2024-2025学年广东省深圳市翠园中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.圆和圆的位置关系是( )
A. 内切 B. 相离 C. 相交 D. 外切
3.设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案如图，把三片这样的达芬奇方砖形成图的组合，这个组合表达了图所示的几何体．如图中每个正方体的棱长为，则点到平面的距离是( )
A. B. C. D.
5.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
6.已知为直线：上的动点，点满足，记的轨迹为，则( )
A. 是一个半径为的圆 B. 是一条与相交的直线
C. 上的点到的距离均为 D. 是两条平行直线
7.台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为( )
A. B. C. D.
8.，，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中是真命题的是( )
A. 若是直线的方向向量，是直线的方向向量，则与垂直
B. 若是直线的方向向量，是平面的法向量，则
C. 若分别为平面，的法向量，则
D. 若分别为平面，的法向量，则平面，交线的方向向量可以是
10.已知直线：，圆：的圆心坐标为，则下列说法正确的是( )
A. 直线恒过点
B. ，
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 当时，圆上存在无数对点关于直线对称
11.已知正方体的棱长为，点为平面内一动点，则下列说法正确的是( )
A. 若点在棱上运动，则的最小值为
B. 若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为
C. 若点满足，则动点的轨迹是一条直线
D. 若点在直线上运动，则到直线的最小距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.椭圆的长轴长为，且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的标准方程为______．
13.已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为______．
14.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点，是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大”如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆与射线的切点根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间三点，，．
若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标；
求点到直线的距离．
16.本小题分
已知圆与轴相切，圆心在直线上，且被轴截得的弦长为．
求圆的方程；
已知直线过点，圆上恰有三个点到直线的距离等于，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的大小．
18.本小题分
已知椭圆过点，且离心率为设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线：相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ求证：直线与的斜率之积为定值；
Ⅲ判断三点，，是否共线，并证明你的结论．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为；过点且以为法向量的平面方程可表示为．
在四面体中，点为坐标原点，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标；
若直线与都在平面内，求平面的方程；
若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.
15.解：，，
设，，，
，．
，整理得，
，，
或；
取，，
则，．
到直线的距离为．
16.解：设圆的标准方程为，
圆心在直线上，
，
圆与轴相切，
，
又圆被轴截得的弦长为，
，
联立解得，，，，
圆的方程为．
圆上恰有三个点到直线的距离等于，
圆心到直线的距离．
当直线斜率不存在时，直线的方程为，
圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线斜率不存在时，设直线的方程为，
即，
圆心到直线的距离，
解之得，，
直线的方程为．
综上，所求直线的方程为或．
17.证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
设，依题意得，，
，，，
所以，，
则，所以，
由已知，且，，平面，
所以平面；
解：已知，由可知平面，
又平面，所以，
故即为平面与平面的夹角，
设点的坐标为，则，
设，则有，
即，，，
设，则有，解得，
则点的坐标为，即，
又点的坐标为，所以，
所以，
又为锐角，所以，
即平面与平面的夹角大小为．
18.解：Ⅰ根据题意可知，解得
所以椭圆的方程；
Ⅱ根据题意，直线，的斜率都存在且不为零，，，
设，则．
则，
因为点在椭圆上，则，所以，，
所以，
所以直线与的斜率之积为定值；
Ⅲ 三点、、共线．证明如下：
设直线的方程为，由Ⅱ得直线的方程为，
所以，，，
设直线：，
联立方程组，消去整理得，，，
设，则，
所以，．
所以，
因为、，，
，
所，所以三点，，共线．
19.解：根据题意，设点，则，
因为平面以为法向量，
则，
又因为点在平面内，则，
联立：可得，，
故点的坐标为．
由题意可知，直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，
设平面的法向量为，
则，则，
解得，
取，则，
易知直线过点，
所以平面的方程为，
即平面的方程为．
如下图所示：
易知多面体交各坐标轴于点、、、、、，
正方形的边长为，
所以正方形的面积为，
而正四棱锥的高为，
则，
所以多面体的体积为，
易知平面的方程为，该平面的一个法向量为，
平面的方程为，该平面的一个法向量为，
平面的方程为，该平面的一个法向量为，
所以，
因此，多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为．
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