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2025年甘肃省兰州市九年级诊断考试
数学 必刷卷（二）
注意事项：全卷共120分，考试时间120分钟.
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列各数中，比－1小的数是（ ）
A.－2 B.0 C.1 D.2
2.校徽是一所学校的外在形象标志，诠释了学校特有的历史、理念和追求，是学校文化的一个重要组成部分.下列四幅图案是四所学校校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A.中南林业科技大学 B.兰州大学 C.兰州理工大学 D.北京师范大学
3. 简牍是中国古代在纸张发明之前最主要的书写载体.甘肃素有“汉简之乡”的美誉，出土汉简达7万多枚，占中国出土汉简总数的80％以上.甘肃简牍是古丝绸之路开拓兴盛的实物佐证，具有极高的历史、科学和艺术价值.将数据“7万”用科学记数法表示为（ ）
A.7×103 B.7×104 C.0.7×104 D.0.7×105
4.计算：＋ ＝（ ）
A.－1 B.1 C.a D.a－1
5.一次函数y＝kx＋b中，y随x的增大而减小，b＜0，则这个函数的图象不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1＝123°，则∠2的度数为（ ）
第6题图
A.33° B.57° C.67° D.77°
7.随着人们传承优秀文化意识的不断加深，传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2，马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长AB＝0.8米，圆心角∠AOD＝60°，则OB的长为（ ）
图1 图2
第7题图
A.1米 B.1.8米 C.2米 D.2.2米
8. 双眼皮由显性基因A控制，小明的爸爸、妈妈关于眼皮的基因组成分别为Aa和Aa，则小明是双眼皮的概率为（ ）
A. B. C. D.1
9.关于x的一元二次方程（m－3）x2－2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A.m＜4且m≠3 B.m＞4 C.m≥4 D.m≤4且m≠3
10. 唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要小圈舍x间，大圈舍y间，根据题意可列方程为（ ）
A.4y＋6x＝50 B.50＋4x＝6y C.4x＋6y＝50 D.50＋6 y＝4 x
11.“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品.实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子.如图，点P大致是AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长为4，那么PB的长约为（ ）
第11题图
A.2＋2 B.2－2 C.2＋1 D.2－1
12.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发沿A→D→C方向运动到点C停止，动点Q从点C出发沿C→A方向运动到点A停止，若点P，Q同时出发，点P的速度为2 cm/s，点Q的速度为1 cm/s，设运动时间为x s，AP－CQ＝y cm，y与x的函数关系图象如图2所示，则AC的长为（ ）
图1 图2
第12题图
A.8 B.9 C.10 D.14
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13.因式分解：2x2y＋4x＝ .
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的面积为48，顶点A（－6，0），则顶点B的坐标为 .
第14题图
15.将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD，拉动木条，四边形的形状会改变.如图，将这个过程抽象成几何图形，当∠A＝90°时，四边形的面积为16，则当∠A＝30°时，四边形的面积为 .
第15题图
16.某学校七年级三班有50名学生，现对学生最喜欢的球类运动进行了调查，根据调查结果制作了如图所示的扇形统计图.现有以下三个推断：
第16题图
①最喜欢足球的人数最多，达到了15人；
②最喜欢羽毛球的人数最少，只有5人；
③最喜欢排球的人数比最喜欢乒乓球的人数少3人.
其中正确的是 .（填序号）
三、解答题（本大题共12小题，共72分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（4分）计算：＋÷.
18.（4分）解不等式组：.
19.（4分）先化简，再求值：2x（x2－x＋1）－x（2x2＋2x－3），其中x＝1.
20.（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是（2，3）.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若BD⊥y轴于点D，△ABD的面积为，求一次函数的表达式.
第20题图
21.（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO＝∠ACE，连接OE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长.
第21题图
22. （6分）北京时间2024年8月4日凌晨，在巴黎奥运会女子网球单打决赛中，中国选手郑钦文2∶0战胜克罗地亚选手维基奇，夺得金牌，这是中国运动员首次赢得奥运网球单打项目的金牌.为此，某中学也开展了网球训练，如图，小雅站在点O处发球，MN为球网，且与地面垂直，球场的边界为点B，网球（看作点）从点O的正上方点A处发出，网球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为C.以O为坐标原点，以OB所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知OA＝2 m，点C（4，3.6），MN＝2.24 m，OM＝7 m，OB＝18 m.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）请你通过计算说明小雅发出的网球能否越过球网？是否会出界？
第22题图
23.（6分）观察发现：数学课上，小明学习了应用尺规作“平分任意一个已知角”，课后小明对此问题展开进一步探究学习.如图1，鼓楼是我国西南民族地区侗族的特色建筑，它的平面图通常是正方形、正六边形和正八边形.工匠在制作底座和支撑木柱的连接结构时，需要多次作角平分线以实现对称，从而使得结构受力均衡，充分体现了侗族工匠的数学应用能力.古代没有量角器，工匠仅凭一把“角尺”（如图2），即可将任意角进行平分，下面是应用“角尺”作角平分线的一种方法：
①已知∠AOB，分别在∠AOB的OA和OB边上，用带有刻度的“角尺”测量得到点C和D，使得OC＝OD；
②连接C，D，得到线段CD；
③用“角尺”作出过点O与DC垂直的线段OE，OE就是∠AOB的平分线.
操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息，借助“角尺”，作出图3木料中∠AOB的平分线；
推理论证：（2）小明尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据；
证明：∵OC＝OD，
∴△OCD是等腰三角形.
∵OE垂直线段DC，
∴OE是∠AOB的平分线.（ 依据 ）
依据： ；
拓展探究：（3）如图4，为了方便环卫工人，某社区服务中心要修建一处爱心驿站，使得驿站到公路AB，AC，BC的距离相等，请你确定驿站P的位置.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
图1 图2 图3 图4
第23题图
24.（6分）财政支出的结构关系到国家的发展前景和老百姓的生活质量.近年来，各级政府注重民生问题，加大了对教育、社会保障和就业、交通运输方面的投入.某数学兴趣小组为了解近几年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输方面财政支出的情况，通过查阅资料，将这三个领域财政支出的数据进行收集、整理描述，下面给出部分信息：
信息一：2014－2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出统计图：
第24题图
信息二：2014－2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出的相关统计量如表：
统计量类别 平均数 中位数 方差
教育支出 522.2 m
社会保障和就业支出 448.3 466.5
交通运输支出 288.9 272.0
（以上数据来源于《中国统计年鉴》）
根据以上信息解决下列问题：
（1）m＝ ， .（填“＞”或“＜”）
（2）根据以上信息，判断下列结论正确的是 .（只填序号）
①与2015年相比，2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出有所增长；
②2015－2019年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长；
③2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的2倍还多.
（3）该数学兴趣小组成员又计算了连续5年教育支出的平均数，发现计算的平均数比信息二中的平均数大，你认为该小组去掉的年份是哪一年？请说明理由.
25. （6分）九年级（1）班数学兴趣小组的同学们学完了锐角三角函数知识后，决定在数学活动课上用自己学到的知识测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量项目及结果如下表：
项目 测量公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离
测量示意图 如图，在点P用测角器测得亭子A，B所处的方位角；测得点P与亭子A之间的距离
测量数据 A位于点P B位于点P PA的长度
北偏西30° 北偏东42° 200米
请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出亭子A与亭子B之间的距离.（结果精确到1米.参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）
26.（7分）如图，△ABD内接于☉O，AB是☉O的直径，C为劣弧BD的中点，AC与BD相交于点E，延长EC到点F，使FB＝EB.
（1）求证：BF是☉O的切线；
（2）若tan∠FBE＝，DB＝6，求☉O的直径AB的长.
第26题图
27.（8分）综合与实践
【问题情境】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，AE＝DF，连接CF，DE.求证：△ADE≌△DCF；
【类比探究】（2）小兰将图形进行了折叠，提出新的问题：如图2，将△ADE沿DE翻折，得到△GDE，连接AG.探究AG与CF之间的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）小州深入研究小兰提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，若点E是AB的中点，点P是线段DE上任意一点，连接AP，PG，作PM⊥DG于点M.
①当PM＋PG最小时，求证：四边形APGE是菱形；
②若AB＝4，求PM＋PG的最小值.
图1 图2 图3
第27题图
28.（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于正方形ABCD和它的边上的动点P，作等边△OPP'，且O，P，P'三点按顺时针方向排列，称点P'是点P关于正方形ABCD的“友好点”.已知A（－a，a），B（a，a），C（a，－a），D（－a，－a）（其中a＞0）.
（1）如图1，若a＝3，AB的中点为M，当点P在正方形的边AB上运动时，若点P和点P关于正方形ABCD的“友好点”点P'，恰好都在正方形的边AB上，则点P'的坐标为 ，点M关于正方形ABCD的“友好点”点M'的坐标为 ；
（2）如图2，当2≤a≤4时，直接写出正方形ABCD的所有“友好点”组成图形的面积；
（3）如图3，E（－1，－1），F（2，2）.当点P在正方形ABCD的四条边上运动时，若线段EF上有且只有一个点P关于正方形ABCD的“友好点”，求a的取值范围.
图1 图2 图3
第28题图
2025年兰州市九年级诊断考试
数学 必刷卷（二）
1.A 2.A 3.B 4.B 5.A 6.B 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.C
13.2x（xy＋2） 14.（0，－4） 15.8 16.①②③
17.解：原式＝3＋ 2分
＝3＋4. 4分
18.解：，
由①，得x＜4， 1分
由②，得x＜1， 2分
则不等式组的解集为x＜1. 4分
19.解：原式＝2x3－2x2＋2x－2x3－2x2＋3x
＝－4x2＋5x， 2分
当x＝1时，原式＝－4＋5＝1 4分
20.解：（1）∵A（2，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝2×3＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝. 2分
（2）∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴设点B的坐标为（t，），∴BD＝－t. 3分
∵△ABD的面积为，点A的坐标是（2，3），
∴×（－t）×（3－）＝，解得t＝－3，
∴B（－3，－2）. 5分
将A（2，3），B（－3，－2）分别代入y＝kx＋b，
得，解得，
∴一次函数的表达式为y＝x＋1. 6分
21.（1）证明：∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°，
∴∠CAE＋∠ACE＝90°.
∵∠ABO＝∠ACE，∴∠ABO＋∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，∴AO⊥OB. 1分
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形. 2分
又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形. 3分
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝2.
∵∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝6， 5分
∴AC＝2OA＝12.
∵CE⊥AE，∴OE＝AC＝6. 6分
22.解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x－4）2＋3.6（a≠0）.
把A（0，2）代入y＝a（x－4）2＋3.6，得16a＋3.6＝2，
解得a＝－0.1， 2分
∴该抛物线的表达式为y＝－0.1（x－4）2＋3.6. 3分
（2）当x＝7时，y＝－0.1（7－4）2＋3.6＝2.7＞2.24，
∴小雅发出的网球能越过球网. 4分
当y＝0时，－0.1（x－4）2＋3.6＝0，
解得x1＝10，x2＝－2（舍去）. 5分
∵10＜18，∴小雅发出的网球不会出界. 6分
23.解：（1）如解图1，射线OE即为所求. 2分
图1 图2
第23题解图
（2）等腰三角形底边上的高也是顶角平分线. 4分
（3）如解图2，点P即为所求. 6分
24.解：（1）562.7；＞. 2分
（2）②. 4分
（3）该小组去掉的年份是2014年.理由如下：
∵该小组成员计算的是连续5年教育支出的平均数，
∴该小组去掉的年份可能为2014年或2019年.
∵连续6年教育支出的平均数为522.2，
377.1＜522.2，636.1＞522.2，
∴若去掉2014年，平均数比原来的大；
若去掉2019年，平均数比原来的小；
∴该小组去掉的年份是2014年. 6分
25.解：如解图，过点P作PH⊥AB于点H.
第25题解图
由题意，得∠APH＝30°，∠BPH＝42°. 1分
在Rt△APH中，AH＝AP＝×200＝100（米），
PH＝AP·cos∠APH＝200×＝100（米）. 3分
在Rt△PBH中，BH＝PH·tan∠BPH＝100×tan42°≈100×0.90＝90（米），
∴AB＝AH＋BH＝100＋90≈100＋90×1.73≈256（米）.
答：亭子A与亭子B之间的距离约为256米. 6分
26.（1）证明：∵C为劣弧BD的中点，∴∠DAC＝∠FAB.
∵FB＝EB，∴∠FEB＝∠EFB， 1分
∵∠FEB＝∠DEA，∴∠DEA＝∠EFB.
∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠DAE＋∠DEA＝90°，∴∠FAB＋∠EFB＝90°，
∴∠ABF＝90°. 2分
∵AB是☉O的直径，∴BF是☉O的切线. 3分
（2）解：∵∠FBE＋∠ABE＝90°，∠DAB＋∠ABE＝90°，
∴∠DAB＝∠FBE. 4分
∵tan∠FBE＝，∴tan∠DAB＝＝.
∵DB＝6，∴AD＝， 6分
∴在Rt△ABD中，AB＝＝. 7分
27.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠DAE＝∠CDF＝90°.
在△ADE和△DCF中，，
∴△ADE≌△DCF（SAS）. 2分
（2）解：AG∥CF.理由如下： 3分
如解图1，记DE与CF的交点为H.
∵△ADE≌△DCF，∴∠ADE＝∠DCF.
∵∠DCF＋∠DFC＝90°，∴∠ADE＋∠DFC＝90°，
∴∠DHF＝90°，∴DE⊥CF，
由折叠知DG＝DA，EG＝EA，
∴DE⊥AG，∴AG∥CF. 4分
（3）①证明：如解图2，过点P作PN⊥AD于点N，
则PM＝PN，连接AG交DE于点O，
∴PM＋PG＝PN＋PG.
当N，P，G三点共线时，PN＋PG有最小值，即PM＋PG有最小值，最小值为GN的长，这时PG∥AE， 5分
∴∠OPG＝∠OEA，∠OGP＝∠OAE.
由折叠知OG＝OA，
在△POG和△EOA中，，
∴△POG≌△EOA（AAS），∴PG＝AE，
∴四边形APGE是平行四边形.
又∵AE＝GE，∴四边形APGE是菱形. 6分
②解：当AB＝4时，AE＝AP＝PG＝2，DE＝＝2.
∵∠ADE＝∠NDP，∠DAE＝∠DNP＝90°，
∴△DNP∽△DAE，∴＝，
即＝，∴DN＝2NP. 7分
设NP＝MP＝x，则DM＝DN＝2x.
在Rt△ADM中，DM2＋AM2＝AD2，
∴（2x）2＋（x＋2）2＝42，解得x1＝－2（舍去），x2＝，
∴GN＝2＋＝，
∴当AB＝4时，PM＋PG的最小值为. 8分
图1 图2
第27题解图
28.解：（1）（，3）；（，）. 2分
【解法提示】如解图1，由题意知，OP＝OP'＝PP'，OM＝3，∴PM＝P'M，∠MOP＝∠MOP'＝30°，∴OP'＝2MP'.∵Rt△OMP'中，OM2＋MP'2＝OP'2，∴32＋MP'2＝（2MP'）2，解得MP'＝（负值已舍去），∴P'（，3）.如解图2，过点M'作M'F⊥x轴，垂足为F，则∠OFM'＝90°，OM'＝3，∴∠M'OF＝90°－∠MOM'＝30°，∴M'F＝OM'＝，∴OF＝＝，∴M'（，）.
图1 图2
第28题解图
（2）48. 5分
【解法提示】当a＝2时，点P'轨迹所在四边形的面积为（2×2）2＝16.当a＝4时，点P'轨迹所在四边形的面积为（2×4）2＝64.故2≤a≤4时，正方形ABCD的所有“友好点”组成图形的面积为64－16＝48.
（3）如解图3，设M为AB中点，连接P'M'并延长，交x轴于点G.
∵∠POP'＝∠MOM'＝60°，∴∠POM＝∠P'OM'.
又∵OP＝OP'，OM＝OM'，∴△POM≌△P'OM'（SAS），
∴∠OM'P'＝∠OMP＝90°.∵∠M'OG＝90°－60°＝30°，
∴∠OGM'＝90°－∠M'OG＝90°－30°＝60°.
若A（－a，a），则OM'＝OM＝a.
在Rt△OM'G中，M'G＝OG，∴a2＋＝OG2，
解得OG＝a，即点G（a，0）.
可设直线M'G为y＝－x＋q，将G（a，0）代入，
解得q＝2a，故点P'在直线y＝－x＋2a上.
如解图4，直线C'D'表达式为y＝－x－2a，
经过E（－1，－1），则－1＝－×（－1）－2a，
解得a＝. 7分
如解图5，直线A'B'的表达式为y＝－x＋2a，经过F（2，2），则2＝－×2＋2a，解得a＝＋1.
∴＜a≤＋1. 9分
图3 图4 图5
第28题解图
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