2024-2025学年北京市西城区育才学校高三上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则
A. B. C. D.
2.下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是( )
A. B. C. D.
3.若，且，则的最大值为
A. B. C. D.
4.函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是( )
A. B.
C. D.
5.在中，“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数，，的图像都经过点，则的值为
A. B. C. D.
7.已知函数的部分对应值如表所示数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，则的值为 ．
A. B. C. D.
8.已知向量，，若，则等于( )
A. B. C. D.
9.在直角梯形中，已知，，，，，若为的中点，则的值为( )
A. B. C. D.
10.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”给出下列个集合：
其中所有“好集合”的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.的展开式中的常数项为 ．
12.若向量满足，且的夹角为，则 ， ．
13.已知，函数若，则的值域为 ；若方程恰有一个实根，则的取值范围是 ．
14.已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式 ．
15.已知函数，给出下列四个结论：是偶函数；有无数个零点；的最小值为；的最大值为其中，所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知等差数列满足．
求的通项公式
若等比数列，求的通项公式
17.已知函数在处有极值．
求实数，的值
求函数的单调区间．
18.在中，．
求；
若，___________求．
从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了所学校，所学校的参与人数如下：
Ⅰ现从这所学校中随机选取所学校进行调查求选出的所学校参与越野滑轮人数都超过人的概率；
Ⅱ现有一名旱地冰壶教练在这所学校中随机选取所学校进行指导，记为教练选中参加旱地冰壶人数在人以上的学校个数，求的分布列和数学期望；
Ⅲ某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这个动作进行技术指导规定：这个动作中至少有个动作达到“优”，总考核记为“优”在指导前，该校甲同学个动作中每个动作达到“优”的概率为在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由．
20.已知函数．
求函数的图象在点处的切线的方程；
当时，求证：；
讨论函数且为常数零点的个数．
21.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“拓展”如数列，第次“拓展”后得到数列，，，第次“拓展”后得到数列，，，，设数列，，经过第次“拓展”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．
求，；
若，求的最小值；
是否存在实数，，，使得数列为等比数列？若存在，求，，满足的条件；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15.
16.因为，
，
，，
；
由题可知，又，
，
，
．
17.已知函数，则，
由题意，解得，
当时，，，
当或时，，当时，，
所以在上均单调递增，在上单调递减，
所以在处有极小值，满足题意，
综上所述，符合题意；
由题意，则，
当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．
18.因为，由正弦定理得：，因为，所以，所以，即，即
，即，又，所以．
若选，则在中，由余弦定理得：，可得：，解得：，或舍，可得．
若选，，则，
由正弦定理：，可得：，解得：．
19.Ⅰ记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过人”为事件，现从这所学校中随机选取所学校进行调查，可得基本事件总数为．
参与越野滑轮人数超过人的学校共所，随机选择所学校共种，
所以
Ⅱ的所有可能取值为，，，参加旱地冰壶人数在人以上的学校共所．
，，．
的分布列为：
．
Ⅲ答案不唯一．
答案示例：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：．
指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．
答案示例：无法确定理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：．
虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化．
20.由题意得，，，，
切线的方程为：．
当时，要证，只需证，
令，则，
令，则，
由得，，由得，，
在为减函数，在上为增函数，
，
在上为增函数，
，
，即．
由得，．
令，则，
由得或，由得，
在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，
当时，，当时，，当，．
时，取极小值，
当时，直线与的图象没有交点，函数无零点，
当时，直线与的图象有个交点，函数有个零点，
当时，直线与的图象有个交点，函数有个零点，
当时，直线与的图象有个交点，函数有个零点．
综上得，当时，函数无零点；当时，函数有个零点；
当时，函数有个零点；当时，函数有个零点．
21.解：Ⅰ因原数列有项，经第次拓展后的项数；
经第次拓展后的项数．
Ⅱ因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，
由数列经第次拓展后的项数为，
则经第次拓展后增加的项数为，
所以，
所以，
由Ⅰ知，则，
所以，
由，即，解得，
所以的最小值为．
Ⅲ设第次拓展后数列的各项为，，，，，，，
所以，
因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以，
即，
所以，
，
得，
由，
则，
若使数列为等比数列，
则或，
所以，，，满足的条件为或者．
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