广东省江门市新会区尚雅中学2024-2025学年上学期九年级数学开学考试试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024九上·新会开学考）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，再对各选项逐一判断即可.
2．（2024九上·新会开学考）下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．明天要下雨 B．|a|≥0
C．﹣2＞﹣1 D．打开电视机，它正在播广告
【答案】B
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、明天要下雨，此事件是随机事件，故A不符合题意；
B、|a|≥0，此事件是必然事件，故B符合题意；
C、-2＞-1，此事件是不可能事件，故C不符合题意；
D、打开电视机，它正在播广告，此事件是随机事件，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】在一定条件下，一定会发生的事件，叫必然事件，再对各选项逐一判断，可得答案.
3．（2024九上·新会开学考）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3
C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： ∵将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，
则就是将函数图象向下平移2个单位，再向右平移3个单位，
∴该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为：y＝3（x﹣2-3）2+1-2即y＝3（x﹣5）2-1.
故答案为：C.
【分析】利用二次函数图象平移的规律：上加下减，左加右减；根据题意可知就是将函数图象向下平移2个单位，再向右平移3个单位，据此可得到平移后的函数解析式.
4．（2024九上·新会开学考）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】根据题意，设三个宣传队分别为 列表如下：
小华\小丽
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是 ．
故答案为：C
【分析】根据题意列出表格求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
5．（2024九上·新会开学考）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化．设修建的道路宽为x米，如果绿化面积为y米2，那么y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y＝8000﹣100x﹣80x B．y＝（100﹣x）（80﹣x）+x2
C．y＝（100﹣x）（80﹣x） D．y＝100x+80x
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设修建的道路宽为x米，如果绿化面积为y米2，根据题意得
y＝（100﹣x）（80﹣x）
故答案为：C.
【分析】利用图形的平移可得到绿化的长和宽，再利用矩形的面积公式可得到y与x的函数解析式.
6．（2024九上·新会开学考）若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x1＜x2
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=10＞0，
∴当x＞0时y＞0，当x＜0时，y＜0，
∴x1＜0，x2＞0，x3＞0，
∵在每一个象限y随x的增大而减小，2＜5，
∴x2＞x3＞0，
∴x1＜x3＜x2.
故答案为：C.
【分析】利用k的值几点A，B，C的坐标，可知x1＜0，x2＞0，x3＞0，再利用反比例函数的增减性，可知在每一个象限y随x的增大而减小，可得到x2＞x3＞0，据此可得到x1，x2，x3的大小关系.
7．（2024九上·新会开学考）将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵将圆对折三次，
∴∠AOB=360°÷23=45°，
∴展开后得到的多边形是正八边形，
∴此多边形的内角和为（8-2）×180°=1080°，
虚线①所对的圆弧长.
故答案为：C.
【分析】利用将圆对折三次，可得到将360° 的圆周角分成8等分，可求出∠AOB的度数，同时求出展开后得到的多边形的内角和的度数；然后利用弧长公式可求出虚线①所对的圆弧长.
8．（2024九上·新会开学考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，设AO与BC交于点D．
∵∠AOB=60°， ，
∴∠C= ∠AOB=30°，
又∵AB=AC，
∴
∴AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴在直角△ACD中，CD=AC cos30°=2× = ，
∴BC=2CD=2 ．
故选：C．
【分析】如图，首先证得OA⊥BC；然后由圆周角定理推知∠C=30°，通过解直角△ACD可以求得CD的长度．则BC=2CD．
9．（2024九上·新会开学考）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C'，以下结论：①BC＝B'C'，②AC∥C'B'，③C'B'⊥BB'，④∠ABB'＝∠ACC'，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C'，
∴△ABC≌△AB'C'，∠C'AC=∠BAB'=50°，AB=AB'，AC=AC'，
∴BC=B'C'，故①正确；
∴∠AB'C'=∠ABC=30°，
∴∠B'AC=∠C'AC-∠C'AB'=50°-20°=30°，
∴∠B'AC=∠AB'C'，
∴AC∥C'B'，故②正确；
∵AB=AB'，AC=AC'，∠C'AC=∠BAB'，
∴∠ABB'=∠AB'B，∠ACC'=∠AC'C，
∴∠ABB'=∠ACC'，故④正确；
∴∠ABB'=（180°-∠BAB'）=（180°-50°）=65°，
∴∠C'B'B=∠AB'C'+∠ABB'=30°+65°=95°，
∴C'B'与BB'不垂直，故③错误；
∴正确结论的序号为①②④
故答案为：B.
【分析】利用旋转的性质可证得△ABC≌△AB'C'，∠C'AC=∠BAB'=50°，AB=AB'，AC=AC'，可证得BC=B'C'，可对①作出判断；再求出∠B'AC'的度数，据此可推出∠B'AC'=∠AB'C'，可对②作出判断；利用等腰三角形的性质可证得∠ABB'=∠AB'B，∠ACC'=∠AC'C，据此可推出∠ABB'=∠ACC'，可对④作出判断；然后求出∠C'B'B的度数，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
10．（2024九上·新会开学考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣2，0）对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜4；⑤9a+c＞3b，其中正确的结论序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，抛物线交于y轴的正半轴，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴b=-2a，
∴2a-b=4a＜0，故②错误；
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点为（-2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），
由图象可知
当-2＜x＜4时，y＞0，故④正确；
∵当x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0即9a+c＜3b，故⑤错误；
∴正确结论的序号为①③④ .
故答案为：①③④ .
【分析】观察图象可知抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，抛物线交于y轴的正半轴，可确定出a、b、c的取值范围，可对①作出判断；利用抛物线的对称轴为直线x=1，可对②作出判断；利用抛物线与x轴的交点个数，可对③作出判断；利用二次函数的对称性，可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，观察图象，可得到y＞0时x的取值范围，可对④作出判断；由图象可知当y＞0时x的取值范围，可对⑤作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024九上·新会开学考）若关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为 ．
【答案】x=-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a=1，b=k，c=-2，
∴x1 x2==-2．
∵关于x的一元二次方程x2+kx-2=0的一个根为x=1，
∴另一个根为x=-2÷1=-2．
故答案为：x=-2．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得另一个根。
12．（2024九上·新会开学考）如图是某同学的微信二维码，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 ．
【答案】1.6
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：边长为正方形面积为，
设黑色部分的总面积为，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先计算正方形的面积，设黑色部分的总面积为xcm2，根据发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
13．（2024九上·新会开学考）如图，PA、PB切⊙O于A、B，点C在 上，DE切⊙O于C交PA、PB于D、E，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，则△PDE的周长是 ．
【答案】24cm
【知识点】勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA、OB，如图所示：
∵PA、PB为圆的两条切线，
∴由切线长定理可得：PA=PB，
同理可知：DA=DC，EC=EB；
∵OA⊥PA，OA=5cm，PO=13cm，
∴在Rt△POA中，由勾股定理得：
PA= cm，
∴PA=PB=12cm；
∵△PDE的周长=PD+DC+CE+PE，DA=DC，EC=EB；
∴△PDE的周长=PD+DA+PE+EB=PA+PB=24cm，
故答案为：24cm.
【分析】连接OA、OB，根据切线长定理可以得到PA=PB，DA=DC，EC=EB；再利用勾股定理求出PA的长，最后利用三角形的周长公式计算即可。
14．（2024九上·新会开学考）已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为 ．
【答案】1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y＝ax2+2ax+3a2+3=a（x+1）2+2a2+3，
∵ 当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∴a＞0，
∵ ﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴当x=1时，a（1+1）2+2a2+3=9
解之：a1=-3（舍去），a2=1，
∴a=1.
故答案为：1.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的增减性及当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，可得到a＞0，再根据﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，距离对称轴的距离越远的点的纵坐标越大，可得到当x=1时，y的最大值为9，据此可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值.
15．（2024九上·新会开学考）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB，BC于点D、E．若四边形ODBE的面积为12，则k的值为 ．
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点M作MG⊥x轴于点G，MH⊥y轴于点H，
∴∠OHM=∠OGM=90°，
∵矩形ABCO，
∴OM=BM，CM=AM，∠OCB=∠OAB=90°，
∴MH∥BC，MG∥AB，
∴四边形OHMG是矩形，
∴CO=2OH，OA=2OG，
∴S矩形OABC=4S矩形OHMG，
∵点，M、E、A在反比例函数y＝（x＞0）上，
∴S矩形OHMG=2S△OCE=2S△ADO=k，
∴S矩形OABC=4k，
∴S矩形OABC=S△OCE+S△ODA+S四边形ODBE=S矩形OHMG+S四边形ODBE=4k
∴k+12=4k
解之：k=4.
故答案为：4.
【分析】过点M作MG⊥x轴于点G，MH⊥y轴于点H，可证得∠OHM=∠OGM=90°，利用矩形的性质可证得OM=BM，CM=AM，∠OCB=∠OAB=90°，由此可推出MH∥BC，MG∥AB，可证得四边形OHMG是矩形，利用矩形的性质去证明S矩形OABC=4S矩形OHMG；再利用反比例函数的几何意义，可推出S矩形OABC=4k，据此可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
16．（2024九上·新会开学考）如图，正方形与正三角形的顶点重合，将绕其顶点旋转，在旋转过程中，当时，的大小是 ．
【答案】15°或
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图（1），当△AEF在正方形ABCD内部时，∵AB=AD，AE=AF，BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE=∠DAF=（∠BAD-∠EAF）=（90°-60°）=15°；
如图（2），当△AEF在正方形ABCD外部时，同理可证△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE=∠DAF，
∴∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF=∠DAE=（360°-∠BAD-∠EAF）=105°，
∴∠BAE=∠BAF+∠EAF=105°+60°=165°，
∴∠BAE的大小为15°或165°；
故答案为：15°或165°.
【分析】分两种情况：当△AEF在正方形ABCD内部时和当△AEF在正方形ABCD外部时，据此分别画出图形，利用三角形全等的判定与性质、正方形及等边三角形的性质分别求解即可.
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（2024九上·新会开学考）计算：．
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，再利用二次根式的乘法法则进行计算，然后合并即可.
18．（2024九上·新会开学考）2x2+4x﹣5＝0．
【答案】解：∵a=2，b=4，c=-5
∴b2-4ac=16-4×2×（-5）=56，
∴
∴
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】此一元二次方程是一般形式，先求出b2-4ac的值，然后代入一元二次方程的求根公式，即可求出方程的解.
19．（2024九上·新会开学考）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出将△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1；
（3）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ．
【答案】（1）解：见解析；
（2）解：见解析；
（3）（0，1）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（1）如图，△A1B1C1就是所求作的三角形；
（2）如图，△D1EF1就是所求作的三角形；
（3）∵△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，
∴这点是线段AD和线段CF的垂直平分线的交点，
∴这点的坐标为（0，1）.
故答案为：（0，1）.
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特点，作出点A，B，C关于原点对称的点A1，B1，C1，然后画出△1B1C1即可.
（2）利用旋转的性质，将△DEF绕点E逆时针旋转90°，可得到对称点D1，F1，然后画出△D1EF1即可.
（3）利用旋转的性质可知，各对称点到旋转中心的距离相等，旋转中心在各对称点连线的垂直平分线上，据此可得到这点的坐标.
20．（2024九上·新会开学考）随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷．如图，从甲镇到乙镇有乡村公路A和省级公路B两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路C、高速公路D和城市高架E三条路线．小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）．
（1）从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为 ▲ ．
（2）用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率．
【答案】（1）
（2）解：列树状图如下
一共有6种结果， 小华两段路程都选省级公路 只有1种情况，
∴ 小华两段路程都选省级公路的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵从甲镇到乙镇一共有2条路，小华所选路线是乡村公路A的只有1种情况，
∴从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率.
故答案为：.
【分析】（1）利用已知条件可知从甲镇到乙镇一共有2条路，小华所选路线是乡村公路A的只有1种情况，然后利用概率公式进行计算.
（2）根据题意列出树状图，根据树状图可得到所以等可能的结果数及小华两段路程都选省级公路的情况数，然后利用概率公式进行计算.
21．（2024九上·新会开学考）如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，.
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：直线与相切，
理由：如图，连接，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切；
（2）解：如（1）中图，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 直线BD与相切， 连接BE、OB，由同弧所对圆周角相等得∠AEB=∠C=60°，推出△OBE是等边三角形，则∠BOD=60° ，根据三角形的内角和定理得∠OBD=90°，据此可得结论；
（2）根据直径所对的圆周角是直角得∠ABE=90°，根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可算出AE、BD的长，最后根据图中阴影部分的面积=S△OBD-S扇形BOE，结合三角形的面积计算公式及扇形面积计算公式计算即可.
22．（2024九上·新会开学考）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在y轴上有一动点E，当EA+EB最小时，求点E的坐标；
（3）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求b的值．
【答案】（1）解：∵ 一次函数y＝x+5的图象与反比例函数（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点，
∴当x=-1时y=-1+5=4，
∴点A（-1，4），
∴k=-1×4=-4，
∴反比例函数的解析式为：
（2）解：作点A关于y轴对称的点A'，连接A'B，交y轴于点E，
∴AE=A'E，
∴AE+EB=A'E+BE=A'B，
∵两点之间线段最短，
∴此时AE+EB的值最小，最小值就是A'B的长；
∴点A'（1，4），
解之：
∴点B（-4，1），
设直线yA'B=kx+b
∴
解之：
∴直线A'B的函数解析式为，
当x=0时，
∴点
（3）解：将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），
∴平移后的函数解析式为y=-x+5-b，
∵ 使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，
∴
整理得：x2+（5-b）x+4=0
∴（5-b）2-16=0
解之：b＝1或9
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式，可求出点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值，即可得到反比例函数解析式.
（2）作点A关于y轴对称的点A'，连接A'B，交y轴于点E，可得到AE=A'E，由此可证得AE+EB=A'B，利用两点之间线段最短，可得到此时AE+EB的值最小，最小值就是A'B的长；同时可得到点A分包的坐标，利用待定系数法求出直线A'B的函数解析式，由x=0可求出对应的y的值，可得到点E的坐标.
（3）利用函数图象平移规律可得到平移后的函数解析式，将平移后的函数解析式和反比例函数解析式联立方程组，可得到关于x的方程，再根据 使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，可得到关于b的方程，解方程求出b的值.
23．（2024九上·新会开学考）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
（1）求：三月份每件产品的成本是多少万元？
（2）四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
【答案】（1）解：设y与x的函数解析式为y=kx+b，根据题意得
解之：
∴y=-2x+100，
当x=35时y=-2×35+100=30，
设三月份每件产品的成本是a元，根据题意得
30（35-a）=450
解之：a=20.
答：三月份每件产品的成本是20万元
（2）解：根据题意得
w=[x-（20-14）]y=（x-6）（-2x+100）-450=-2（x-28）2+518
∵四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，
∴25≤x≤30，
∵a=-2，抛物线的开口向下，
∴当25≤x＜28时，y随x的增大而增大，28＜x≤30时，y随x的增大而减小，
∴当x=25时，w有最小值=-2（25-28）2+518=500
∴ 最少利润是500万元
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用表中数据，可求出y与x的函数解析式，同时求出当x=35时y的值；设三月份每件产品的成本是a元，根据今年三月份的利润为450万元，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
（2）利用利润=每一件的利润×销售量-450，可得到w关于x的函数解析式，再根据四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，可得到x的取值范围，再利用二次函数的增减性，可求出w的最小值，即可求解.
24．（2024九上·新会开学考）综合运用
已知，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线的对称轴交x轴于点D，在抛物线对称轴上找点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标；（不需要证明）
（3）如图2，点F在对称轴上，以点F为圆心过A、B两点的圆与直线CE相切，求点F的坐标．
【答案】（1）解：∵ 抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），
∴设y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a，
∴-3a=3
解之：a=-1
∴y＝-（x+1）（x-3）=﹣x2+2x+3
（2）（1，6）或（1，）或（1，﹣）
（3）解：抛物线的顶点坐标E（1，4），
∴DE=3，
设直线CE的函数解析式为y=kx+b，
解之：
∴y=x+3；
设直线y=x+3交x轴于点H，
当y=0时，x=-3，
∴点H（-3，0），
∴OH=DE=3，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∴∠FEH=45°，
过点F作FG⊥CE于点G，连接AF，
∴∠EGF=90°，
∴△EGF是等腰直角三角形，
∴GE=GF=AF，
设点F（1，n），
∴FA2=4+n2，EF2=（n-4）2
在Rt△GFE中，GF2+GE2=EF2
∴2FA2=EF2
∴2（4+n2）=（n-4）2，
解之：，
∴F（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）
【知识点】切线的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（2）∵y＝﹣x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点P在抛物线的对称轴上，抛物线的对称轴交x轴于点D，
∴点D（1，0）
∴设点P（1，m），
当x=0时y=3，
∴点C（0，3）
PC2=1+（m-3）2，PD2=m2，CD2=12+32=10，
∵△PCD是以CD为腰的等腰三角形，
当PC=CD时，则1+（m-3）2=10
解之：m1=6，m2=0（舍去）
∴点P（1，6）；
当CD=-PD时，m2=10
解之：m3=，m4=，
∴点P（1，）或（1，﹣）
综上所述，点P的坐标为（1，6）或（1，）或（1，﹣）
【分析】（1）利用点A、B的坐标，设函数解析式为交点式，可确定出a的值，即可得到函数解析式.
（2）利用函数解析式，可得到抛物线的对称轴，再求出点C，D的坐标；设点P（1，m），利用直角坐标系中，两点间的距离公式，可求出PC2，PD2，CD2，根据△PCD是以CD为腰的等腰三角形，分情况讨论：当PC=CD时；当CD=-PD时；分别可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到符合题意的点P的坐标.
（3）利用函数解析式可得到点E的坐标，利用待定系数法求出直线CE的函数解析式，设直线y=x+3交x轴于点H，过点F作FG⊥CE于点G，连接AF，可得到点H的坐标，同时可证得△DEH是等腰直角三角形，由此可推出△EGF是等腰直角三角形，可证得GE=GF=AF；设点F（1，n），可表示出FA2，EF2，利用勾股定理可得到关于n的方程，解方程求出n的值，可得到点F的坐标.
25．（2024九上·新会开学考）△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF，连接BF，交DE于点M．
（1）如图1，当点E为BC中点时，线段DM与EM的数量关系是 ；
（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当BC＝6，CE＝2时，请求出DM的长．
【答案】（1）DM＝EM
（2）（1）中的结论成立，
理由：连接BD，DF，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BAD=∠CAE，∠ACE=180°-∠ACB=180°-60°=120°，
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE=120°，
∴∠DBE=∠ABD-∠ABC=120°-60°=60°，
∵∵将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF，
∴CE=EF=BD，∠CEF=120°，
∴∠CEF+∠BDE=120°+60°=180°，
∴BD∥EF，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴DM=ME
（3）解：∵点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），
∴点E可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上，
当点E在线段BC上时，过点A作AC⊥BC于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴BG=CG=BC=×6=3，BC=AB=6，
∴，
∵EG=CG-EC=3-2=1，
∴，
∵△ADE是等边三角形，
∴
由（2）可知DM=ME，
∴
当点E在BC的延长线上时，过点A作AG⊥BC于点G，连接BD，
由（2）可知DM=ME，
∴∠AGE=90°，EG=CE+CG=2+3=5，
∴，
∵△ADE是等边三角形，
∴
∴.
∴DM的长为或
【知识点】旋转的性质；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）结论：DM=EM.
理由：∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，
∴BE=CE，∠BAE=∠BAC=×60°=30°，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠DAM=∠DAE-∠BAE=60°-30°=30°，
∴∠DAM=∠BAE，
∴AM平分∠DAE，
∴AM⊥BF，
∴DM=ME.
故答案为：DM=EM.
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得BE=CE，∠DAE=60°，可求出∠BAE、∠DAM的度数，可推出∠DAM=∠BAE，再利用等边三角形的性质可证得结论.
（2）连接BD，DF，利用等边三角形的性质可证得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ABC=∠ACB=60°，可推出∠BAD=∠CAE，∠ACE=120°，利用SAS可证得△ABD≌△ACE，利用全等三角形的性质可证BD=CE，∠ABD=∠ACE=120°，即可求出∠DBE的度数；再利用旋转的性质可推出BD=CE，∠ABD=∠ACE=120°，由此可证得∠CEF+∠BDE=180°，利用平行线的判定可推出BD评选EF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形BDFE是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得结论.
（3）根据点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），分情况讨论：当点E在线段BC上时，过点A作AC⊥BC于点G，利用等边三角形的性质可求出BG、CG的长，利用勾股定理求出AG的长，可得到EG的长，利用勾股定理求出AE的长；再利用等边三角形的性质理智的ED=AE，由（2）可知DM=ME，即可求出DM的长；当点E在BC的延长线上时，过点A作AG⊥BC于点G，连接BD，由（2）可知DM=ME，可得到EG的长，利用勾股定理求出AE的长，可得到DE的长，然后求出DM的长；综上所述，可得到DM的长.
广东省江门市新会区尚雅中学2024-2025学年上学期九年级数学开学考试试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024九上·新会开学考）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·新会开学考）下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．明天要下雨 B．|a|≥0
C．﹣2＞﹣1 D．打开电视机，它正在播广告
3．（2024九上·新会开学考）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3
C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
4．（2024九上·新会开学考）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·新会开学考）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化．设修建的道路宽为x米，如果绿化面积为y米2，那么y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y＝8000﹣100x﹣80x B．y＝（100﹣x）（80﹣x）+x2
C．y＝（100﹣x）（80﹣x） D．y＝100x+80x
6．（2024九上·新会开学考）若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x1＜x2
7．（2024九上·新会开学考）将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·新会开学考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
9．（2024九上·新会开学考）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C'，以下结论：①BC＝B'C'，②AC∥C'B'，③C'B'⊥BB'，④∠ABB'＝∠ACC'，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．（2024九上·新会开学考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣2，0）对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜4；⑤9a+c＞3b，其中正确的结论序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024九上·新会开学考）若关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为 ．
12．（2024九上·新会开学考）如图是某同学的微信二维码，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 ．
13．（2024九上·新会开学考）如图，PA、PB切⊙O于A、B，点C在 上，DE切⊙O于C交PA、PB于D、E，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，则△PDE的周长是 ．
14．（2024九上·新会开学考）已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为 ．
15．（2024九上·新会开学考）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB，BC于点D、E．若四边形ODBE的面积为12，则k的值为 ．
16．（2024九上·新会开学考）如图，正方形与正三角形的顶点重合，将绕其顶点旋转，在旋转过程中，当时，的大小是 ．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（2024九上·新会开学考）计算：．
18．（2024九上·新会开学考）2x2+4x﹣5＝0．
19．（2024九上·新会开学考）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出将△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1；
（3）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ．
20．（2024九上·新会开学考）随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷．如图，从甲镇到乙镇有乡村公路A和省级公路B两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路C、高速公路D和城市高架E三条路线．小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）．
（1）从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为 ▲ ．
（2）用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率．
21．（2024九上·新会开学考）如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，.
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求图中阴影部分的面积.
22．（2024九上·新会开学考）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在y轴上有一动点E，当EA+EB最小时，求点E的坐标；
（3）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求b的值．
23．（2024九上·新会开学考）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
（1）求：三月份每件产品的成本是多少万元？
（2）四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
24．（2024九上·新会开学考）综合运用
已知，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线的对称轴交x轴于点D，在抛物线对称轴上找点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标；（不需要证明）
（3）如图2，点F在对称轴上，以点F为圆心过A、B两点的圆与直线CE相切，求点F的坐标．
25．（2024九上·新会开学考）△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF，连接BF，交DE于点M．
（1）如图1，当点E为BC中点时，线段DM与EM的数量关系是 ；
（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当BC＝6，CE＝2时，请求出DM的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、明天要下雨，此事件是随机事件，故A不符合题意；
B、|a|≥0，此事件是必然事件，故B符合题意；
C、-2＞-1，此事件是不可能事件，故C不符合题意；
D、打开电视机，它正在播广告，此事件是随机事件，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】在一定条件下，一定会发生的事件，叫必然事件，再对各选项逐一判断，可得答案.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： ∵将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，
则就是将函数图象向下平移2个单位，再向右平移3个单位，
∴该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为：y＝3（x﹣2-3）2+1-2即y＝3（x﹣5）2-1.
故答案为：C.
【分析】利用二次函数图象平移的规律：上加下减，左加右减；根据题意可知就是将函数图象向下平移2个单位，再向右平移3个单位，据此可得到平移后的函数解析式.
4．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】根据题意，设三个宣传队分别为 列表如下：
小华\小丽
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是 ．
故答案为：C
【分析】根据题意列出表格求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
5．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设修建的道路宽为x米，如果绿化面积为y米2，根据题意得
y＝（100﹣x）（80﹣x）
故答案为：C.
【分析】利用图形的平移可得到绿化的长和宽，再利用矩形的面积公式可得到y与x的函数解析式.
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=10＞0，
∴当x＞0时y＞0，当x＜0时，y＜0，
∴x1＜0，x2＞0，x3＞0，
∵在每一个象限y随x的增大而减小，2＜5，
∴x2＞x3＞0，
∴x1＜x3＜x2.
故答案为：C.
【分析】利用k的值几点A，B，C的坐标，可知x1＜0，x2＞0，x3＞0，再利用反比例函数的增减性，可知在每一个象限y随x的增大而减小，可得到x2＞x3＞0，据此可得到x1，x2，x3的大小关系.
7．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵将圆对折三次，
∴∠AOB=360°÷23=45°，
∴展开后得到的多边形是正八边形，
∴此多边形的内角和为（8-2）×180°=1080°，
虚线①所对的圆弧长.
故答案为：C.
【分析】利用将圆对折三次，可得到将360° 的圆周角分成8等分，可求出∠AOB的度数，同时求出展开后得到的多边形的内角和的度数；然后利用弧长公式可求出虚线①所对的圆弧长.
8．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，设AO与BC交于点D．
∵∠AOB=60°， ，
∴∠C= ∠AOB=30°，
又∵AB=AC，
∴
∴AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴在直角△ACD中，CD=AC cos30°=2× = ，
∴BC=2CD=2 ．
故选：C．
【分析】如图，首先证得OA⊥BC；然后由圆周角定理推知∠C=30°，通过解直角△ACD可以求得CD的长度．则BC=2CD．
9．【答案】B
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C'，
∴△ABC≌△AB'C'，∠C'AC=∠BAB'=50°，AB=AB'，AC=AC'，
∴BC=B'C'，故①正确；
∴∠AB'C'=∠ABC=30°，
∴∠B'AC=∠C'AC-∠C'AB'=50°-20°=30°，
∴∠B'AC=∠AB'C'，
∴AC∥C'B'，故②正确；
∵AB=AB'，AC=AC'，∠C'AC=∠BAB'，
∴∠ABB'=∠AB'B，∠ACC'=∠AC'C，
∴∠ABB'=∠ACC'，故④正确；
∴∠ABB'=（180°-∠BAB'）=（180°-50°）=65°，
∴∠C'B'B=∠AB'C'+∠ABB'=30°+65°=95°，
∴C'B'与BB'不垂直，故③错误；
∴正确结论的序号为①②④
故答案为：B.
【分析】利用旋转的性质可证得△ABC≌△AB'C'，∠C'AC=∠BAB'=50°，AB=AB'，AC=AC'，可证得BC=B'C'，可对①作出判断；再求出∠B'AC'的度数，据此可推出∠B'AC'=∠AB'C'，可对②作出判断；利用等腰三角形的性质可证得∠ABB'=∠AB'B，∠ACC'=∠AC'C，据此可推出∠ABB'=∠ACC'，可对④作出判断；然后求出∠C'B'B的度数，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，抛物线交于y轴的正半轴，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴b=-2a，
∴2a-b=4a＜0，故②错误；
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点为（-2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），
由图象可知
当-2＜x＜4时，y＞0，故④正确；
∵当x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0即9a+c＜3b，故⑤错误；
∴正确结论的序号为①③④ .
故答案为：①③④ .
【分析】观察图象可知抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，抛物线交于y轴的正半轴，可确定出a、b、c的取值范围，可对①作出判断；利用抛物线的对称轴为直线x=1，可对②作出判断；利用抛物线与x轴的交点个数，可对③作出判断；利用二次函数的对称性，可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，观察图象，可得到y＞0时x的取值范围，可对④作出判断；由图象可知当y＞0时x的取值范围，可对⑤作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
11．【答案】x=-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a=1，b=k，c=-2，
∴x1 x2==-2．
∵关于x的一元二次方程x2+kx-2=0的一个根为x=1，
∴另一个根为x=-2÷1=-2．
故答案为：x=-2．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得另一个根。
12．【答案】1.6
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：边长为正方形面积为，
设黑色部分的总面积为，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先计算正方形的面积，设黑色部分的总面积为xcm2，根据发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
13．【答案】24cm
【知识点】勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA、OB，如图所示：
∵PA、PB为圆的两条切线，
∴由切线长定理可得：PA=PB，
同理可知：DA=DC，EC=EB；
∵OA⊥PA，OA=5cm，PO=13cm，
∴在Rt△POA中，由勾股定理得：
PA= cm，
∴PA=PB=12cm；
∵△PDE的周长=PD+DC+CE+PE，DA=DC，EC=EB；
∴△PDE的周长=PD+DA+PE+EB=PA+PB=24cm，
故答案为：24cm.
【分析】连接OA、OB，根据切线长定理可以得到PA=PB，DA=DC，EC=EB；再利用勾股定理求出PA的长，最后利用三角形的周长公式计算即可。
14．【答案】1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y＝ax2+2ax+3a2+3=a（x+1）2+2a2+3，
∵ 当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∴a＞0，
∵ ﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴当x=1时，a（1+1）2+2a2+3=9
解之：a1=-3（舍去），a2=1，
∴a=1.
故答案为：1.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的增减性及当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，可得到a＞0，再根据﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，距离对称轴的距离越远的点的纵坐标越大，可得到当x=1时，y的最大值为9，据此可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值.
15．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点M作MG⊥x轴于点G，MH⊥y轴于点H，
∴∠OHM=∠OGM=90°，
∵矩形ABCO，
∴OM=BM，CM=AM，∠OCB=∠OAB=90°，
∴MH∥BC，MG∥AB，
∴四边形OHMG是矩形，
∴CO=2OH，OA=2OG，
∴S矩形OABC=4S矩形OHMG，
∵点，M、E、A在反比例函数y＝（x＞0）上，
∴S矩形OHMG=2S△OCE=2S△ADO=k，
∴S矩形OABC=4k，
∴S矩形OABC=S△OCE+S△ODA+S四边形ODBE=S矩形OHMG+S四边形ODBE=4k
∴k+12=4k
解之：k=4.
故答案为：4.
【分析】过点M作MG⊥x轴于点G，MH⊥y轴于点H，可证得∠OHM=∠OGM=90°，利用矩形的性质可证得OM=BM，CM=AM，∠OCB=∠OAB=90°，由此可推出MH∥BC，MG∥AB，可证得四边形OHMG是矩形，利用矩形的性质去证明S矩形OABC=4S矩形OHMG；再利用反比例函数的几何意义，可推出S矩形OABC=4k，据此可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
16．【答案】15°或
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图（1），当△AEF在正方形ABCD内部时，∵AB=AD，AE=AF，BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE=∠DAF=（∠BAD-∠EAF）=（90°-60°）=15°；
如图（2），当△AEF在正方形ABCD外部时，同理可证△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE=∠DAF，
∴∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF=∠DAE=（360°-∠BAD-∠EAF）=105°，
∴∠BAE=∠BAF+∠EAF=105°+60°=165°，
∴∠BAE的大小为15°或165°；
故答案为：15°或165°.
【分析】分两种情况：当△AEF在正方形ABCD内部时和当△AEF在正方形ABCD外部时，据此分别画出图形，利用三角形全等的判定与性质、正方形及等边三角形的性质分别求解即可.
17．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，再利用二次根式的乘法法则进行计算，然后合并即可.
18．【答案】解：∵a=2，b=4，c=-5
∴b2-4ac=16-4×2×（-5）=56，
∴
∴
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】此一元二次方程是一般形式，先求出b2-4ac的值，然后代入一元二次方程的求根公式，即可求出方程的解.
19．【答案】（1）解：见解析；
（2）解：见解析；
（3）（0，1）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（1）如图，△A1B1C1就是所求作的三角形；
（2）如图，△D1EF1就是所求作的三角形；
（3）∵△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，
∴这点是线段AD和线段CF的垂直平分线的交点，
∴这点的坐标为（0，1）.
故答案为：（0，1）.
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特点，作出点A，B，C关于原点对称的点A1，B1，C1，然后画出△1B1C1即可.
（2）利用旋转的性质，将△DEF绕点E逆时针旋转90°，可得到对称点D1，F1，然后画出△D1EF1即可.
（3）利用旋转的性质可知，各对称点到旋转中心的距离相等，旋转中心在各对称点连线的垂直平分线上，据此可得到这点的坐标.
20．【答案】（1）
（2）解：列树状图如下
一共有6种结果， 小华两段路程都选省级公路 只有1种情况，
∴ 小华两段路程都选省级公路的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵从甲镇到乙镇一共有2条路，小华所选路线是乡村公路A的只有1种情况，
∴从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率.
故答案为：.
【分析】（1）利用已知条件可知从甲镇到乙镇一共有2条路，小华所选路线是乡村公路A的只有1种情况，然后利用概率公式进行计算.
（2）根据题意列出树状图，根据树状图可得到所以等可能的结果数及小华两段路程都选省级公路的情况数，然后利用概率公式进行计算.
21．【答案】（1）解：直线与相切，
理由：如图，连接，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切；
（2）解：如（1）中图，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 直线BD与相切， 连接BE、OB，由同弧所对圆周角相等得∠AEB=∠C=60°，推出△OBE是等边三角形，则∠BOD=60° ，根据三角形的内角和定理得∠OBD=90°，据此可得结论；
（2）根据直径所对的圆周角是直角得∠ABE=90°，根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可算出AE、BD的长，最后根据图中阴影部分的面积=S△OBD-S扇形BOE，结合三角形的面积计算公式及扇形面积计算公式计算即可.
22．【答案】（1）解：∵ 一次函数y＝x+5的图象与反比例函数（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点，
∴当x=-1时y=-1+5=4，
∴点A（-1，4），
∴k=-1×4=-4，
∴反比例函数的解析式为：
（2）解：作点A关于y轴对称的点A'，连接A'B，交y轴于点E，
∴AE=A'E，
∴AE+EB=A'E+BE=A'B，
∵两点之间线段最短，
∴此时AE+EB的值最小，最小值就是A'B的长；
∴点A'（1，4），
解之：
∴点B（-4，1），
设直线yA'B=kx+b
∴
解之：
∴直线A'B的函数解析式为，
当x=0时，
∴点
（3）解：将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），
∴平移后的函数解析式为y=-x+5-b，
∵ 使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，
∴
整理得：x2+（5-b）x+4=0
∴（5-b）2-16=0
解之：b＝1或9
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式，可求出点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值，即可得到反比例函数解析式.
（2）作点A关于y轴对称的点A'，连接A'B，交y轴于点E，可得到AE=A'E，由此可证得AE+EB=A'B，利用两点之间线段最短，可得到此时AE+EB的值最小，最小值就是A'B的长；同时可得到点A分包的坐标，利用待定系数法求出直线A'B的函数解析式，由x=0可求出对应的y的值，可得到点E的坐标.
（3）利用函数图象平移规律可得到平移后的函数解析式，将平移后的函数解析式和反比例函数解析式联立方程组，可得到关于x的方程，再根据 使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，可得到关于b的方程，解方程求出b的值.
23．【答案】（1）解：设y与x的函数解析式为y=kx+b，根据题意得
解之：
∴y=-2x+100，
当x=35时y=-2×35+100=30，
设三月份每件产品的成本是a元，根据题意得
30（35-a）=450
解之：a=20.
答：三月份每件产品的成本是20万元
（2）解：根据题意得
w=[x-（20-14）]y=（x-6）（-2x+100）-450=-2（x-28）2+518
∵四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，
∴25≤x≤30，
∵a=-2，抛物线的开口向下，
∴当25≤x＜28时，y随x的增大而增大，28＜x≤30时，y随x的增大而减小，
∴当x=25时，w有最小值=-2（25-28）2+518=500
∴ 最少利润是500万元
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用表中数据，可求出y与x的函数解析式，同时求出当x=35时y的值；设三月份每件产品的成本是a元，根据今年三月份的利润为450万元，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
（2）利用利润=每一件的利润×销售量-450，可得到w关于x的函数解析式，再根据四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，可得到x的取值范围，再利用二次函数的增减性，可求出w的最小值，即可求解.
24．【答案】（1）解：∵ 抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），
∴设y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a，
∴-3a=3
解之：a=-1
∴y＝-（x+1）（x-3）=﹣x2+2x+3
（2）（1，6）或（1，）或（1，﹣）
（3）解：抛物线的顶点坐标E（1，4），
∴DE=3，
设直线CE的函数解析式为y=kx+b，
解之：
∴y=x+3；
设直线y=x+3交x轴于点H，
当y=0时，x=-3，
∴点H（-3，0），
∴OH=DE=3，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∴∠FEH=45°，
过点F作FG⊥CE于点G，连接AF，
∴∠EGF=90°，
∴△EGF是等腰直角三角形，
∴GE=GF=AF，
设点F（1，n），
∴FA2=4+n2，EF2=（n-4）2
在Rt△GFE中，GF2+GE2=EF2
∴2FA2=EF2
∴2（4+n2）=（n-4）2，
解之：，
∴F（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）
【知识点】切线的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（2）∵y＝﹣x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点P在抛物线的对称轴上，抛物线的对称轴交x轴于点D，
∴点D（1，0）
∴设点P（1，m），
当x=0时y=3，
∴点C（0，3）
PC2=1+（m-3）2，PD2=m2，CD2=12+32=10，
∵△PCD是以CD为腰的等腰三角形，
当PC=CD时，则1+（m-3）2=10
解之：m1=6，m2=0（舍去）
∴点P（1，6）；
当CD=-PD时，m2=10
解之：m3=，m4=，
∴点P（1，）或（1，﹣）
综上所述，点P的坐标为（1，6）或（1，）或（1，﹣）
【分析】（1）利用点A、B的坐标，设函数解析式为交点式，可确定出a的值，即可得到函数解析式.
（2）利用函数解析式，可得到抛物线的对称轴，再求出点C，D的坐标；设点P（1，m），利用直角坐标系中，两点间的距离公式，可求出PC2，PD2，CD2，根据△PCD是以CD为腰的等腰三角形，分情况讨论：当PC=CD时；当CD=-PD时；分别可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到符合题意的点P的坐标.
（3）利用函数解析式可得到点E的坐标，利用待定系数法求出直线CE的函数解析式，设直线y=x+3交x轴于点H，过点F作FG⊥CE于点G，连接AF，可得到点H的坐标，同时可证得△DEH是等腰直角三角形，由此可推出△EGF是等腰直角三角形，可证得GE=GF=AF；设点F（1，n），可表示出FA2，EF2，利用勾股定理可得到关于n的方程，解方程求出n的值，可得到点F的坐标.
25．【答案】（1）DM＝EM
（2）（1）中的结论成立，
理由：连接BD，DF，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BAD=∠CAE，∠ACE=180°-∠ACB=180°-60°=120°，
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE=120°，
∴∠DBE=∠ABD-∠ABC=120°-60°=60°，
∵∵将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF，
∴CE=EF=BD，∠CEF=120°，
∴∠CEF+∠BDE=120°+60°=180°，
∴BD∥EF，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴DM=ME
（3）解：∵点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），
∴点E可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上，
当点E在线段BC上时，过点A作AC⊥BC于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴BG=CG=BC=×6=3，BC=AB=6，
∴，
∵EG=CG-EC=3-2=1，
∴，
∵△ADE是等边三角形，
∴
由（2）可知DM=ME，
∴
当点E在BC的延长线上时，过点A作AG⊥BC于点G，连接BD，
由（2）可知DM=ME，
∴∠AGE=90°，EG=CE+CG=2+3=5，
∴，
∵△ADE是等边三角形，
∴
∴.
∴DM的长为或
【知识点】旋转的性质；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）结论：DM=EM.
理由：∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，
∴BE=CE，∠BAE=∠BAC=×60°=30°，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠DAM=∠DAE-∠BAE=60°-30°=30°，
∴∠DAM=∠BAE，
∴AM平分∠DAE，
∴AM⊥BF，
∴DM=ME.
故答案为：DM=EM.
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得BE=CE，∠DAE=60°，可求出∠BAE、∠DAM的度数，可推出∠DAM=∠BAE，再利用等边三角形的性质可证得结论.
（2）连接BD，DF，利用等边三角形的性质可证得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ABC=∠ACB=60°，可推出∠BAD=∠CAE，∠ACE=120°，利用SAS可证得△ABD≌△ACE，利用全等三角形的性质可证BD=CE，∠ABD=∠ACE=120°，即可求出∠DBE的度数；再利用旋转的性质可推出BD=CE，∠ABD=∠ACE=120°，由此可证得∠CEF+∠BDE=180°，利用平行线的判定可推出BD评选EF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形BDFE是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得结论.
（3）根据点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），分情况讨论：当点E在线段BC上时，过点A作AC⊥BC于点G，利用等边三角形的性质可求出BG、CG的长，利用勾股定理求出AG的长，可得到EG的长，利用勾股定理求出AE的长；再利用等边三角形的性质理智的ED=AE，由（2）可知DM=ME，即可求出DM的长；当点E在BC的延长线上时，过点A作AG⊥BC于点G，连接BD，由（2）可知DM=ME，可得到EG的长，利用勾股定理求出AE的长，可得到DE的长，然后求出DM的长；综上所述，可得到DM的长.
