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甘肃省2025年初中毕业、高中招生考试
数学 仿真模拟卷(二)
考生注意:本试卷满分为150分,考试时间为120分钟.
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项.
1.下列实数是无理数的是 ( )
A. B. C. D.-5
2. 如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮,其形对称,呈扁矮方柱状,内圆外方,前后穿圆孔,两端留有短射,蕴含古人“璧圆象天,琮方象地”的天地思想.下列是该玉琮俯视图的是 ( )
第2题图 A B C D
3.下列运算正确的是 ( )
A.2x4÷x3=2x B.(x3)4=x7 C.x4+x3=x7 D.x3·x4=x12
4.一次函数y=kx+b中,y随x的增大而减小,b<0,则这个函数的图象不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.如图所示,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,E为AD上一点,∠CED=50°,则∠ABE等于 ( )
第5题图
A.10° B.15° C.20° D.25°
6. 一只杯子静止在斜面上,其受力分析如图所示,重力G的方向竖直向下,支持力F1的方向与斜面垂直,摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α=25°,则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为 ( )
第6题图
A.155° B.125° C.115° D.65°
7.将正整数按如图所示的规律排列下去,若有序实数对(n,m)表示第n排,从左到右第m个数,如(4,2)表示9,则表示15的有序数对是 ( )
第7题图
A.(5,5) B.(5,3) C.(3,5) D.(5,4)
8. 由于甘肃“天水麻辣烫”在网上爆火,吸引了全国很多游客,为了给游客带来更便捷的体验,当地开通了天水火车站和天水南站两条“麻辣烫”公交专线.据介绍,想要成就一份香喷喷的麻辣烫,甘谷辣椒、秦安花椒、武山蔬菜、手擀粉缺一不可,为了了解外地游客对麻辣烫口味的喜爱程度,当地相关部门随机调查了部分尝过麻辣烫的游客的意见(A不满意;B一般;C非常满意;D较满意;E不清楚.五者任选其一),根据调查情况进行统计,绘制了如图所示的不完整的统计图.根据统计图中的信息,下列结论错误的是( )
图1 图2
第8题图
A.选择“C非常满意”的人数最多
B.抽样调查的样本容量是240
C.样本中“A不满意”的百分比为10%
D.若周末到天水吃“麻辣烫”的人数为8000人,则觉得口味“B一般”的人数大约为1600人
9.用破损量角器按如图方式测量∠ABC的度数,让∠ABC的顶点恰好在量角器圆弧上,两边分别经过圆弧上的A,C两点.若点A,C对应的刻度分别为55°,135°,则∠ABC的度数为 ( )
第9题图
A.130° B.135° C.140° D.145°
10.如图1,在矩形ABCD中,E为AD边的中点,∠EBC=60°,动点P从点B出发,沿BE→ED→DC匀速运动,运动到点C时停止,过点P向BC作垂线,垂足为Q.设点P的运动路程为x,△BPQ的面积为y,y与x的函数图象如图2所示,则AB的长为 ( )
图1 图2
第10题图
A.2 B.4 C.2 D.4
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
11.因式分解:2x2y+4x= .
12. 已知a,b是一元二次方程x2-x-3=0的两个不相等的实数根,则a2-a+ab的值为 .
13. 现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示,它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成,如果其中正方形和等边三角形的边长都为a,等边三角形的高为b,那么这个印章的表面积为 .
第13题图
14. 我们规定“※”是一种新定义运算符号,即A※B=(A-3)×(-2)+B,例如:1※2=(1-3)×(-2)+2=6,计算(-3)※[4※(-2)]= .
15.如图1是小区围墙上的花窗,其形状是扇形的一部分,图2是其几何示意图(阴影部分为花窗).通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°,OA=1 m,点C,D分别为OA,OB的中点,则花窗的面积为 m2.
图1 图2
第15题图
16.如图是一张菱形纸片ABCD,其中∠D=45°,AB=+1,E为BC边上一点,将纸片沿AE翻折,点B的对应点为B';将纸片再沿AB'翻折,点E的对应点为E'.当AE'与菱形的边CB垂直时,BE的长为 .
第16题图
三、解答题:本大题共6小题,共46分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(6分)计算:4÷2+×.
18.(6分)解不等式组:,并在数轴上把解集表示出来.
19.(6分)化简:( +1)÷.
20.(8分)中国古代数学家李之铉在其著作《几何易简集》中记载了这样一道题:
原文 释义
甲乙为定直线,以甲为圆心,以任意之半径截于丙; 又以丙为圆心,以同度之半径作弧而得交点丁; 以丁为圆心,丁丙为半径画弧,连丙丁而引长之则得交点戊; 戊甲相连. 如图,已知射线AB,以点A为圆心,以任意长为半径画弧,交射线AB于点C; 以点C为圆心,以 AC长为半径画弧,与前面所画的弧交于点D; 以点D为圆心,以CD长为半径画弧,交CD的延长线于点E; 连接AE.
(1)请你只用直尺和圆规,根据上述步骤完成作图;(保留作图痕迹)
(2)求证:AB⊥AE.
第20题图
21.(10分)小华利用假期的时间到甘肃旅游,众多的旅游景点让小华难以抉择,于是小华将扑克牌中“A”的四种花色分别记为莫高窟(红桃A),嘉峪关(梅花A),敦煌雅丹国家地质公园(方片A),崆峒山(黑桃A),随后将这四张扑克牌正面朝下,从中随机抽取一张,作为自己的第一站旅游地点.
(1)求小华抽中敦煌雅丹国家地质公园的概率;
(2)小华发现他的朋友也正在甘肃旅游,且他的朋友明天将会从莫高窟、嘉峪关、敦煌雅丹国家地质公园这三个景点中任意选择一个游览.若他们按照各自的旅游线路进行游览,请用列表或画树状图的方法,求小华和他的朋友明天去同一个景点的概率.
22. (10分)某学习小组在物理实验结束后,利用实验装置探究几何测量问题.
课题 探究物理实验装置中的几何测量问题
成员 组长:××× 组员:×××,×××,×××
实验工具 测角仪,皮尺,摄像机等
方案设计 方案一 方案二
测量方案 示意图 (已知PC⊥AC) (已知PB⊥AC)
说明 点P为摄像机的位置,小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑,点A为小车从斜面到达水平面的位置,点C 为木块的位置
测量数据 AB=4米,∠PBC=40°,∠PAB=15° AC=5.9米,∠PCB=40°,∠PAB=22°
请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线AB的竖直距离.(结果精确到0.1米.参考数据:tan40°≈0.84,tan15°≈0.27,tan22°≈0.40)
四、解答题:本大题共5小题,共50分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23. (8分)甘肃省公用品牌“甘味”中的区域品牌“兰州百合”荣登农业产业品牌百强榜,甘肃某地区为深入推进乡村振兴产业发展,采购了A,B两种型号包装机同时包装百合,某质检部门从已包装好的产品中随机各抽取10袋测得实际质量(单位:g),规定质量在(500±5)g为合格产品.将所得数据进行收集整理,部分信息如下:
信息一:A,B两种型号包装机包装的每袋百合质量的折线统计图:
第23题图
信息二:A,B两种型号包装机包装的每袋百合质量的统计表:
统计量 型号 平均数 中位数 众数 合格率
A型 504.8 m 508 30%
B型 504.8 505 505 60%
请根据以上信息,回答下列问题:
(1)表格中的m= ;
(2)根据统计图来看, 型号包装机包装的百合的质量比较稳定;(填“A”或“B”)
(3)综合以上信息,你认为该地区应选择哪种型号的包装机包装百合较为合适 并说明理由.
24.(10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b的图象与x轴,y轴分别交于A,B(0,2)两点,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点C,且AB=2BC.
(1)求一次函数的表达式;
(2)设D是x轴上的一个动点,线段CD与反比例函数y=(x>0)的图象交于另一点E,连接AE,当AE平分△ACD的面积时,求点D的坐标.
第24题图
25.(10分)如图,△ABD内接于☉O,AB是☉O的直径,C为劣弧BD的中点,AC与BD相交于点E,延长EC到点F,使FB=EB.
(1)求证:BF是☉O的切线;
(2)若tan∠FBE=,DB=6,求☉O的直径AB的长.
第25题图
26.(10分)在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E,在直线m上方有AB=AC,且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α.
【模型建立】
(1)如图1,当α=90°时,用等式写出线段DE,BD,CE的数量关系,并说明理由;
【模型应用】
(2)如图2,当0°<α<180°时,问题(1)中结论是否仍然成立 若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
【模型迁移】
(3)如图3,当α=120°时,F为∠BAC平分线上的一点,且AB=AF,分别连接FB,FD,FE,FC,试判断△DEF的形状,并说明理由.
图1 图2 图3
第26题图
27.(12分)如图1,抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=-x+3经过B,C两点.
(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式;
(2)点M从点B出发,沿线段BC方向匀速运动,运动到点C时停止.在图1中过点M作MP⊥OB交抛物线于点P,连接PC,当△CMP是以CP为底边的等腰三角形时,求此三角形的腰长;
(3)如图2,Q为抛物线第一象限上的一动点,连接QC,QB,求△QBC面积的最大值,并求出此时点Q的坐标.
图1 图2
第27题图
甘肃省2025年初中毕业、高中招生考试
数学 仿真模拟卷(二)
1.A 2.D 3.A 4.A 5.C 6.C 7.A 8.B 9.C 10.C
11.2x(xy+2) 12.0 13.18a2+4ab 14.8 15.- 16.
17.解:原式=4×+ 2分
=2×+ 4分
=+2. 6分
18.解:,
由①,得x<1, 2分
由②,得x≥-2, 4分
则不等式组的解集为-2≤x<1,
∴不等式组的解集在数轴上表示如解图. 6分
第18题解图
19.解:原式=÷ 3分
=· 5分
=. 6分
20.(1)解:完成作图如解图1. 5分
图1 图2
第20题解图
(2)证明:如解图2,连接AD,
由作图得,AD=CD=DE,
∴∠EAB=90°,∴AB⊥AE. 8分
21.解:(1)P(小华抽中敦煌雅丹国家地质公园)= . 4分
(2)列表如下: 8分
朋友小华 红桃 梅花 方片
红桃 (红桃,红桃) (红桃,梅花) (红桃,方片)
梅花 (梅花,红桃) (梅花,梅花) (梅花,方片)
方片 (方片,红桃) (方片,梅花) (方片,方片)
黑桃 (黑桃,红桃) (黑桃,梅花) (黑桃,方片)
由上表可知,共有12种等可能的情况,其中抽到相同景点的情况有3种,
∴P(小华和他的朋友明天去同一个景点)==. 10分
22.解:选择方案一:设BC=x,则AC=4+x. 1分
在Rt△PAC中,PC=AC·tan15°≈0.27(4+x). 3分
在Rt△PBC中,PC=BC·tan40°≈0.84x, 5分
∴0.27(4+x)=0.84x,解得x=,
∴PC=×0.84≈1.6(米). 8分
答:摄像机机位P到小车行驶轴线AB的竖直距离约为1.6米. 10分
选择方案二:设BC=y,则AB=5.9-y. 1分
在Rt△PAB中,PB=AB·tan22°≈0.40(5.9-y). 3分
在Rt△PBC中,PB=BC·tan40°≈0.84y, 5分
∴0.40(5.9-y)=0.84y,解得y=,
∴PB=×0.84≈1.6(米). 8分
答:摄像机机位P到小车行驶轴线AB的竖直距离约为1.6米. 10分
23.解:(1)506.5. 2分
(2)B. 4分
(3)该地区应选择B型号的包装机包装百合较为合适.理由如下:从统计图看A型号波动比B型号波动大;从统计表来看,B型号中位数和众数都没有超出规定质量,而A型号中位数和众数都超出规定质量,且B型号的合格率更高.
∴该地区应选择B型号的包装机包装百合较为合适. 8分
24.解:(1)∵B(0,2),∴OB=2.
∵AB=2BC,∴AB=AC.
如解图,过点C作CF⊥x轴于点F,则OB∥CF,
∴△AOB∽△AFC,∴==,∴FC=3.∵点C在反比例函数y=的图象上,
∴OF=1,∴C(1,3). 3分
将B(0,2),C(1,3)分别代入y=ax+b,
得,解得,
∴一次函数的表达式为y=x+2. 5分
第24题解图
(2)设点D(m,0),∵AE平分△ACD的面积,
∴E为CD的中点,∴E(,). 8分
∵点E在反比例函数y=的图象上,
∴×=3,解得m=3,
∴点D的坐标为(3,0). 10分
25.(1)证明:∵C为劣弧BD的中点,
∴∠DAC=∠FAB. 1分
∵FB=EB,∴∠FEB=∠EFB,∴∠DEA=∠EFB. 2分
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠DAE+∠DEA=90°,∴∠FAB+∠EFB=90°,
∴∠ABF=90°. 4分
∵AB是☉O的直径,∴BF是☉O的切线. 5分
(2)解:∵∠FBE+∠ABE=90°,∠DAB+∠ABE=90°,
∴∠DAB=∠FBE. 6分
∵tan∠FBE=,∴tan∠DAB==.
∵DB=6,∴AD=, 8分
∴在Rt△ABD中,AB==. 10分
26.解:(1)DE=BD+CE.理由如下:
∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°,
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°,
∴∠DBA=∠EAC. 3分
又∵AB=AC,∴△DBA≌△EAC(AAS),
∴AD=CE,BD=AE,∴DE=AE+AD=BD+CE. 4分
(2)问题(1)中的结论仍然成立.证明如下: 5分
∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=α,
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α,
∴∠DBA=∠EAC.
又∵AB=AC,∴△DBA≌△EAC(AAS), 6分
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE. 7分
(3)△DEF是等边三角形.理由如下: 8分
∵α=120°,AF平分∠BAC,∴∠BAF=∠CAF=60°.
∵AB=AF=AC,
∴△ABF和△ACF都是等边三角形, 9分
∴FA=FC,∠FCA=∠FAB=∠AFC=60°.
∵△BDA≌△AEC,∴∠BAD=∠ACE,AD=CE,
∴∠FAD=∠FCE,∴△FAD≌△FCE(SAS),
∴DF=EF,∠DFA=∠EFC,
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠EFC+∠AFE=∠AFC=60°,∴△DEF是等边三角形. 10分
27.解:(1)在y=-x+3中,令x=0,得y=3,令y=0,得x=3,
∴B(3,0),C(0,3).
把B(3,0),C(0,3)分别代入y=-x2+bx+c,
得,解得,
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. 3分
(2)如解图1,根据题意作出图形. 4分
设M(m,-m+3),则P(m,-m2+2m+3),
∵C(0,3),∴CM==m,
PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m. 5分
∵△CMP是以CP为底边的等腰三角形,
∴CM=PM, 6分
∴m=-m2+3m,解得m=0(舍去)或m=3-,
∴m=×(3-)=3-2,
即△CMP的腰长为3-2. 7分
(3)如解图2,过点Q作QH∥y轴,交BC于点H, 8分
设Q(n,-n2+2n+3)(0
∴S△QBC=QH·OB=×(-n2+3n)×3
=-(n-)2+. 9分
∵-<0,0
此时-n2+2n+3=-()2+2×+3=,
∴Q(,),
∴当点Q的坐标为(,)时, △QBC的面积最大,最大值为. 12分
图1 图2
第27题解图
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