姓名______座位号______
（在此卷上答题无效）
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在复平面内，复数对应的点为，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.设等差数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A.4 B. C.1 D.
4.已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数有两个零点，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.若函数定义域为，且为偶函数，关于点成中心对称，则的值是（ ）
A.57 B.62 C.69 D.72
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知点是的中线上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值是9
10.关于函数，则下列命题正确的有（ ）
A. 是偶函数 B. 的值域是
C. 在上单调递增 D. 都是的极值点
11.已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.任意的，
C.存在，使得
D.数列有最大值，无最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则______.
13.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，若的中线，且，则的面积为______.
14.已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为______.
四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）设函数.
（1）求的单调区间；
（2）若存在极值，求证：.
16.（15分）已知各项全不为零的数列的前项和为，且，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求证：.
17.（15分）已知向量，，函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）将的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数，的图象与的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求的值.
18.（17分）已知函数，.
（1）求函数图象上点到直线的最短距离；
（2）若函数与的图象存在公切线，求正实数的最小值；
（3）若恒成立，求的取值范围.
19.（17分）对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换T，变换T将集合A变换为集合.
（1）若，求，；
（2）若集合A有n个元素，证明：“”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；
（3）若且，求元素个数最少的集合A.
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C D A A B B C ACD BC ABD
1.【详解】∵，∴，故，∵，∴，故，∴.
2.【详解】由图可得，所以，所以，虚部为.
3.【详解】设公差为，由，，所以，解得，所以，
令.
4.【详解】，，，则，选A.
5.【详解】因为定义域为，，所以为奇函数，当时，，所以，即“”是“”的充分条件；但，而，故必要性不成立；所以“”是“”成立的充分不必要条件.故选：A
6.【详解】由题干得
因为锐角，，所以.
7.【详解】由函数有两个零点，，结合图像知，，且则，令，
则，又在区间上单减，，选B
8.【详解】由于偶函数知的图象关于直线对称，
因的图象关于点成中心对称，
则，，
，所以是周期为4的周期函数。
，所以，
，则，
，故选：C.
9.【详解】因为，所以，又，，三点共线，所以，选项A正确；
且，，∴选项B错误；
，当时有最小值，故C选项正确；
因为，
当且仅当，即时，等号成立，所以选项D正确.
10.【详解】对于A，，所以函数是奇函数，所以A不正确.对于B，函数在上连续，当时所以的值域是.所以B正确；对于C，由，当，，所以在单调递增，所以C正确.对于D，，，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以不是函数的极值点，所以D不正确.
11.【详解】令，则，所以，令，得，又，可解得，故A正确；依题意有，，因为，所以，所以，，故B正确C错误，由得，所以，
即，所以随着的增大而减小，故为正项单调递减的无穷数列，且，故数列有最大值2，无最小值，D正确；故答案为：ABD.
12.【答案】【详解】因为，，当时，所以，所以.
13.【答案】【详解】，由正弦定理得，即；因为，所以，因为，所以，由，两边平方得，∴，∴.
14.【答案】【详解】根据题意作出函数的图象，如图所示，
令，解得或，令，解得或或，由题意可知：与有三个交点，则，此时，且，
所以，，令，则恒成立，所以在单增，的最大值为，即的最大值为.
15.【详解】试题分析：（1）
当时，，恒成立，故在上单增；
当时，令得，故在上单减，在上单增
（2）由（1）知，当时，在上单增，没有极值；
当时，在上单减，在上单增，存在极小值
令，则，所以在单增，在单减，在时取最大值0，所以恒成立，即.
16.【详解】（1）当，由及，得，
当时，由，得.因为，
所以.从而.，.
故.
（2），，，∴
17.【详解】（1），
，
令，，则，，
所以的单调递减区间为，；
（2）将的图象向左平移个单位后，得到
，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后，得到，函数，的图象与的图象有三个交点坐标分别为，，且，则由已知结合图象的对称性，有，
解得
∴.
18.【详解】（1）设切点，令知，
则M到直线的距离即为最短距离，所以
（2）设点是函数的切点，，
则切线方程为，即
设点是函数的切点， ，，
则切线方程为，即
两曲线有公切线，故，，消去得到：，
设函数，则，所以时，函数单调增，
时，函数单调减，最大值为，，
所以，实数a的最小值为
（3），从而恒成立。
设，则
设，则，则在递减且
所以，当时，，即单调递增；
当时，，即，单调递减；所以得最大值为
所以的取值范围是
19.【详解】（1）若集合，则，
（2）令.不妨设.
充分性：设是公差为的等差数列.
则，
且.所以共有个不同的值.即
必要性：若.
因为，.
所以中有个不同的元素：，，…，，，，…，
任意的值都与上述某一项相等.
又，且，.
所以，所以是等差数列，且公差不为0
（3）首先证明：.假设，中的元素均大于1，从而，
因此，，故，与矛盾，因此
设的元素个数为，的元素个数至多为，
从而的元素个数至多为.
若，则元素个数至多为5，从而的元素个数至多为，
而中元素至少为26，因此
假设A有三个元素，设，且，
则1，2，，，，，，，，
从而.若，中比4大的最小数为，则，与题意矛盾，故.
集合中最大数为，由于，故，从而，
（ⅰ）若，且.此时1，2，，，8，9，，，，则有，，在22与28之间可能的数为，.
此时23，24，25，26不能全在中，不满足题意
（ⅱ）若，且.此时1，2，，，8，9，，，，则有，
若，则或，
解得或
当时，.不满足题意.
当时，
，满足题意.
故元素个数最少的集合A为
