南平三中2024-2025学年九年级（上）数学期中质量检测
（满分：150分；考试时间：120分钟）
一、选择题（共10题，每题4分，共40分，每题的四个选项中只有一项是正确）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ）
A．6 B． C．4 D．
3．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．经过两次连续涨价，某药品销售单价由原来的32元涨到50元，设该药品平均每次涨价的百分率为，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
6．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线
C．图象的顶点坐标是 D．图象与轴没有交点
7．将抛物线平移得到抛物线，则下列平移过程正确的是（ ）
A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度
8．若点、在二次函数的图象上，则（ ）
A B． C． D．
9．已知抛物线，当时，函数的最大值为2，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
10．如图，在正方形中，，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________．
12．当________，关于的方程是一元二次方程．
13．如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把顺时针旋转，则旋转点的对应点的坐标是________．
14．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有________个飞机场．
15．已知抛物线的部分图象如图所示，则方程的解是________．
16．抛物线的最低点为，其中，抛物线与轴交于点，，，，则下列结论中，正确的有________．（填序号）
①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根．
三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答）
17．（8分）解方程：
（1） （2）
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）画出关于原点对称的，并直接写出点的对应点的坐标；
（2）画出以为旋转中心顺时针旋转的．
19．（8分）已知关于的一元二次方程．求证：该方程总有两个不相等的实数根．
20．（8分）如图将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上．
（1）若，，求的长；
（2）若，，连接，求的度数．
21．（8分）已知抛物线．
（1）若点在此抛物线上，求此抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，求出此抛物线的顶点坐标．
22．（10分）为响应“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边用墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，有最大值？最大值是多少？
23．（10分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是水柱距喷水头的力平距离，是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的解析式；
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头水平距离，身高的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
24．（12分）抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，是抛物线上不与点，，重合的一点．
（1）点的坐标为（_____，_____），点的坐标为（_____，_____）；
（2）如图，若点在线段上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及此时的面积；
25．（14分）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．
（1）数学思考：四边形的形状是________．
（2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作，交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，交于点，若，，求的长．
南平三中2024-2025学年九年级（上）数学期中质量检测
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．B；2．A；3．C；4．D；5．B；6．B；7．A；8．B；9．D；10．C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．；12．1；13．；
14．5；15．，；16．①②③．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）
（1）解：
．2分
∴或
∴，．4分
（2）解：
．2分
∴或
∴，．4分
18．（8分）
解：（1）如图，即为所求，．5分
（2）如图，即为所求．8分
19．（8分）
证明：由题意可得：．5分
∵
∴
∴该方程总有两个不相等的实数根．8分
20．（8分）
解：（1）将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，，1分
∴，
∴的长为2．3分
（2）如图所示，连接，
由（1）可知，，
∴，，，
∴是等腰三角形，5分
在中，，
∴，7分
∴，
∴的度数为．8分
21．（8分）
解：（1）∵点二次函数的图象上
∴．1分
解得：．3分
∴二次函数的解析式为．4分
（2）．6分
∴此抛物线的顶点坐标为．8分
22．（10分）
解：（1）根据题意得：，2分
∵，
∴，4分
∴与之间的函数关系式为；5分
（2）由（1）知，
化成顶点式：，6分
∵，抛物线开口向下
∴当时，随的增大而减小．7分
又∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时，符合题意．10分
23．（10分）
解：（1）由题意知，抛物线顶点为，则抛物线的解析式为．
将代入得，
解得．
∴抛物线的解析式．4分
（2）当时，．6分
解得，．9分
则她与爸爸的水平距离为或．
答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是或．10分
24．（12分）
解：（1）点的坐标为，点的坐标为．4分
（2）∵当时，∴．
设直线的解析式为，
将点，代入中得
解得
∴直线的解析式为．6分
过点作轴交直线于点
设，则
．8分
∴，10分
∵，抛物线开口向下
∴当时，有最大值，最大值为．11分
∴点的坐标为，此时的面积为．12分
25．（14分）
解：（1）数学思考：四边形的形状是正方形．2分
（2）①．
∵
∴．4分
∵，
∴
在和中
∴，
∴．7分
由旋转的性质可得，
∴，8分
∴．9分
②由旋转的性质可得
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．11分
由勾股定理得，
∴，12分
设，
∴
∴，
解得，
∴．14分
