2024—2025学年高一第一学期期中考试
数学试题
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，若，则（ ）
A.2 B.1 C. D.
2.设，则“”是“且”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数的最小值是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.12
4.若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
5.下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
6.函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
7.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
8.已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法中错误的有（ ）
A.命题，，则命题的否定是，
B“”是“”的必要条件
C.命题“，”是真命题
D.“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件
10.下列命题是假命题的为（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，且，则 D.若且，则
11.已知函数若，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设集合，，已知且，则的取值集合为________.
13.已知实数，满足，且，则的最小值为________.
14.如图，某小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4000元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）内铺上塑胶，造价为100元/；在四个空角（图中四个三角形）内铺上草坪，造价为300元/.若要使总造价不高于28000元，则正方形周长的最大值为_________m.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知集合，.
（1）求，；
（2）若集合，且，为假命题，求实数的取值范围.
16.（15分）已知，关于的一元二次不等式的解集为.
（1）求不等式的解集；
（2）解关于的不等式.
17.（15分）已知函数为上的偶函数，当时，，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若实数满足不等式，求的取值范围.
18.（17分）某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第年（）花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元.
（1）该车运输几年开始盈利 （即总收入减去成本及维护费用的差为正值）
（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，
哪一种方案较为合算 请说明理由.
19.（17分）已知函数（）是定义在上的奇数，点在函数的图象上.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
2024—2025学年高一第一学期期中考试
数学参考答案及评分意见
1.D 【解析】因为，所以有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意.综上所述，.故选D.
2.B 【解析】因为且能推出；不能推出且（如，），所以“”是“且”的必要不充分条件.故选B.
3.C 【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为8，故选C.
4.B 【解析】对A，该函数的定义域为，故A错误；
对B，该函数的定义域为，值域为，故B正确；
对C，该函数的值域不为，故C错误；
对D，该图象不为函数图象，故D错误.故选B.
5.A 【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数；
对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是相同的函数；
对于C，两函数的对应关系不同，所以不是相同的函数；
对于D，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是相同的函数.故选A.
6.C 【解析】由函数的图象经过点，得，则，函数在上单调递减，在上单调递减，则在上单调递减.又，即函数是奇函数，所以不等式，则，即，解得，所以原不等式的解集为.故选C.
7.D 【解析】对于A，，，则，所以是偶函数，故A错误；
对于B，显然是偶函数，故B错误；
对于C，因为的定义域为，所以函数是非奇非偶函数，故C错误；
对于D，根据幂函数的性质可知，在上单调递增，且，设，则，所以是奇函数，故D正确.故选D.
8.C 【解析】由得或得或解得或或，所以原不等式的解集为.故选C.
9.ABD 【解析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，可知命题的否定是，，故A错误；
不能推出，例如，但，所以“”不是“”的必要条件，故B错误；
当时，，故C正确；
若函数在上单调递增，则，可以推出，但不能推出，所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，故D错误.故选ABD.
10.ACD 【解析】对于A选项，取，，，，则，，所以，故A选项中命题是假命题；
对于B选项，若，则，所以，B选项中命题是真命题；
对于C选项，若，则，则，又因为，由不等式的性质可得，所以C选项中命题是假命题；
对于D选项，若且，则，且，所以，D选项中命题是假命题.故选ACD.
11.BD 【解析】令，则.当时，由，解得（舍去）或；当时，由，解得，即或5.①当时，若，则，解得（舍去）；若，则，无解；②当时，若，则，解得；若，则，解得（舍去）或.综上，或.故选BD.
12. 【解析】因为，即，所以或.若，则或；若，即，则或.由与互异，得，故或.又，即，所以且，解得，且.综上所述，的取值集合为.故答案为.
13.1 【解析】因为，所以，；因为，所以.
由，得，所以.
所以，
当且仅当，即，时，等号成立.故答案为1.
14.4 【解析】设正方形的边长为m，则正方形的面积为，
四个相同的矩形即阴影部分的面积为，
四个空角的面积为.
设总造价为元，则.
由题意，得，
化简，得，即，解得，
故正方形周长的最大值为4m.故答案为4.
15.解：（1）；
，∴.
（2）∵，为假命题，
∴，为真命题，即.
又，，
当时，，即，；
当时，由可得，
或解得.
综上，实数的取值范围为.
16.解：（1）因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以关于的一元二次方程的两解为和，
所以解得.
所以一元二次方程的解为，，
所以不等式的解集为.
（2）由（1）得关于的不等式，即，
因式分解得.
①当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为；
②当时，原不等式为，解得或，
所以不等式的解集为；
③当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为；
④当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为；
⑤当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为.
综上可得：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
17.解：（1）因为函数为上的偶函数，且当时，，
，所以，即，解得，
所以当时，.
设，则，所以，
所以.所以
（2）由（1）知
可得在上单调递减，在上单调递增.
又，所以解得，
所以的取值范围是.
18.解：（1）由题意可得，即，
解得，∴，，
∴该车运输3年开始盈利.
（2）该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，
，
当且仅当时，取等号，
∴方案①最后的利润为（万元）；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，
盈利总额，
∴当时，盈利总额达到最大值，
∴方案②最后的利润为（万元）.
两种方案的利润都是59万元，按照时间成本来看，方案①用时更短，
∴方案①较为合算.
19.解：（1）∵是定义在上的奇函数，
∴，即，解得，∴.
∵点在函数的图象上，∴，解得.
∴.
（2）在上单调递减.
证明如下：
任取，且，则
.
∵，且，
∴，，∴.
又∵，∴，即，
∴函数在上单调递减.
（3）由对任意恒成立，得，.
由（2）知函数在上单调递减，又是定义在上的奇函数，
∴函数在上单调递减，
∴函数在上的最大值为，
∴，即实数的取值范围为.
