．
（1）求图2中抛物线表达式；
（2）当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度AB的长；
（3）若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为3.5米，求水流与喷水头的水平距离．
【思路点拔】（1）根据待定系数法即可求出图2中抛物线表达式；
（2）求出点B与过点O的水平面的距离BC，根据AB＝AC﹣BC即可求出水流与坡面之间铅直高度AB的长；
（3）设水流与喷水头的水平距离为a米，用a表示出喷射出的水流与坡面之间的铅直高度列方程解出即可．
【解答】解：（1）由题意，得抛物线的顶点为（20，9），
∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+9，
其图象过点（0，1），
∴1＝a（0﹣20）2+9，
解得a，
故图2中抛物线表达式为y（x﹣20）2+9；
（2）设AB的延长线交x轴于点C，如图，
∵坡度为1：5，OC＝20米，
∴BC＝4米，
∴AB＝AC﹣BC＝9﹣4＝5（米），
答：水流与坡面之间铅直高度AB的长为5米；
（3）设水流与喷水头的水平距离为a米，
根据题意，得（a﹣20）2+9a＝3.5，
解得a1＝5，a2＝25，
答：水流与喷水头的水平距离为5米或25米．
23．（12分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，DA⊥CA，且DA＝BC，点E从点C出发，以1cm/s的速度沿射线CA移动，以DE为直径作⊙O，交射线BA于点F，连接EF、DF，过点E作EG⊥EF交⊙O于G点，连接DG．
（1）求证：△EDG∽△ABC；
（2）设E点的运动时间为t，当⊙O与射线BA相切时，求t的值；
（3）当⊙O与射线BA相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，求点G移动的路线长．
【思路点拔】（1）由ED是直径知∠DFE＝∠DGE＝90°，结合∠EDF＝∠A＝30°知∠FED＝60°，由EG⊥EF知∠DEG＝30°，据此可得证；
（2）当OA⊥AB时，⊙O与AB相切，此时∠OAD＝∠ODA＝30°，由∠DAE＝90°，DA＝2知AE，根据CE＝AC+AE可得答案；
（3）连接AG，由（1）可得∠EDG＝60°，∠EAG＝120°，据此知点G的运动路线是一条线段，即（2）中的线段AG，再据此求解可得．
【解答】解：（1）如图1，
∵∠A＝30°，
∴∠EDF＝∠A＝30°，
∵ED是直径，
∴∠DFE＝∠DGE＝90°，
∴∠FED＝60°，
∵EG⊥EF，
∴∠DEG＝30°，
在△ABC和△EDG中，
∵∠DEG＝∠BAC，∠DGE＝∠C，
∴△EDG∽△ABC；
（2）如图2，当OA⊥AB时，⊙O与AB相切，此时∠OAD＝∠ODA＝30°，
∵∠DAE＝90°，DA＝2，
∴AE，
∴CE＝AC+AE，
则t；
（3）如图3，连接AG，
由（1）可得∠EDG＝60°，
∴∠EAG＝120°，
∴点G的运动路线是一条线段，即（2）中的线段AG，
∴路线长AG．
24．（12分）天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP＝CQ；
（2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，CQ＝2，求正方形ADBC的边长．
【思路点拔】（1）问题发现易证AB＝AC，AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ，由SAS证得△BAP≌△CAQ，即可得出结论；
（2）变式探究由等腰三角形的性质得出∠BAC（180°﹣∠ABC），∠PAQ（180°﹣∠APQ），由∠APQ＝∠ABC，得出∠BAC＝∠PAQ，证得△BAC∽△PAQ，得出，易证∠BAP＝∠CAQ，则△BAP∽△CAQ，得出∠ABC＝∠ACQ；
（3）解决问题连接AB、AQ，由正方形的性质得出，∠BAC＝45°，，∠PAQ＝45°，易证∠BAP＝∠CAQ，由，得出△ABP∽△ACQ，则，求出BPCQ＝4，设PC＝x，则BC＝AC＝4+x，在Rt△APC中，AP2＝AC2+PC2，代入求出x＝﹣2，即可得出结果．
【解答】（1）问题发现：
证明：∵△ABC与△APQ都是等边三角形，
∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴BP＝CQ；
（2）变式探究：
解：∠ABC和∠ACQ的数量关系为：∠ABC＝∠ACQ；理由如下：
∵在等腰△ABC中，AB＝BC，
∴∠BAC（180°﹣∠ABC），
∵在等腰△APQ中，AP＝PQ，
∴∠PAQ（180°﹣∠APQ），
∵∠APQ＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠PAQ，
∴△BAC∽△PAQ，
∴，
∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∴△BAP∽△CAQ，
∴∠ABC＝∠ACQ；
（3）解决问题：
解：连接AB、AQ，如图3所示：
∵四边形ADBC是正方形，
∴，∠BAC＝45°，
∵Q是正方形APEF的中心，
∴，∠PAQ＝45°，
∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∵，
∴△ABP∽△ACQ，
∴，
∵CQ＝2，
∴BPCQ＝4，
设PC＝x，则BC＝AC＝4+x，
在Rt△APC中，AP2＝AC2+PC2，
即62＝（4+x）2+x2，
解得：x＝﹣2±，
∵x＞0，
∴x＝﹣2，
∴正方形ADBC的边长＝4+x＝4﹣22．
