2024-2025学年青海省西宁十四中高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
4.某学校对名学生的身高进行统计，得到各身高段的人数并整理如下表：
身高
频数
根据表中数据，下列结论中正确的是( )
A. 名学生身高的中位数小于
B. 名学生中身高低于的学生所占比例超过
C. 名学生身高的极差介于至之间
D. 名学生身高的平均值介于至之间
5.已知函数在区间单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若且，则( )
A. B. C. D.
7.南宋数学家杨辉在详解九章算法商功一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，，设第层有个球，则的值为( )
A. B. C. D.
8.定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于的方程恰有个实数解，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 已知，，则
B. 若，，则
C. 函数，，只有一个零点
D. 不等式的解集为
10.已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是( )
A. 与直线垂直
B. 的倾斜角等于
C. 在轴上的截距为
D. 圆上存在两个点到直线的距离等于
11.已知命题：，；命题，则( )
A. 是真命题 B. 是真命题 C. 是真命题 D. 是真命题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则数列的通项公式为 ______．
13.对于随机事件，，若，，，则 ______．
14.在中国古代数学著作九章算术中，鳖懦是指四个面都是直角三角形的四面体如图，在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，的面积为，求边的大小．
16.本小题分
如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点．
求证：平面；
求平面与直线所成角的正弦值．
17.本小题分
已知动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．
求曲线的标准方程；
设点，若曲线上两点，均在轴上方，且，，求直线的斜率．
18.本小题分
在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立．
若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
求甲获得第四名的概率；
求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求的单调区间；
Ⅲ若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，根据正弦定理可得．
，．
，，又，，
又，．
的面积为，
，即，解得．
由余弦定理，得，．
16.解：证明：连接，因为，，
所以又因为，所以四边形为平行四边形，
又因为点，分别为，的中点，所以且，
因为，，所以且，
又因为点分别为的中点，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
因为平面，，平面，
所以，，
又，故以点为原点，分别以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
如图：
因为，
所以，，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，则，即，
取，则，，所以．
设平面与直线所成角，
则，
所以与直线所成角的正弦值为．
17.解：由题意，，
整理化简得，，
所以曲线的标准方程为．
由题意，直线，的斜率都存在，设，
则直线的方程为，
分别延长，交曲线于点，，
设，，
联立，消去整理得，
则，，
根据对称性，可得，
则
，
即，解得，
所以直线的斜率为．
18.解：若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
记“甲获得第四名”为事件，则；
记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量，
则的所有可能取值为，，，
连败两局：，
可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；
，
，
故的分布列如下：
故数学期望，
则甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望为；
除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军，
“双败淘汰制”下，甲获胜的概率，
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为，
由，且，
所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，两种赛制甲夺冠的概率一样．
19.Ⅰ解：由，可得，
则，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
Ⅱ解：的定义域为，，
当时，，在上单调递增；
当时，令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
Ⅲ证明：由Ⅱ可知，当时，才有两个不相等的实根，且，
则要证，即证，即证，
而，则，否则方程不成立，
所以即证，化简得，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，而，
所以，
所以，得证．
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