2024—2025学年高二期中考试
数 学 试 题
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为 120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设直线l:x-2y-6=0的倾斜角为α,则 tanα的值为
A.2 B.-2 C.
2.已知直线3x-my-8=0平分圆( 的周长，则m=
A.2 B.1 C. D.4
3.已知直线l的一个方向向量为m=(2,1,-4),平面α的一个法向量为n=(3,2,t),若l∥α,则t=
A.1 B.2 C.3 D.4
4.在四面体ABCD 中, 若 则λ=
A. B. C. D.
5.已知椭圆 的离心率为 ，且点 F(0，-1)为椭圆C 的一个焦点，则椭圆C与直线y=1在第一象限的交点为
D.( ,1)
6.圆C 与圆D: 的公切线的条数为
A.1 B.2 C.3 D.4
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7.若双曲线 的右焦点F(c，0)到其渐近线的距离为 ，则双曲线的离心率为
8.如图，在棱长为2的正方体.ABCD-A B C D 中,M 为线段A D 的中点，N 为线段CD 上的动点，则直线 C D 与直线MN 所成角的余弦值的最大值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知圆C 直线l:2x+(a+1)y-1+a=0(a∈R),则
A.直线l 恒过定点(1,-1)
B.直线l与圆C有两个交点
C.当a=1时，圆C上恰有四个点到直线l的距离等于1
D.圆C上的点到直线l 的最大距离是
10.在棱长为2的正方体ABCD-A B C D 中,E为BC 的中点,点 P 在底面ABCD 内(含边界)移动,且满足B P⊥D E,则
A. D E 与平面CC D D 所成角的正弦值为
B.点 A 到D E 的距离为
C.线段 B P 的长度的最大值为2
的取值范围是
11.已知椭圆 与双曲线E: 有相同的焦点 F ，F ，且它们的离心率之积为 ，点P 是C 与E 的一个公共点，则
A.椭圆 C 的方程为
C.△PF F 为等腰三角形 D.对于 E 上的任意一点Q,
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中,点A(-1,1,3),点 B(4,-5,7),点 C(1,0,2),则AB在CA方向上的投影向量的坐标为 .
13.如图，赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名.赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥.这座桥的拱顶离水面 1.6m时，水面宽6.4m ，当水面的宽度为8 m时，水面下降了 m.
14.已知点 A 是圆C: 上的动点，点B(4，2)，则线段 AB 的中点 D 的轨迹方程是 ；若直线l：x-2y+4=0，F为直线l上的动点，过点 F 作点D 的轨迹的切线，切点为M,N,设E(2,1),当四边形MENF 的面积最小时,面积为 .(第一空2分,第二空3分)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)已知△ABC的顶点C(6,-2),顶点 A 在x轴上,BC 边上的高所在的直线方程为x+2y-2=0,AC边上的中线所在的直线方程为x-y+m=0.
(1)求直线 BC 的方程;
(2)求 m 的值.
16.(15 分)如图,在六棱柱. 中,底面 ABCDEF 是正六边形,设
(1)用a,b,c分别表示
(2)若 求：
( )AE .
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17.(15分)已知抛物线C 的焦点为F.
(1)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程；
(2)过焦点 F 的直线l 与抛物线交于M，N两点，若 求线段 MN 的长.
18.(17分)已知直线l:(2a+1)x+(a+2)y=7a+8,圆C
(1)当a为何值时，直线l 被圆C 截得的弦最长 当a 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦最短
(2)是否存在a，使得直线l 被圆C 截得的弦长为 若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.
19.(17分)已知椭圆C 的焦距为 分别为椭圆C 的左、右焦点，过 的直线l与椭圆C交于M，N两点， 的周长为8.
(1)求椭圆C 的标准方程.
(2)对于 ，是否存在实数k，使得直线 分别交椭圆于点 P ，Q，且 |DQ| 若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.
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