陕西省西安市西北工业大学附属中学2025届高三上学期二模数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.若向量，，都是单位向量，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为的四位数称为“幸运数”如是“幸运数”，并获得一定的奖品，则首位数字为的“幸运数”共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.已知正项等比数列的前项和为，且满足，设，将数列中的整数项组成新的数列，则( )
A. B. C. D.
8.已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 若样本数据，，，的样本方差为，则数据，，，的方差为
B. 经验回归方程为时，变量和负相关
C. 对于随机事件与，，，若，则事件与相互独立
D. 若X~B(7,),则P(X=k)取最大值时k=4
10.已知抛物线的焦点为 ，准线为，过 的一条直线与 交于 ， 两点，若点 在上运动，则( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，，， 三点的纵坐标成等差数列
D. 当时，
11.如图，在四棱锥中，已知底面，底面为等腰梯形，，，，记四棱锥的外接球为球，平面与平面的交线为，的中点为，则( )
A. B.
C. 平面平面 D. 被球截得的弦长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 ．
13.已知函数的部分图象如图所示，为图象上的点且满足四边形为平行四边形，若，则 ．
14.已知函数的极小值点为，若点在直线的上方，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
如果过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知边长为的菱形如图，，与相交于点，为线段上一点，将三角形沿折叠成三棱锥如图．
证明：
若三棱锥的体积为，二面角的余弦值为，求的长．
17.本小题分
已知，其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象．
求函数的解析式及图象的对称中心；
在钝角中，内角，，的对边分别是，，，若，求的取值范围．
18.本小题分
如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有，，三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室粒子在室不旋转，在室、室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为现有两个粒子从室出发，先后经过号门，号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为．
已知两个粒子通过号门后，恰有个上旋状态个下旋状态若这两个粒子通过号门后仍然恰有个上旋状态个下旋状态的概率为，求
求的分布列和数学期望
设，若两个粒子经过号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过号门后都为上旋状态的概率．
19.本小题分
已知双曲线：，点在上．按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为，
求点，的坐标；
记，证明：数列为等比数列；
为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.
，所以，
则曲线在点处的 切线方程为：．
设切点，则切线方程为，
又切线过点，所以，即，
由题意，上述关于方程有三个不同的实数解，
设，则有三个不同的零点，
而，令，得或，
当时，，则在和上单调递增，
当，，则在上单调递减，
若有三个不同的零点，则，解得，
所以实数的取值范围为．
16.解：因为四边形是边长为的菱形，并且，
所以，均为等边三角形，
故A，，且，
因为平面，平面，且，所以平面，
因为平面，所以．
设到平面的距离为，
因为等边三角形的边长为，
所以三棱锥的体积为，所以，
因为，所以平面，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，
因为平面，
所以是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
又，，
故，
取，则，，得，
因为二面角的余弦值为，
所以，
解得：或舍去，
此时．
17.解：由题意得，，
所以，，
则，
令，，
所以，，
故函数的对称中心为
由题意得，
，，
所以
所以或舍，
所以，
因为在钝角中，为钝角，
所以，，
所以．
，
令，，，
因为在单调递减，在单调递增．
所以当，即时，有最小值，
，，所以，
故的取值范围为
18.解：设“两个粒子通过号门后仍然恰有个上旋状态个下旋状态”，
事件发生即通过号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态，
故，解得或；
由题知，，，
时分类情形，
两个粒子通过号门后均处上旋状态，通过号门后均不改变状态
两个粒子通过号门后一个上旋状态一个下旋状态，通过号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态
两个粒子通过号门后两个均为下旋状态，通过号门后均改变状态，
所以，
同理，
，
所以所求的分布列为
所以所求数学期望；
设“两个粒子通过号门后处于上旋状态粒子个数为个”，，，，“两个粒子通过号门后处于上旋状态的粒子个数为个”，
则，，
，，，
则，
故．
19.由题知，所以双曲线，又过点，斜率为的直线方程为，
由双曲线与直线的对称性可知，所以，又过，且斜率为的直线方程为，即，
由，解得或，当时，，
所以，所以
设，则过，
且斜率为的直线方程为，联立
消得到，由题有，得到，
由题知点在直线上，即有，所以，
因为，则由知，
所以数列为为首项，的公比的等比数列
由知，得到，由，
即，即，
则，，
故，，
，，
从而，．
即，则，
则，
．
从而
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