2024-2025学年广东省惠州中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合满足，且，则满足条件的集合有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.设，，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
4.下列各组函数是同一个函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
5.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知命题：“，”，命题：“，”若命题和命题都是真命题，则实数的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. D.
7.定义在上的函数满足，，且，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则( )
A. B.
C. 的最小值为 D. 的图象与轴有个交点
11.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是( )
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.是定义在上的奇函数，则实数 ______．
13.已知函数在定义域上单调递减，则实数取值范围______．
14.设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记函数的定义域为集合，函数的值域为集合，求：
求，；
求，
16.本小题分
已知关于的不等式的解集为或．
求、的值；
若函数，，求值域．
17.本小题分
某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本万元，每生产百台这种仪器，需另投入成本万元，假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台万元．
求出利润万元关于产量百台的函数关系式；
当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润．
18.本小题分
已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有．
求函数的解析式；
解关于的不等式，其中．
19.本小题分
对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”并说明理由；
用定义证明函数在为单调递增函数；
若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围．
参考答案
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15.函数的定义域为，
则，所以，
函数，
则，解得，所以；
由知，，，
所以．
16.解：由题意可知，方程的根为，，且，
所以，
解得，；
因为，，
所以，，
抛物线开口向上，对称轴为．
因为，所以，
又，，
所以．
所以函数的值域为．
17.解：由题意知，当，时，，
当，时，，
综上，．
当，时，，
所以当时，取得最大值，
当，时，，
当且仅当时，取得最大值，
综上，当，即产量为台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为万元．
18.解：由都有，得二次函数的图象对称轴为，
又的最小值为，设，，
由是的一个零点，得，解得，
所以函数的解析式为；
由知，不等式，
整理得，即，
当时，不等式化为，解得；
当时，，解得；
当时，不等式化为，
当时，解得或；
当时，解得；当时，解得或，
综上所述：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
19.解：根据题意，不是“局部反比例对称函数”，
理由如下：
若，方程，即，
变形可得：，
又，方程无实数解，
即不存在实数，使成立，
故不是“局部反比例对称函数”．
证明：根据题意，，
设，且，是上任意两个实数，则，，
所以，即，
所以在为单调递增函数；
若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，
则方程即在上有解．
上式变形可得：，
令，则上述方程化为，
又由，则，
所以原问题等价于方程在上有解，
设，则其图象开口向上，对称轴为，
分种情况讨论：
当时，，
即，所以，所以；
当时，，
即，所以，所以；
综合可得：，
故实数的取值范围为．
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