高一数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第三章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．若幂函数的图象经过点，则（ ）
A．16 B． C．64 D．
4．若，，则（ ）
A． B．
C． D．，的大小关系无法确定
5．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数若对任意，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列各组函数中，两个函数为同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．已知集合，，且是的真子集，则的值可以是（ ）
A． B．1 C．2 D．
11．已知函数满足对任意，均有，且当时，，则（ ）
A．
B．
C．当时，
D．存在，使得，且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数的定义域为_________．
13．若命题：，，则的否定为_________，为_________（填“真”或“假”）命题．
14．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知全集，集合，．
（1）求；
（2）若，求．
16．（15分）已知正数，满足，．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
17．（15分）梅州金柚、德庆贡柑、信宜三华李、紫金春甜桔、连平鹰嘴蜜桃、阳春马水桔、云安沙糖桔、高州储良龙眼、从化荔枝、徐闻香蕉并称为“岭南十大佳果”．眼下正值梅州金柚热销之时，某水果网店为促销梅州金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表：
购买的金柚重量/kg 金柚单价/（元/kg）
不超过5kg的部分 10
超过5kg但不超过10kg的部分 9
超过10kg的部分 8
记顾客购买的金柚重量为，消费额为元．
（1）求函数的解析式．
（2）已知甲、乙两人商量在这家网店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为4kg、8kg．请你为他们设计一种购买方案，使得甲、乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额．
18．（17分）已知幂函数是奇函数，函数．
（1）求；
（2）若在上单调，求的取值范围：
（3）求在上的最小值为，求．
19．（17分）定义：为函数在上的平均变化率．
（1）若函数在上的平均变化率为3，证明：．
（2）已知，设，，且．
①证明：．
②求的取值范围．
备注：．
高一数学参考答案
1．C 由，得，所以“”是“”的充要条件．
2．A 由题意得，则．
3．D 设，则，得，所以．
4．B 因为，所以．
5．A 方法一：由，得．
方法二：令，则，所以，即．
6．B 由题意得，解得．
7．D 由图可知是偶函数，排除A．，排除B．当时，，的图象是一条射线，排除C．令，得，，符合图象，D正确．
8．C 不妨假设，由，得，则在上单调递减，所以解得．
9．AC ，的定义域、值域、解析式均一致，A正确．
的定义域为，的定义域为，B错误．
，的定义域、值域、解析式均一致，C正确．
，的解析式不一致，D错误．
10．AD 由题意得．当时，，得；当时，得．故的取值范围为．
11．ACD 由，得，则，解得，A正确．当时，，则，则，B错误，C正确．如图，设与在上交于，，，四点．易得，，，则由，可得的根为和，则．同理，由，可得的根为和，则，故，D正确．
12． 由题意得解得．
13．，；假 的否定为“，”．因为，当且仅当时，等号成立，所以为假命题．
14． 由题意得在上单调递增．由，得，则，即，解得或．
15．解：（1）由题意得，则，
所以．
（2）由题意得，
因为，所以．
由，得且，所以，解得．
16．解：（1）由，
得，当且仅当时，等号成立，
则，得，即的最大值为1．
（2）由，得，
得，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为．
17．解：（1）当时，；
当时，；
当时，．
故
（2）当甲、乙两人分开购买时，消费总额为元．
当甲、乙一起购买时，消费总额为元．
因为，所以甲、乙一起购买12kg的消费总额最少，此时的消费总额为111元．
18．解：（1）由题意得，得或．
当时，是偶函数，不符合题意；
当时，是奇函数．
故．
（2）由（1）得，图象的对称轴为直线，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为在上单调，所以或，
解得或，即的取值范围为．
（3）当，即时，在上单调递减，
，解得，舍去；
当，即时，在上单调递增，
，解得；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得或0（，舍去）．
故或5．
19．（1）证明：因为在上的平均变化率为3，
所以．
由，得，从而，则．
（2）①证明：因为，
所以．
又，所以，则，从而．
，
因为，，所以，，则，即．
又，所以，即．
②解：任取，则，
即，所以在上单调递减，
由，得．
因为，所以，解得，
则，
则，
故的取值范围为．
