2023-2024学年北京市密云区高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.命题：，都有，则命题的否定为( )
A. ，使得 B. ，都有
C. ，使得 D. ，都有
3.已知，则有( )
A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为
4.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是( )
A. B. C. D.
5.若，，，则( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
7.近年来，密云区生物多样性保护成效显著，四百多种野生鸟类在密云繁衍生息，近万候鸟变留鸟鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为耗氧量的函数若两岁燕子耗氧量达到个单位时，其飞行速度为，则两岁燕子飞行速度为时，其耗氧量达到( )
A. 个单位 B. 个单位 C. 个单位 D. 个单位
8.已知，，，则“”的一个充分而不必要条件是( )
A. B. C. D.
9.设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线，它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为，其中为不超过的最大整数，若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11. ______．
12.函数的定义域是______．
13.已知幂函数的图象经过点，则的解析式是______．
14.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则 ______；若，且，则的一个取值为______．
15.已知函数，给出下列五个结论：
存在无数个零点；
不等式的解集为；
在区间上单调递减；
函数的图象关于直线对称；
对，都有．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知集合，．
Ⅰ当时，求和；
Ⅱ若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值；
Ⅲ在平面直角坐标系中，以为始边，已知角的终边与角的终边关于轴对称，求的值．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ若不等式的解集为，求的值；
Ⅱ若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；
Ⅲ解关于的不等式．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ求；
Ⅱ从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数唯一确定，求在区间上的最大值和最小值．
条件：当时，的最小值为；
条件：函数的图象对称中心与相邻的对称轴之间的距离为；
条件：函数在区间上单调递增．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ若为奇函数．
求的值，并说明理由；
比较与的大小；结论不要求证明
Ⅱ若，使得，求的取值范围．
21.本小题分
对于正整数集合，，如果去掉其中任意一个元素，之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
Ⅰ判断集合是否是“和谐集”，并说明理由；
Ⅱ求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
Ⅲ若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. 答案不唯一，只要满足，均可
15.
16.解：Ⅰ当时，集合，，
或，；
Ⅱ当时，，解得，符合题意；
当时，，解得；
综上可得，实数的取值范围是．
17.解：因为，，
所以，
Ⅰ；
Ⅱ因为，，
；
Ⅲ由题意得，，，
所以．
18.解：Ⅰ因为的解集为，
所以的两个根为，，
则，解得；
Ⅱ不等式对任意的恒成立，
则恒成立，
所以，
整理得，
解得，，
故的范围为；
Ⅲ，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或．
19.解：Ⅰ
，
故；
Ⅱ若选条件：当时，的最小值为，
即，
所以，，，
由可得，，
所以，
故函数的最大值为，最小值为；
若选条件：函数的图象对称中心与相邻的对称轴之间的距离为，
则，
所以，，，
由可得，，
所以，
故函数的最大值为，最小值为；
若选条件：函数在区间上单调递增且包含原点，
令，，
解得，，
令，可得函数包含原点的一个单调递增区间为，
因为数在区间上单调递增，
所以，，此时无法确定的值，不适合题意．
20.解：Ⅰ函数，
则，
若为奇函数，则有，
，必有；
由于，则，
，，
则有；
Ⅱ由Ⅰ的结论，，
令，当时，，
则有，，
则问题转化为，使成立，
所以，，，
由二次函数的性质可知在上单调递增，
所以当时，函数取最大值，且最大值为，
所以，
所以的取值范围为．
21.解：Ⅰ对于正整数集合，，
如果去掉其中任意一个元素之后，
剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，
且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“和谐集”，
Ⅱ证明：设中所有元素之和为，
由题可知，均为偶数，
因此的奇偶性相同，
若为奇数，则为奇数，易得为奇数，
若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“和谐集”，
若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由知为奇数
综上，集合中元素个数为奇数；
Ⅲ由Ⅱ可知集合中元素个数为奇数，
当时，显然任意集合不是“和谐集”．
当时，不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有，或者；将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有，或者
由、，得，矛盾；由、，得，矛盾；
由、，得，矛盾；由、，得，矛盾．
因此当时，集合一定不是“和谐集”．
当时，设，
因为，，，，，，，
所以集合是“和谐集”．
集合中元素个数的最小值是．
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