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2025年甘肃省兰州市初中学业水平考试
数学 仿真模拟卷（三）
注意事项：全卷共120分，考试时间120分钟.
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.－4的倒数是（ ）
A.4 B.－4 C. D.－
2.已知∠A＝20°，那么∠A的余角的度数是（ ）
A.20° B.70° C.90° D.160°
3.下列各式计算正确的是（ ）
A.＋＝ B.5－2＝3 C.×＝3 D.÷＝2
4.若分式的值为0，则x的值为（ ）
A.±2 B.－2 C.0 D.2
5.如图，矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，连接DO.若AB＝12，AD＝16，则DO的长为（ ）
第5题图
A.7 B.8 C.9 D.10
6.两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2，AC与BD交于点O，AB∥CD，若点O到AB的距离为10 cm，点O到CD的距离为15 cm，蜡烛火焰AB的高度是3 cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（ ）
图1 图2
第6题图
A.5 cm B.4.5 cm C.6.5 cm D.8 cm
7. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日－8月11日在法国巴黎举行，如图的五张卡片（除正面图案外完全相同）分别印有巴黎奥运会的项目图标：篮球、跳水、赛跑、骑行和花样游泳，其中跳水和花样游泳是水上项目，现将五张卡片背面朝上放置，打乱后随机抽取一张，抽到卡片上的图标恰好是水上项目的概率是（ ）
第7题图
A. B. C. D.
8. 如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”.如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反射面），入射波AO经过三次反射后沿O'A'水平射出，且OA∥O'A'，已知入射波AO与法线的夹角∠1＝35° ，则∠A'O'F＝（ ）
图1 图2
第8题图
A.70° B.60° C.45° D.35°
9.若函数y＝（3k－1）x＋（k－2）的图象经过第一、三、四象限，则k的取值范围是（ ）
A.k＞ B.k＞2 C.＜k＜2 D.k＜
10.若关于x的方程x2－nx＋（n－1）＝0有两个相等的实数根，则4n2－16n＋2025的值为（ ）
A.2009 B.2019 C.2029 D.2039
11. 庆阳剪纸 ，甘肃省镇原县传统美术，国家级非物质文化遗产之一. 如图1是边框为正八边形的庆阳剪纸图案，其制作过程是由一张正方形的彩纸剪去四个角之后得到一个正八边形（图2） ，再将其图形进行裁剪，已知正方形ABCD的边长为10 cm，则正八边形EFGHIJKL的边长为（ ）
图1 图2
第11题图
A.（5－5） cm B.（10－10） cm C.（20－20） cm D.（40－40）cm
12.如图1，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着A→B运动，运动到点B时停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿着B→C→D运动，运动到点D时停止.图2是点P，Q运动时，△BPQ的面积S与运动时间t的函数图象，则a的值是（ ）
图1 图2
第12题图
A.6 B.9 C.6 D.12
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13.分解因式：x3y－2x2y2＋xy3＝ .
14.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若EF＝2，则此菱形纸片ABCD对角线BD的长为 .
第14题图
15. 鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料.如图是一个半径为3 cm的半圆形的鸳鸯玉石，AB是半圆O的直径，C，D是弧上两点.若∠ADC＝130°，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块玉石的面积是 .
第15题图
16.某校想要了解全校2000名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，特进行了抽样调查.将调查结果用条形统计图描述如图，现有以下三个结论：
第16题图
①抽取的样本容量为50；
②最受全校学生喜爱的节目是娱乐；
③若将该统计结果用扇形统计图来描述，则“动画”对应扇形的圆心角为106°.
其中正确的是 .（填序号）
三、解答题（本大题共12小题，共72分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（4分）解方程：5x2－2x－3＝0.
18.（4分）解不等式组：，并指出它的所有的非负整数解.
19. （4分）小明在化简代数式（x＋3）2－（x＋2）（x－3）时出现了错误，他的解答步骤如下：
解：原式＝x2＋9－（x2－3x＋2x－6） 第一步
＝x2＋9－x2＋x＋6 第二步
＝x＋15. 第三步
（1）小明的解答过程是从第 步开始出错的；
（2）写出正确的解答过程，再求出当x＝2时，代数式的值.
20.（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x－2与y轴相交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象相交于点B（m，2）.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出当x＞0时，关于x的不等式x－2－＞0的解集；
（3）将直线y＝x－2向上平移后与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后直线的表达式.
第20题图
21.（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC，BD交于点O，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AC，交AD的延长线于点E.
（1）判断四边形ABCD的形状；
（2）若EC＝6，AC＝8，求四边形ABCD的面积.
第21题图
22. （6分）问题背景：在欧几里得的《几何原本》中，第五公设（又称为平行公理）是关于平行线的性质.他的陈述是：“在平面内，如果两条直线被第三条直线所截，一侧的同旁内角之和大于两个直角，那么最初的两条直线相交于这对同旁内角的另一侧.”这条公理的陈述过于冗长.在1795年，苏格兰数学家提出了同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线互相平行.此公理作为平行公理的代替，被人们广泛的使用.
操作体验：在数学课上，老师让同学们利用直尺、三角板和圆规作已知直线的平行线.
小明同学的具体作法如下：
已知：如图1，直线l及直线l外一点A.
求作：直线AP，使得AP∥l.
①在直线l上取两点B，C，连接AB，以点B为圆心，小于AB的长度为半径作弧，交线段AB于点D，线段BC于点E；
②分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点F，作射线BF；
③以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交射线BF于点P，作直线AP.则直线AP平行于直线l.
（1）根据小明同学设计的尺规作图过程，在图1中补全图形，此做法的依据是 ；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）小静的具体做法如图2，小静摆放了一副三角板，也得到了AB∥CD.此做法的依据是 ；
拓展延伸：（3）如图3，在△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD.求作：凸四边形ABCD，使得BC＝AB，且△ACD为等腰三角形.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
图1 图2 图3
第22题图
23. （6分）图1是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分.据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”.在如图2所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是（50，25），OC＝5.
（1）求抛物线的表达式；
（2）在斜坡上的A处建有垂直于水平线OD的城墙AB，且OD＝75，AD＝12，AB＝9，点D，A，B在一条直线上.通过计算说明石块能否飞越城墙AB.
图1 图2
第23题图
24.（6分）某数学研究小组为了解各类危险天气对航空飞行安全的影响，从国际航空飞行安全网提供的近百年飞行事故报告中，选取了650起与危险天气相关的个例，研究小组将危险天气细分为9类：火山灰云（A），强降水（B），飞机积冰（C），闪电（D），低能见度（E），沙尘暴（F），雷暴（G），湍流（H），风切变（I），然后对数据进行了收集、整理、描述和分析，相关信息如下：
信息一：各类危险天气导致飞行事故的数量统计图1；
信息二：C类与E类危险天气导致飞行事故的月频数统计图2.
图1 图2
第24题图
（以上数据来源于国际航空飞行安全网）
根据以上信息，解决下列问题：
（1）导致重大飞行事故发生数量最多的危险天气类别是 类.（填字母）
（2）从C类与E类危险天气导致飞行事故的月频数统计图来看， 类危险天气导致飞行事故发生次数的波动性小.（填“C”或“E”）
（3）根据以上信息，下列结论正确的是 .（填序号）
①C类危险天气导致飞行事故的可能性最高；
②每年1－4月份C类危险天气比E类危险天气导致飞行事故发生的次数要多；
③每年的12月至次年的1月是C类危险天气导致飞行事故发生的多发时期.
25. （6分）苦水高高跷是甘肃省兰州市永登县传统民俗文化之一，起源于元末明初，至今已有约700年的历史，也是国家非物质文化遗产之一.如图1，表演者穿着传统戏剧服饰，画上秦腔剧目中的人物脸谱，手持道具，凌空飞舞，被业内人士称为行走的“空中戏剧”.某校综合实践研究小组对此十分感兴趣，开展了“测量高跷戏剧演员腿多长”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，某戏剧演员AB踩在220 cm的高跷BC上，EF是他舞的大刀，M是持刀点，某动作中，M点正好也是高跷跨步点.当左跨步所在直线MD与地面所成角为α时，大刀EF所在直线与地面所成角为β，与地面交于点N.测量DN的距离（C，D，N在同一条直线上，AC⊥CN），即可得到高跷戏剧演员的腿长MC.
数据收集：实地测量DN＝91 cm，∠α＝85°，∠β＝66°.
解决问题：求跨步点M到地面的距离MC.根据上述方案及数据，完成求解过程.（结果保留整数.参考数据：sin85°≈1.00，cos85°≈0.09，tan85°≈11.43，sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25）
图1 图2
第25题图
26.（7分）如图，AB是☉O的直径，点C，E在☉O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC，连接OE.
（1）求证：EF是☉O的切线；
（2）若BF＝，sin∠AFE＝，求BC的长.
第26题图
27.（8分）综合与实践
【问题情景】数学活动课上，老师出示了一个问题：在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α.
【思考尝试】（1）如图1，当α＝90°时，用等式写出线段DE，BD，CE的数量关系，并说明理由；
【实践探究】（2）小敏受此问题启发，思考并提出新的问题：如图2，当0°＜α＜180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展迁移】（3）小博深入研究之后，发现并提出新的探究点：如图3，当α＝120°时，F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由.
图1 图2 图3
第27题图
28.（9分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，b）.对于点P（x，y）给出如下定义：当x≠a时，若实数k满足｜y－b｜＝k｜x－a｜，则称k为点P关于点A的“距离系数”.若图形M上所有点关于点A的“距离系数”存在最小值，则称此最小值为图形M关于点A的“距离系数”.
（1）如图1，当点A与点O重合时，在P1（2，2），P2（－2，1），P3（－4，4）中，关于点A的“距离系数”为1的是 ；
（2）如图2，点A（4，0），T（0，t），其中2≤t≤4.以点T为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直.点D，E为该正方形上的动点，线段DE的长度是一个定值（0＜DE＜2），求线段DE关于点A的“距离系数”的最小值；
（3）如图3，点B（－2，1），C（1，1），若线段BC关于点A（m，－1）的“距离系数”小于，求m的取值范围.
图1 图2 图3
第28题图
2025年兰州市初中学业水平考试
数学 仿真模拟卷（三）
1.D 2.B 3.B 4.B 5.D 6.B 7.D 8.A 9.C 10.A 11.B 12.B
13.xy（x－y）2 14.4 15.π cm2 16.①②
17.解：∵5x2－2x－3＝0，∴5x2－2x＝3，
∴x2－x＝，
∴x2－x＋＝＋，即（x－）2＝， 2分
∴x－＝±，∴x1＝1，x2＝－. 4分
18.解：，
由①，得x＜2，
由②，得x≥－2， 2分
∴不等式组的解集为－2≤x＜2，
∴不等式组的非负整数解为0，1. 4分
19.解：（1）一. 2分
（2）原式＝x2＋6x＋9－（x2－3x＋2x－6）
＝x2＋6x＋9－x2＋x＋6
＝7x＋15， 3分
当x＝2时，原式＝7×2＋15＝14＋15＝29. 4分
20.解：（1）∵直线y＝x－2经过点B（m，2），
∴m－2＝2，∴m＝4，∴B（4，2）. 1分
又∵反比例函数y＝的图象经过点B（4，2），
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝. 2分
（2）由题图可得，x－2－＞0的解集为x＞4. 3分
第20题解图
（3）设平移后的直线y＝x＋b交y轴于点M，则M（0，b），连接BM，如解图，则S△ABC＝S△ABM＝AM×4＝18， 5分
∴AM＝9，∴b－（－2）＝9，∴b＝7，
∴平移后直线的表达式为y＝x＋7. 6分
21.解：（1）四边形ABCD为菱形. 1分
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADB＝∠CBD. 2分
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形. 3分
（2）由（1）可知，四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
∵CE⊥AC，∴CE∥BD. 4分
又∵DE∥BC，∴四边形BCED是平行四边形，
∴BD＝EC＝6，
∴＝AC·BD＝×8×6＝24. 6分
22.解：（1）如解图1，直线AP即为所求；
内错角相等，两直线平行. 3分
（2）垂直于同一直线的两直线平行. 4分
（3）如解图2，四边形ABCD即为所求.（答案不唯一） 6分
图1 图2
第22题解图
23.解：（1）∵抛物线的顶点坐标是（50，25），
∴设石块运动轨迹所在抛物线的表达式为
y＝a（x－50）2＋25. 1分
∵OC＝5，∴点C的坐标为（0，5）.
∵抛物线过点C（0，5），∴a（0－50）2＋25＝5，
解得a＝－，
∴抛物线的表达式为y＝－（x－50）2＋25. 3分
（2）∵OD＝75，∴点D的横坐标为75.
将x＝75代入函数y＝－（x－50）2＋25，得y＝20， 4分
即石块飞到点D的竖直方向上时距水平线OD的高度为20.
∵BD＝AD＋AB＝12＋9＝21＞20，
∴石块不能飞越城墙AB. 6分
24.解：（1）I. 1分
（2）E. 3分
（3）①②③ 6分
25.解：设MC＝x，由题意知DN＝91， 1分
在Rt△MCN中，∠β＝66°，
∴tan66°＝＝≈2.25，则CN＝. 2分
在Rt△MCD中，∠α＝85°，∴tan85°＝＝≈11.43，则CD＝. 3分
∵CD＋DN＝CN，∴＋91＝，
解得x≈255，∴MC＝255. 5分
答：跨步点M到地面的距离MC约为255 cm. 6分
26.（1）证明：∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°. 1分
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠FOE＝∠OAE＋∠OEA＝2∠OAE.
∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB＝∠FOE. 2分
又∵∠AFE＝∠ABC，
∴∠CAB＋∠ABC＝∠FOE＋∠AFE，
∴∠OEF＝∠ACB＝90°，即OE⊥EF. 3分
∵OE是☉O的半径，∴EF是☉O的切线. 4分
（2）解：设☉O的半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r＋.
在Rt△EOF中，∵sin∠AFE＝＝＝，
解得r＝4，∴AB＝2r＝8. 6分
在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝sin∠AFE＝，
AB＝8，∴AC＝×8＝，
∴BC＝＝. 7分
27.解：（1）DE＝BD＋CE.理由如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD＋∠EAC＝∠BAD＋∠DBA＝90°，
∴∠EAC＝∠DBA.
又∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE. 3分
（2）（1）中结论成立.证明如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，
∴∠BAD＋∠EAC＝∠BAD＋∠DBA＝180°－α，
∴∠DBA＝∠EAC.
又∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE. 5分
（3）△DEF是等边三角形.理由如下：
∵α＝120°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝60°.
∵AB＝AF＝AC，
∴△ABF和△ACF都是等边三角形， 6分
∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°.
∵△BDA≌△AEC，∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，
∴∠FAD＝∠FCE，∴△FAD≌△FCE（SAS），
∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC，
∴∠DFE＝∠DFA＋∠AFE＝∠EFC＋∠AFE＝∠AFC＝60°，
∴△DEF是等边三角形. 8分
28.解：（1）P1，P3. 2分
【解法提示】如解图1，线段P1O，线段P3O与x轴的夹角为45°，所以关于点A的距离系数为1的点为P1，P3.
（2）如解图2，当T（0，2），点E与点M重合时，线段DE关于点A的距离系数的值最小，此时k＝. 5分
（3）如解图3，过点C作CF⊥直线y＝－1，垂足为F，过点B作BE⊥直线y＝－1，垂足为E.
当＝时，∵CF＝2，∴AF＝4，∴A（－3，－1）.
当＝时，∵BE＝2，∴EA'＝4，∴A'（2，－1）.
观察图象可知，满足条件的m的取值范围为m＜－3或m＞2. 9分
图1 图2 图3
第28题解图
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