2024-2025学年北京171中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知圆的方程为，则该圆的圆心坐标及半径分别是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
3.圆与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切
4.圆与直线相交于，两点，则线段的垂直平分线的方程是( )
A. B. C. D.
5.“”是“直线：与直线：”平行的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了组投篮，得分分别为，，，，，，，，如果学生甲的平均得分为分，那么这组数据的百分位数为( )
A. B. C. D.
7.已知为椭圆上的点，点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图，在平行六面体中，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
9.设动直线与：交于，两点若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线的方程可以是( )
A. B. C. D.
10.曲线：给出下列结论：
曲线关于原点对称；
曲线上任意一点到原点的距离不小于；
曲线只经过个整点即横、纵坐标均为整数的点．
其中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.直线：与直线：之间的距离为______．
12.已知空间，，且，则______．
13.在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．
14.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为______．
15.如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动若，则面积的最大值为______．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
某市统计局就某地居民的月收入调查了人，他们的月收入均在内现根据所得数据画出了该样本的频率分布直方图如下每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在内
求某居民月收入在内的频率；
根据该频率分布直方图估计居民的月收入的中位数；
为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，需再从这人中利用分层抽样的方法抽取人作进一步分析，则应从月收入在内的居民中抽取多少人？
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点．
求证：平面；
求点到平面的距离；
直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点．
Ⅰ求圆的方程；
Ⅱ若圆直线：交于，两点，_____，求的值．
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为：；
条件：；
条件：．
19.本小题分
已知、分别是椭圆：的左、右焦点，，点在椭圆上且满足．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ斜率为的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求直线的方程．
20.本小题分
如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点．
证明：平面；
若二面角的余弦值是，求的值；
若，在线段上是否存在一点，使得，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关．
Ⅰ分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；
，；，．
Ⅱ给定，，点集，，，．
求集合中与点相关的点的个数；
若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：由频率分布直方图可知，居民月收入在内的频率为．
由频率分布直方图可知，，，，
从而有，
所以可以估计居民的月收入的中位数为元．
居民月收入在内的频率为
由频率分布直方图可知，居民月收入在内的频率为，
所以这人月收入在内的人数为，再从这人中利用分层抽样的方法抽取人，
则应从月收入在内居民中抽取人．
17.解：证明：在棱长为的正方体中，为线段的中点，
，且，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面；
以为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
则点到平面的距离为：
；
，，
设平面的一个法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
18.解：Ⅰ设圆心坐标为，半径为．
由圆的圆心在直线上，知：．
又圆与轴相切于点，
，，则．
圆圆心坐标为，则圆的方程为；
Ⅱ如果选择条件：，而，
圆心到直线的距离，
以，
解得或．
如果选择条件；，而，
圆心到直线的距离，
则，
解得或．
如果选择条件；而，
圆心到直线的距离，
则，
解得或．
19.解：Ⅰ由，，
又，
解得，，
所以椭圆方程为，
设直线的方程为，
由得：，
，得，
解得，
设，，
，，
，
到直线：的距离，
所以的面积为，
化简得，
解得：，所以，
所以直线的方程为或．
20.解：证明：因为平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
在中，，是的中点，
所以，
又因为，
所以平面．
因为 平面，
所以，，
又因为 ，
所以分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，即 ，
令，则，，
所以，
因为平面，
所以，
又，，
所以平面，
又因为，
所以取平面的法向量为，
所以，即，
解得，
又因为，
所以．
结论：不存在．理由如下：
证明：设，
当时，．，，
因为，
所以，即，
解得，与矛盾，
所以在线段上不存在点，使得．
21.解：若点，相关，不妨设，，，，
则，
，
Ⅰ，因此相关；
，因此不相关
Ⅱ若相关，则满足，
在第一象限内，可知且，有个点满足条件，
同理可得在第二、三、四象限各有个点满足条件，
在轴上，点，满足条件，
在轴上，点，满足条件，
原点满足条件，
因此集合中共有个点与点相关，
若两个不同的点，相关，其中，，，，
可知，下面证，
若，则，成立，
若，则，亦成立，
若，则，亦成立．
由于，
因此最多有个点两两相关，其中最多有个点在第一象限，最少有个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点，
因此中元素个数的最大值为．
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