2024-2025学年上海市长宁区高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”成立的条件．
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要
2.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
3.被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为；为信噪比香农公式在技术中发挥着举足轻重的作用．
当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为( )
A. B. C. D.
4.在棱长为的正方体中，，是线段含端点上的一动点，则：
；
面；
三棱锥的体积不是定值；
与所成的最大角为．
上述命题中正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合，若，则实数的值是______．
6.函数的定义域是______．
7.设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是______．
8.双曲线的渐近线方程是_____________．
9.已知，，，，，则 ______．
10.在的二项展开式中，的系数是______用数字作答．
11.记为数列的前项和，若则 ______．
12.已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为______．
13.已知，，，，，，，的中位数是，第百分位数为，则 ______．
14.已知，，则 ______．
15.已知是定义域为的奇函数，当时，，则 ______．
16.已知数列是公差不为的等差数列，，且，，成等比数列，设的前项和______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，．
Ⅰ求；
Ⅱ若，，求的面积．
18.本小题分
设
求函数的单调递增，递减区间；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，当时，求的值．
21.本小题分
已知函数的定义域为，导函数为，若对任意的，均有，则称函数为上的“一类函数”．
试判断是否为其定义域上的“一类函数”，并说明理由；
若函数，为其定义域上的“一类函数”，求实数的取值范围．
已知函数为其定义域上的“一类函数”，求实数的最大整数值．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：Ⅰ在中，由正弦定理，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
Ⅱ因为，，由余弦定理，
可得，
所以，，
所以．
18.解：，令，解得或，
令，解得，，
令，解得，
的单调递增为，，递减区间为．
，，，；
即，
要使时，恒成立，即，
，
故实数的取值范围为．
19.解：证明：在三棱柱中，因为平面，平面，
所以．
又，分别为，的中点，则，
所以，
因为，为中点，所以，
又，平面，平面，
所以平面．
由知，，．
又平面，所以平面．
因为平面，所以，
所以，，两两垂直，
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则即
令，则，，
于是．
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20.解：Ⅰ由题意得，
，，，，
椭圆的方程为．
Ⅱ设过点的直线为，，，
联立得，即，
直线与椭圆相交，，，
由韦达定理得，，
，直线为，
令，则，，同理，
，
，，
．
21.解：函数不是其定义域上的“一类函数”．
理由如下：
的定义域为，，存在，使得，
故不是其定义域上的“一类函数”
，所以．
若函数在上为“一类函数”，
则在上恒成立，
即在上恒成立．
因为在上的值域为，
所以，
所以实数的取值范围为；
，
依题意有对作意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，，即；
当时，，
令，则，
令，则，
易知时，时，，
即在上是减函数，在上是增函数，
而，
即时，，于是，则在上是减函数，
故，从而．
综上，满足条件的实数的取值范围是，于是的最大整数值为．
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