上海民办华曜宝山实验学校2024学年度第一学期
(时间 100分钟, 满分150分)
一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)
1. 下列图形中一定相似的是 ( )
A.两个直角三角形； B.两个等腰三角形； C.两个等边三角形； D.两个菱形.
△ABC中, ∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别为,b,c, 下列等式中错误的是
( )
B. c=·cosB; D. b=·cotA.
3. 将抛物线 向右平移5个单位后所得抛物线的表达式为 ( )
A. ; B. ; D.
4.平行四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，如果 那么下列选项中与向量 相等的向量是 ( )
A. ; C. ; D. .
5.如图1，二次函数 的图像与轴交于A，B两点，与轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线，下列结论中正确的有 （ ）
①; ③; ④当为实数)时, y≥c
A. 1个; B. 2个; C. 3个; D. 4个.
6.如图2, 在正方形ABCD中, △ABP是等边三角形, AP、BP的延长线分别交边CD于点E, F, 联结AC、CP, AC与BF相交于点H, 下列结论中①AE=2DE; ②△CFP∽△APH;
③△CFP∽△APC; ④ CP =PH·PB正确的有 ( )
A. 1个; B. 2个 ; C. 3个; D. 4个.
二、填空题 (本大题共12题，每题4分，满分48分)
7. 如果 那么
8.某滑雪运动员沿着坡比为1： 的斜坡滑行了350米，那么他身体下降的高度为 米.
9.已知点 P 是线段MN的黄金分割点, MP>PN, 如果MN = 8, 那么MP的长是 .
10.在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm 的区域表示的实际面积约为
11.两个相似三角形的对应边上中线之比为2：3，它们的周长之和为 20cm，那么较大的三角形的周长为 cm.
12.在锐角△ABC中, ,那么=
13.在△ABC中, 如果AB=AC=10, cosB=，那么△ABC的重心到顶点A的距离为 .
14.如图3, 已知点D、E分别在△ABC 的边AB和AC上, 如果 那么 得到 DE∥BC. (填“能”或“不能”)
15.如图4, 直线, 如果 那么BB 的长为 .
16.如图5, 四边形ABCD, ∠B=∠D=90°,AB=3, BC=2, tanA= ，那么CD = .
17. 如图6, 正方形ABCD中, 将△ABC绕着点A逆时针旋转到△AHG, AH,AG分别交对角线BD于点E,F.如果 那么EF·ED 的值为 ▲ .
18. 如图7是一张矩形纸片，点E在AB边上，将沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点E, F, D在同一条直线上, AE=2, 那么BE= ▲ .
二、解答题(本天题共7 题，满分78 分)
19. (本题满分10分)计算:
20.(本题满分10分) 如图, 在平行四边形ABCD中, 点E在边BC上, CE=2BE, AC、DE相交于点F.
(1) 求DF: EF的值;
(2) 如果 试用a,b表示
21. (本题满分10分) 如图, 在△ABC 中, BE平分∠ABC, DE∥BC.
(1) 已知 AD =3, DE=2, 求BC 的长;
(2) 如果 求(用S ,的代数式表示)
22.(本题满分10分)
如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为 此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD. 中午12时太阳光线与地面的夹角为，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米(B、E、C在一条直线上) ，求塔AB的高度 (结果精确到0.01米)
参考数据 sm32 ≈0.53, cos32°≈0.85, tan32°≈0.62, ≈1.414.
23. (本题满分12分
已知: 如图, 梯形ABCD, , 对角线AC、BD交于点E, ∠DEC=∠DCB.
(1) 求证:
(2) 如果点F在DB的延长线上，联结AF, 求证: EC·AF=BC·AE.
24.(本题满分12分)
如图，抛物线 与x轴交于点 A(-2,0)和点B(8,0),与轴交于点C,顶点为D,联结AC,BC，BC与抛物线的对称轴交于点E.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，联结PB，PC.当 时，求点P的坐标；
(3)点N是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似 若存在，求点M的坐标； 若不存在，请说明理由.
25.(本题满分14分)
(1) 如图①, 已知△ABC∽△ADE,求证:
(2) 如图②, 在△ABC与△ADE中,, AC与DE相交于点F点D在BC边上， 求 的值；
(3) 如图③点D是△ABC 内的一点,. 求AD 的长.上海民办华曜宝山实验学校2024学年度第一学期
(时间 100分钟, 满分150分)
一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)
1. 下列图形中一定相似的是 ( )
A.两个直角三角形； B.两个等腰三角形； C.两个等边三角形； D.两个菱形.
△ABC中, ∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别为,b,c, 下列等式中错误的是
( )
B. c=·cosB; D. b=·cotA.
3. 将抛物线 向右平移5个单位后所得抛物线的表达式为 ( )
A. ; B. ; D.
4.平行四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，如果 那么下列选项中与向量 相等的向量是 ( )
A. ; C. ; D. .
5.如图1，二次函数 的图像与轴交于A，B两点，与轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线，下列结论中正确的有 （ ）
①; ③; ④当为实数)时, y≥c
A. 1个; B. 2个; C. 3个; D. 4个.
6.如图2, 在正方形ABCD中, △ABP是等边三角形, AP、BP的延长线分别交边CD于点E, F, 联结AC、CP, AC与BF相交于点H, 下列结论中①AE=2DE; ②△CFP∽△APH;
③△CFP∽△APC; ④ CP =PH·PB正确的有 ( )
A. 1个; B. 2个 ; C. 3个; D. 4个.
二、填空题 (本大题共12题，每题4分，满分48分)
7. 如果 那么
8.某滑雪运动员沿着坡比为1： 的斜坡滑行了350米，那么他身体下降的高度为 175 米.
9.已知点 P 是线段MN的黄金分割点, MP>PN, 如果MN = 8, 那么MP的长是 .
10.在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm 的区域表示的实际面积约为 20000
11.两个相似三角形的对应边上中线之比为2：3，它们的周长之和为 20cm，那么较大的三角形的周长为 8 cm.
12.在锐角△ABC中, ,那么=
13.在△ABC中, 如果AB=AC=10, cosB=，那么△ABC的重心到顶点A的距离为 2 .
14.如图3, 已知点D、E分别在△ABC 的边AB和AC上, 如果 那么 不能 得到 DE∥BC. (填“能”或“不能”)
15.如图4, 直线, 如果 那么BB 的长为 .
16.如图5, 四边形ABCD, ∠B=∠D=90°,AB=3, BC=2, tanA= ，那么CD = .
17. 如图6, 正方形ABCD中, 将△ABC绕着点A逆时针旋转到△AHG, AH,AG分别交对角线BD于点E,F.如果 那么EF·ED 的值为 19 .
18. 如图7是一张矩形纸片，点E在AB边上，将沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点E, F, D在同一条直线上, AE=2, 那么BE= .
二、解答题(本天题共7 题，满分78 分)
19. (本题满分10分)计算:
【解析】
20.(本题满分10分) 如图, 在平行四边形ABCD中, 点E在边BC上, CE=2BE, AC、DE相交于点F.
(1) 求DF: EF的值;
(2) 如果 试用a,b表示
【解析】
解：(1) 四边形 是平行四边形，
21. (本题满分10分) 如图, 在△ABC 中, BE平分∠ABC, DE∥BC.
(1) 已知 AD =3, DE=2, 求BC 的长;
(2) 如果 求(用S ,的代数式表示)
【解析】
22.(本题满分10分)
如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为 此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD. 中午12时太阳光线与地面的夹角为，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米(B、E、C在一条直线上) ，求塔AB的高度 (结果精确到0.01米)
参考数据 sm32 ≈0.53, cos32°≈0.85, tan32°≈0.62, ≈1.414.
【解析】
解: 过点 作 , 垂足为点 . 由题意, 得 . 设 , 则 . 在 Rt 中, 由 , 得 . 在 Rt 中, 由 , 得 . 即得 . 解得 塔高 约为 33 米.
23. (本题满分12分）
已知: 如图, 梯形ABCD, , 对角线AC、BD交于点E, ∠DEC=∠DCB.
(1) 求证:
(2) 如果点F在DB的延长线上，联结AF, 求证: EC·AF=BC·AE.
【解析】
24.(本题满分12分)
如图，抛物线 与x轴交于点 A(-2,0)和点B(8,0),与轴交于点C,顶点为D,联结AC,BC，BC与抛物线的对称轴交于点E.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，联结PB，PC.当 时，求点P的坐标；
(3)点N是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似 若存在，求点M的坐标； 若不存在，请说明理由.
【解析】
解: (1) 将 和 代人抛物线 ,
得
解这个方程组, 得
抛物线的表达式为 .
(2) 三点的坐标分别为 ,
,
.
设直线 的表达式为 ,
将点 和 代人, 得
解这个方程组, 得
直线 的表达式为 .
设点 的坐标为 .
过点 作 轴, 交 于点 ,则点 的坐标为 ,
解这个方程, 得 .
(1) 当 时, .
(2) 当 时, .
综上所述, 符合条件的点 有两个, 坐标分别为 .
(3) 当 时, ,
点 的坐标为 .
为等腰直角三角形,
与 相似,
也为等腰直角三角形.
点 的横坐标是 3 .
设点 坐标为 .
(1)当 时, 如图.
与 轴平行,
解这个方程, 得 (舍去).
.
点 的坐标为 ,
点 的坐标为 .
(2) 当 时, 如图,
MN与 轴平行,
点 与点 的纵坐标相等,
解这个方程, 得 (舍去).
点 的坐标为 .
(3) 当 时, 如图,
此时的点 与点 关于(2)的结果中的 对称,设点 的坐标为 .
解这个方程, 得 .
点 的坐标为 .
综上所述, 符合条件的点 有三个, 坐标分别为 .
25.(本题满分14分)
(1) 如图①, 已知△ABC∽△ADE,求证:
(2) 如图②, 在△ABC与△ADE中,, AC与DE相交于点F点D在BC边上， 求 的值；
(3) 如图③点D是△ABC 内的一点,求AD 的长.
【解析】
（1） 证明: ,
.
（2）如图，连接 ,设 , 则 .依题意, 得 .
由（1）得 ，
（3）
