第2章一元二次函数、方程和不等式章末重难点检测卷-高一数学上学期人教A版（2019）
一、单选题
1．已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．设，若有两个不相等的根，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．已知，当时，取得最小值为b，则（ ）
A． B．2 C．3 D．8
6．已知，，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．或
二、多选题
9．已知实数、，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．
10．已知正数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为
11．若，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知为真命题，则实数的取值范围是 ．
13．若不等式的解集是，则不等式的解集为 ．
14．已知，，满足，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知命题：“，使得”为真命题.
(1)求实数的取值的集合；
(2)若非空集合且，求实数的取值范围.
16．已知函数．
(1)若不等式的解集为R，求实数m的取值范围；
(2)若，解关于x的不等式．
17．已知函数
(1)若不等式的解集为，求的取值范围；
(2)解关于的不等式
18．已知二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)集合，若，求实数的取值范围.
19．如图所示，刘邦文化节期间，沛县文旅在大风歌广场搭建三块完全相同的矩形沛县传统文化展台，在三块展台四周（斜线部分）铺设观赏通道已知观赏通道宽度相同，三块展台面积均为150平方米．
(1)若矩形沛县地方特产展台的长比宽至少多5米，求展台宽的取值范围；
(2)若矩形沛县传统文化展台四周及中间观赏通道的宽度均为2米，在（1）的条件下，求矩形沛县传统文化展台宽为多少时，整个展示区域（展示区域包含三块展台和四周（斜线部分）观赏通道）面积最小，并求其最小值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B C A A A BCD AB
题号 11
答案 BD
1．B
【分析】由，且，可得，正负不确定.取特值可得AD错误；根据不等式的基本性质可判定BC项.
【详解】因为，，
则，所以，.
AD选项，令，满足条件，，
但，则，故AD错误；
B选项，由，则，故B正确；
C选项，由，则，故C错误.
故选：B.
2．C
【分析】根据判别式得到，再根据韦达定理即可得到答案.
【详解】关于的方程有两个不相等的实数根，
，解得:，
则.
故选：C.
3．D
【分析】举例说明判断AC；作差比较大小判断B；利用不等式性质判断D.
【详解】对于AC，取，满足，而，AC错误；
对于B，，则，B错误；
对于D，由，得，则，，D正确.
故选：D
4．B
【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据不等式的性质分析判断.
【详解】对于选项A：例如，满足，
但，即，故选项A为假命题；
对于选项B：若，则，
所以，故选项B为真命题；
对于选项C：例如，满足，
但，故选项C为假命题；
对于选项A：例如，满足，
但，即，故选项D为假命题.
故选：B.
5．C
【分析】变形后根据基本不等式求出，并得到等号成立的条件，得到答案.
【详解】因为，所以，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故，.
故选：C
6．A
【分析】利用作差法，结合基本不等式求解即可.
【详解】因为，，，
所以，
即，当且仅当时等号成立．
故选：A.
7．A
【分析】利用作差法比较的大小，再结合中间值比较即可.
【详解】易知，
因为，，所以，
则，即.
因为，，所以.
综上，.
故选：A
8．A
【分析】根据基本不等式可得的最小值，进而可得，解不等式即可.
【详解】由已知正实数，满足，
则，当且仅当时等号成立，
所以，
解得：或，
故选：A.
9．BCD
【分析】利用基本不等式可判断ABC选项；由已知条件可得出，且，利用不等式的基本性质可判断D选项.
【详解】对于A：因为、，由，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最大值为，故A错误；
对于B：因为、，，
因为，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，故B正确；
对于C：因为、，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故C正确；
对于D：由，
因为、，，则，
所以，，则，
可得，所以，故D正确.
故选：BCD.
10．AB
【分析】利用已知条件、基本不等式可判断A，B，C选项，D选项举反例可得答案.
【详解】对于A，，，
，即，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B，由不等式，可得，
即，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，由，
当且仅当，即时等号成立，故C错误；
对于D，由，可取，
则，故D错误.
故选：AB.
11．BD
【分析】根据给定条件，利用不等式性质，结合作差法比较大小即得.
【详解】对于A，由，得，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：BD
12．
【分析】根据题意，分两种情况讨论，结合一元二次不等式解集的结论，即可得出答案.
【详解】当时，恒成立，所以为真命题，
当，为真命题，
所以，解之可得，
综上可得的取值范围为.
故答案为：
13．
【分析】根据不等式的解集与对应方程的关系，结合韦达定理，求的关系，代入所求不等式，即可求解.
【详解】由题意可知，，，，
则，即，
即，解得：，
所以不等式的解集为.
故答案为：
14．1
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】正数，，
则
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为1.
故答案为：1
【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意可得，从而可求出实数的取值范围；
（2）由，得，然后列不等式组求解即可.
【详解】（1）因为命题：“，使得”为真命题，
所以，
即，解得，
所以集合；
（2）因为，所以，
因为，非空集合，
所以，解得，
实数的取值范围为.
16．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对进行分类讨论，根据一元二次不等式恒成立列不等式来求得的取值范围.
（2）化简，对进行分类讨论，根据一元二次不等式的知识求得正确答案.
【详解】（1）的解集为，
即在上恒成立，
当时，，解得，则其解集不是，舍去；
当时，需满足且一元二次方程无实根，
则有，
即，解得.
综上，的取值范围为.
（2），
即，即，
令，解得或，
当时，不等式解集为，
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或.
17．(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）分和两种情况讨论，求解得答案；
（2）将不等式转化为，分，，三种情况讨论求解.
【详解】（1）当，即时，得，令，解得，不合题意；
当时，由的解集为，
则，即，解得，
综上，的取值范围是.
（2）由不等式，化简得，
即，其对应方程的两根为，
当，即时，不等式的解集为或，
当，即时，解集为R，
当，即时，不等式的解集为或，
综上，当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为R，
当时，不等式的解集为或.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，结合恒等式求出即可得解.
（2）令，结合集合的包含关系列出不等式组求解即得.
【详解】（1）二次函数，则
，而，于是，，
解得，则，又，解得，
所以的解析式是.
（2）由（1）知，，不等式
令，则，由，
得，解得，
所以实数的取值范围是.
19．(1)．
(2)宽为米，面积最小值是平方米．
【分析】（1）设矩形展台的宽为，则长为，由题意列不等式求的取值范围；
（2）把整个展示区域的面积表示为关于的函数，利用基本不等式求最小值.
【详解】（1）设矩形展台的宽为，则长为，
依题意，即，
，即．
所以矩形展台宽的取值范围是．
（2）整个展示区域的面积，
当且仅当，即时等号成立．
所以矩形展台宽为米时，整个展示区域的面积最小，最小值是平方米．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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