九年级数学试题参考答案
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）.
1—4 DBCB 5--8 CABA
二、填空题（每题 3 分，共 24 分）
9．24 10．9.4 11．88 12．－2
13．9 14．129 15．72 16．15或75
三、解答题（本大题共 11 小题，共 102 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
5
17.（6 分）解：（1） 1= ， 2=－1 ……3 分2
（2） 1 11= ， 2= ． ……3分2 4
18.（6 分）
解：(1)如图，点M即为经过 A、B、C三点的圆弧
所在圆的圆心. ……2分
（2） （3，2）, 2 5 ……4 分
（3） 5π ……6 分
19.（8 分）解：（1）① 8 ② 8.5 ③ 9 ……3分
2 2 2 2 2 2
(2) S 2 （9-8） （6-8） （9-8） （7-8） （9-8） （8-8） 4甲 （环
2） ……5分
6 3
4 5
∵
3 3
S 2 2
∴ 甲
＜ S乙，
∴甲成绩比较稳定． ……………6分
（3） 变小 ……………8分
20.（8分）
（1）证明：∵OA＝OB，OE⊥AB，
∴AF＝BF， ……………1 分
∵OE⊥AB，即 OE⊥CD，
∴CF＝DF， ……………2分
九年级数学 第 1页（共 8页）
{#{QQABaY6UggiIAAIAAAhCEQGiCAIQkhAAAQgGAEAEsAABiBFABAA=}#}
∴AF－CF＝BF－DF，
∴AC＝BD； ………………4 分
（2）如图，连接 OC，
∵OE⊥AB，
1
∴CF＝DF＝ CD＝3 3，∠OFC＝90°，
2
∴CO2＝CF2+OF2，
设⊙O的半径是 r，
r2 （3 3）2∴ ＝ +（r－3）2，
解得 r＝6，
∴⊙O的半径是 6． ………………8 分
2
21. （8分）解：（1）由题意知，b 4ac 0,
∵a 1,b 2k 1,c k 2 k 1，
∴ 2k 1 2 4(k 2 k 1) 0, ……………… 2分
8k 3 0
3
k ………………4分
8
（2）由根与系数的关系得出： x1 x2 (2k 1) 2k 1， x1x2 k
2 k 1,
∵ (x1 1) x2 1 11，
∴ x1x2 x1 x2 10，
k 2 k 1 2k 1 10，即 k 2 3k 10 0,
解得：k1 5,k2 2. ………………7分
3
由（1）知：k ,
8
∴k 5 ………………8分
九年级数学 第 2页（共 8页）
{#{QQABaY6UggiIAAIAAAhCEQGiCAIQkhAAAQgGAEAEsAABiBFABAA=}#}
22.（10分）（1）证明：过点 E作 EH⊥AB,垂足为点H . ………………2分
∵∠ACB=90°，
∴EC⊥BC.
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB, EC⊥BC.
EH EC ,
AB与⊙E相切 . ………………4分
（2）方法一：设圆的半径为 r.
∵ ∠ACB=90° ，AB＝15，BC＝9，
∴AC= AB2 BC 2 =12. ………………5 分
∵S△ABC S△ABE S△BCE ，
1
∴ BC AC 1= AB HE 1 BC EC ,
2 2 2
1 1 1
∴ 9 12= 15 r 9 r,
2 2 2
r 9∴ ，2
AF AC CF 9 12 2 3. ………………10 分
2
方法二：
设圆的半径为 r.
∵ ∠ACB=90° ，AB＝15，BC＝9，
∴AC= AB2 BC 2 =12. ………………5 分
∵ ∠ACB=90°，CE是半径，
∴BC是圆的切线.
又∵AB是圆的切线，
∴BC=BH=9，AH=6.
∵AC=12，
∴AE=AC-EC=12-r.
12 r 2 2 2在 Rt△AHE中， r 6 ,
九年级数学 第 3页（共 8页）
{#{QQABaY6UggiIAAIAAAhCEQGiCAIQkhAAAQgGAEAEsAABiBFABAA=}#}
r 9∴ ，2
AF AC CF 12 2 9 3. ………………10 分
2
23.（10分）解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为 x，
30 1 x 2 43.2 ………………2分
解得：x1＝0.2，x2＝ 2.2（不符合题意，舍去）， ………………3 分
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为 20%； ………………4分
（2）设购买的这种健身器材的套数为 m套，
∵1500×100=150000（元），150000<240000
∴m>100 ………………5 分
m 1500 m 100由题意得： （ 15）＝240000， ………………7分
5
整理得：m2 600m+80000＝0，
解得：m1＝200，m1＝400. ………………9 分
m 200 1500 m 100当 1 时， 15 1200;5
m 400 1500 m 100当 1 时， 15 600(舍去).5
答：购买的这种健身器材的套数为 200套． ………………10 分
24.（10分）解：（1）△FGC是等腰三角形. ………………1 分
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠AGC＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEA＝90°，
∴∠AFE+∠BAD＝90°，
∵D为 B C的中点，
∴C D B D，
九年级数学 第 4页（共 8页）
{#{QQABaY6UggiIAAIAAAhCEQGiCAIQkhAAAQgGAEAEsAABiBFABAA=}#}
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠AGC＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠CFG，
∴∠CGF＝∠CFG， ……………4 分
∴△CFG是等腰三角形； ……………5 分
(2)如图，连接 OC，
∵点 D是 B C的中点，
∴C D B D,
∵C D为 60°，
∴B D为60°,
∴ AC 60°，
∴∠AOC＝60°， …………7分
∵OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形，
1
∴AC＝OC＝OA AB＝8，
2
∵CE⊥AB，
1
∴OE＝AE＝ OA＝4，
2
∴CE＝ OC 2 OE 2 ＝4 3，
∴S 阴影＝S 扇形 AOC﹣S△AOC
60π 82 1
＝ 8 4 3
360 2
32
＝ π 16 3． …………10 分
3
九年级数学 第 5页（共 8页）
{#{QQABaY6UggiIAAIAAAhCEQGiCAIQkhAAAQgGAEAEsAABiBFABAA=}#}
25.（10分）解：（1）设经过 x秒以后，△PBQ面积为 16 cm2 （0＜x≤3.5），
∵点 P的速度为 2 cm/s，点 Q的速度为 4 cm/s，
∴AP＝2x cm，BQ＝4x cm，
∴BP＝（10 2x）cm，
1
根据题意得： 4x(10 2x) 16， ………………3 分
2
整理得：x2 5x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝4 （舍去）， ………………4分
答：1秒后△PBQ的面积等于 16cm2； ………………5 分
(2) 不存在 . ………………6 分
设经过 y秒后，存在这样的时刻，使以 P为圆心，AP为半径的圆正好经过点 Q，
∵点 P的速度为 2 cm/s，点 Q的速度为 4 cm/s，
∴AP＝2y cm，BQ＝4y cm，BP＝（10 2y）cm，
∵以 P为圆心，AP为半径的圆正好经过点 Q，
∴PQ＝AP＝2y cm，
∵∠B＝90°，
∴BP2 BQ2 PQ2 ,
∴(10-2y)2 (4y)2 （2y）2 ,
∴4y2 10y+25＝0， …………8 分
∵b2 4ac （ 10）2 4×4×25＝ 300＜0，
∴方程 4y2 10y+25＝0 没有实数根，
∴不存在这样的时刻．使以 P为圆心，AP为半径的圆正好经过点 Q． …………10 分
26.（12分）解：（1）是 …………3 分
2
（2）证明：∵关于 x的方程 ax 2cx b＝0是“勾氏方程”，
∴a，b，c构成直角三角形，c是斜边，
∴c2＝a2+b2， …………5分
九年级数学 第 6页（共 8页）
{#{QQABaY6UggiIAAIAAAhCEQGiCAIQkhAAAQgGAEAEsAABiBFABAA=}#}
∴（ 2c）2 4ab 2c2 4ab （2 a2+b2＝ ） 4ab＝（2 a-b）2 0，
2
∴关于x的“勾氏方程” ax 2cx b＝0必有实数根． …………7分
（3）连接OD，OB，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，作EO的延长线交AB于F，
2
∵关于x的方程mx 8 2x n 0是“勾氏方程”，
∴m，n，8构成直角三角形，8是斜边，
∴m2+n2＝82 …………8分
∵OE⊥CD，
∴∠OED＝90°，CE=DE= n.
∵AB∥CD，
∴∠OED+∠OFB＝180°，
∴∠OFB＝90°
∴OF⊥AB，
∴AF=BF= m，
∴DE2+OE2＝OD2，OF2+BF2＝OB2，即n2+OE2＝82，OF2+m2＝82，
又m2+n2＝82，
∴OE＝m，OF＝n， …………10分
∴DE＝OF，OE＝BF，
又∵OD＝OB,
∴△OED≌△BFO（SSS），
∴∠EOD＝∠OBF，
∵∠OBF+∠BOF＝90°，
∴∠EOD+∠BOF＝90°，
∴∠DOB＝90° .
∴∠BAD＝45° . …………12分
27.（14 分）解：（1）7． …………2 分
（2）2或 4 ; …………6分
（3）如图，设直线 y＝kx+10（ k 0）与 x轴、y轴分别交于点 A、B．
九年级数学 第 7页（共 8页）
{#{QQABaY6UggiIAAIAAAhCEQGiCAIQkhAAAQgGAEAEsAABiBFABAA=}#}
过点 O作 OC⊥AB，垂足为点 C,过点 C作 CD⊥y轴，垂足为 D.
∴∠OCB 90 °，∠CDO 90 ° .
当 x=0时，y=10,
∴B(0,10)
∵d（T﹣⊙O）=2，
∴OC=5. …………8 分
∴CB OB2 OC 2 102 52 5 3.
1 1
∵S△BCO BC CO OB CD2 2
1
∴ 5 3 1 5 10CD
2 2
∴CD 5 3 .
2
2
∴OD OC 2 CD 2 52 5 3 5 .
2
2
5 3 5
∴C点的坐标为 , .
2 2
将点C 5 3 5 , 带入y kx 10.
2 2
5 5 3
得： k 10，
2 2
∴k 3. …………11 分
（4） t 5或 1 t 3 2 2或t 3 2 2 ． …………14 分
九年级数学 第 8页（共 8页）
{#{QQABaY6UggiIAAIAAAhCEQGiCAIQkhAAAQgGAEAEsAABiBFABAA=}#}2024年秋学期九年级期中学情调研数学试题
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若一组数据2，3，5，，7的平均数是4，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
3．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）
第3题图
A． B． C． D．
4．给出下列说法：①能够互相重合的两个圆叫作等圆；②长度相等的弧是等弧；③以长的半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④
5．如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ）
第5题图
A．53 B．64 C．63 D．54
6．小亮在处理一组数据“12，12，35，28，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间，则“■处的数据”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
7．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
8．若关于的一元二次方程有一个根2024，则方程必有一个根为（ ）
A．2026 B．2024 C．2023 D．2025
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．已知一个正六边形的半径为4，则这个正六边形的周长是___________．
10．某校食堂销售三种午餐盒饭的有关数据如图所示，该食堂销售午餐盒饭的平均价格是___________元．
第10题图
11．若将一元二次方程化为的形式，则___________．
12．方程是关于的一元二次方程，则的值为___________．
13．如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是___________．
第13题图
14．如图，点是的内切圆的圆心，若，则___________．
第14题图
15．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点随之旋转，则___________．
图1 图2
第15题图
16．如图，已知的半径为2，弦的长为．若在上找一点，使，___________．
第16题图
三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答应写出文明说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）解下列方程：
（1）； （2）．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点、、．
（1）借助网格线画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置（保留画图痕迹）；
（2）连接、，圆心的坐标为__________，的半径为__________；
（3）的长__________．
19．（8分）甲、乙两名运动员在相同条件下6次射击成绩的折线统计图如下：
（1）填表：
平均成绩/环 中位数/环 众数/环
甲的射击成绩 8 ②__________ ③__________
乙的射击成绩 ①__________ 8 8
（2）经计算乙运动员成绩的方差是，请计算甲运动员成绩的方差，并判断甲乙两名运动员谁的成绩更稳定．
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么他射击成绩的方差会__________．（填“变大”“变小”或“不变”）
20．（8分）如图，，交于点、，是半径，且于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
21．（8分）已知关于的方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，，且，求的值．
22．（10分）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点．
（1）求证：与相切；
（2）若，，试求的长．
23．（10分）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的30万人增加到2023年的43.2万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套餐健身器材，该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1500元；若超过100套，每增加5套，所购健身器材的每套售价可降低15元，但每套售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付贷款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
24．（10分）如图，已知是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为点，点是的中点，交于点，交于点．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若为60，．求阴影部分的面积．
25．（10分）如图，在中，，，，点从点出发沿边以的速度向点移动，同时，点从点出发沿边以的速度向点移动．当、两点中有一点到达终点时，另一点随之停止运动．
（1）几秒后，的面积等于？
（2）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以点为圆心，为半径的圆正好经过点？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由．
26．（12分）我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形面积的不同方法计算，来验证勾股定理．、、分别是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”．
图1 图2
解决下列问题：
（1）方程_______（填“是”或“不是”）“勾氏方程”；
（2）求证：关于的“勾氏方程”必有实数根；
（3）如图2，的半径为8，、是位于圆心异侧的两条平行弦，，，．若关于的方程是“勾氏方程”，连接，求的度数．
27．（14分）【概念认识】
对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，将、两点间距离的最小值称为图形到图形的“最近距离”，记作．如图①，到正方形的“最近距离”就是点、之间的距离，即．
【概念理解】
如图②，在平面直角坐标系中，以为圆心，3为半径作圆．
（1）若点的坐标为，则__________；
（2）若点是轴上一点，，则__________；
（3）将一次函数的图象记为图形，若，求的值．
【灵活运用】
（4）如图③，在平面直角坐标系中，已知点，，．
点是轴上的一点，设点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆．若，请直接写出的取值范围．
图① 图② 图③
