2024-2025学年天津市河北区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能判定
3．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝4 D．（x﹣2）2＝4
4．（3分）抛物线y＝3x2经过平移得到抛物线y＝3（x+1）2﹣2，平移的方法是（ ）
A．向左平移1个，再向下平移2个单位
B．向右平移1个，再向下平移2个单位
C．向左平移1个，再向上平移2个单位
D．向右平移1个，再向上平移2个单位
5．（3分）已知二次函数y＝2（x﹣1）2+m的图象上有三个点，坐标分别为A（2，y1）、B（3，y2）、C（﹣4，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1+x2+x1x2＝4，则实数a的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣4 C．4 D．5
7．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠C＝30°，BD＝1，则⊙O的半径是（ ）
A．1 B． C．2 D．2
8．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（ ）
A．125° B．115° C．100° D．130°
9．（3分）如图，线段AB是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝2，则BC的长是（ ）
A． B．4 C．6 D．3
10．（3分）如图，把△ABC以点C为中心顺时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别是点D，E，连接AD交CE于点F，当AD∥BC时，下列结论一定正确的是（ ）
A．AD＝CD B．AC平分∠BCD
C．∠ACD＝∠E+∠ADE D．BC＝DE
11．（3分）如图，周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC＝4cm，则三角形纸片BDE的周长是（ ）
A．10cm B．9cm C．8cm D．7cm
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n 3．有下列结论：
①4ac﹣b2＜4a；
②当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1；
③若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是： ．
14．（3分）我国古代南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步（问宽和长各多少步）．“如果设矩形田地的宽为x步，则可列出方程再化为一般形式为 ．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下：
x … ﹣3 0 1 3 5 …
y … 6 ﹣7 ﹣8 ﹣5 6 …
则一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7的解为x＝ ．
16．（3分）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连接OB，若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cm，则AD的长是 cm．
17．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为 ．
18．（3分）如图，△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，，DE＝2．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，则CE′＝ ．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
19．（6分）解方程：x2﹣6x+1＝0．
20．（10分）如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）连接OA，求△AOB的面积．
21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，C是圆上一点．
（1）如图①，若∠DBC＝24°，求∠BAC的度数；
（2）如图②，若∠DBC＝60°，点E在圆上，CE⊥AB，若BC＝4，求AE的长．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝150°，将△ABC绕B点逆时针旋转得到△DBE，旋转角为α（0°＜α＜180°），若A，D，E三点恰好在同一条直线上；
（1）求旋转角α的度数；
（2）若AB＝2，求AE的长．
23．（10分）某商场购进一批单价为10元的日用品，若按每件20元的价格销售，每月能卖出20件，若按每件30元的价格销售，每月能卖出10件．假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数．
（1）试求y与x之间的函数关系．
（2）在不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣8，0），点C（0，8），若正方形OABC绕点O顺时针旋转，得正方形OA'B'C'，记旋转角为α．
（1）如图①，当α＝45°时，求BC与A'B'的交点D的坐标；
（2）如图②，当α＝30°时，求点B'的坐标；
（3）若P为线段BC'的中点，求AP长的取值范围（直接写出结果即可）．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2024-2025学年天津市河北区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解答】解：选项A、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
2．【解答】解：由题意得，Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
3．【解答】解：x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
故选：B．
4．【解答】解：抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0）；抛物线y＝3（x+1）2﹣2，的顶点坐标（﹣1，﹣2），
顶点坐标的平移规则是：先向左平移1个单位，再向下平移2个单位．抛物线平移也是这样．
故选：A．
5．【解答】解：∵二次函数的解析式y＝2（x﹣1）2+m，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为x＝1．
∵A（2，y1）、B（3，y2）、C（﹣4，y3）为二次函数y＝2（x﹣1）2+m的图象上三个点，
且三点横坐标距离对称轴x＝1的距离远近顺序为：
C（﹣4，y3）、B（3，y2）、A（2，y1），
∴三点纵坐标的大小关系为：y3＞y2＞y1．
故选：D．
6．【解答】解：∵x2+2ax+a2﹣a＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣a）＝4a2﹣4a2+4a＝4a＞0，
即a＞0，
∵x1+x2+x1x2＝4，，
∴﹣2a+a2﹣a＝4，
即a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1）＝0，
解得a1＝4，a2＝﹣1（与a＞0相矛盾，故舍去），
故选：C．
7．【解答】解：∵∠A与∠C是同弧所对的圆周角，∠C＝30°，
∴∠A＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是直角三角形，
∴AB＝2BD＝2×1＝2，
∴OB＝AB＝×2＝1．
故选：A．
8．【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝180°+×70°＝125°．
故选：A．
9．【解答】解：如图，连接OC．
根据作图知CE垂直平分AO，
∴AC＝OC，AE＝OE＝2，
∴OC＝OB＝AO＝AE+EO＝4，
∴AC＝OC＝AO＝AE+EO＝4，
即AB＝AO+BO＝8，
∵线段AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，根据勾股定理得，BC＝＝＝4，
故选：A．
10．【解答】解：∵把△ABC以点C为中心顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，∠ACB＝∠DCE，BC＝CE，故D不符合题意．
∴∠ACD＞∠ACB，故B不符合题意；
∵∠ACD不一定等于60°，
∴AD不一定等于CD，故A不符合题意；
∵把△ABC以点C为中心顺时针旋转得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠BCF，
∴∠ACD＝∠AFE＝∠E+∠ADE，故C符合题意；
故选：C．
11．【解答】解：设三角形ABC与⊙O相切于M、N、F，DE与⊙O相切于G，如图，
由切线长定理可知：AM＝AF，CN＝CF，BM＝BN，DM＝DG，EG＝EN，
∵AB+AC+BC＝15cm，AC＝4cm，
∴AM+CN＝AC＝4cm，AB+BC＝11（cm），
∴三角形纸片BDE的周长＝DB+DE+BE＝BD+DG+GE+BE＝BM+BN＝AB+BC﹣AC＝7（cm），
故选：D．
12．【解答】解：①图象经过（1，1），c＜0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在（1，0）的左侧，
∵（n，0）中n≥3，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即a＜0，
把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得：a+b+c＝1，
即b＝1﹣a﹣c，
∵a＜0，c＜0，
∴b＞0，
∵a＜0，b＞0，c＜0，＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根的积大于0，
即mn＞0，
∵n≥3，
∴m＞0，
∴（m+n）＞1.5，
即抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，
∴抛物线的顶点在点（1，1）的上方或者右上方，
∴＞1，
∵4a＜0，
∴4ac﹣b2＜4a，
故①正确；
②∵m＞0，
∴当 n＝3 时，（m+n）＞1.5，
∴抛物线对称轴在直线x＝1.5的右侧，
∴（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，
∵a＜0，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴t＞1，
故②正确；
③方程ax2+bx+c＝x可变为ax2+（b﹣1）x+c＝0，
∵方程有两个相等的实数解，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0．
∵把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，
∴（a+c）2﹣4ac＝0，
即a2+2ac+c2﹣4ac＝0，
∴（a﹣c）2＝0，
∴a﹣c＝0，即a＝c，
∵（m，0），（n，0）在抛物线上，
∴m，n为方程 ax2+bx+c＝0 的两个根，
∴mn＝＝1，
∴n＝，
∵n≥3，
∴≥3，
∴0＜m≤．
故③错误．
综上，正确的结论有：①②．
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13．【解答】解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
14．【解答】解：设矩形田地的宽为x步，根据题意可得：
x（x+12）＝864，
整理得：x2+12x﹣864＝0．
故答案为：x2+12x﹣864＝0．
15．【解答】解：由表格可得，
该函数的对称轴为直线x＝＝1，
当x＝0时，y＝﹣7，
∴当x＝2时，y的值也是﹣7，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7的解为x＝0或2，
故答案为：0或2．
16．【解答】解：∵OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，
∴，
∴，
∴AD＝OA﹣OD＝5﹣3＝2（cm）；
故答案为：2．
17．【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3），
∴当y＝﹣3时，x＝1，
当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15，
解得x＝4或x＝﹣2，
∵当0≤x≤a时，y的最大值为15，
∴a＝4，
故答案为：4．
18．【解答】解：如图，连接CE′，
∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，DE＝2，AC＝2，
∴AB＝BC＝2，BD＝BE＝，
∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，
∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，∠D′BD＝∠ABE′，
∴∠ABD′＝∠CBE′，
∴△ABD′≌△CBE′（SAS），
∴∠D′＝∠CE′B＝45°，
过B作BH⊥CE′于H，
在Rt△BHE′中，BH＝E′H＝BE′＝1，
在Rt△BCH中，CH＝＝，
∴CE′＝1+，
故答案为：1+．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
19．【解答】解：∵x2﹣6x＝﹣1，
∴x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，
则x﹣3＝，
∴x＝3．
20．【解答】解：（1）把A（1，4）代入y＝﹣2x+m得4＝﹣2+m，
解得m＝6；
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵顶点为A（1，4），
∴y＝a（x﹣1）2+4．
∵x轴上的点B在直线y＝﹣2x+6上，
∴B（3，0），
点B又在y＝a（x﹣1）2+4的图象上；
0＝a（3﹣1）2+4，
解得a＝﹣1．
∴y＝﹣（x﹣1）2+4；
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
（3）∵B（3，0），A （1，4），
∴OB＝3，yA＝4．
∴．
21．【解答】解：（1）∵BD与⊙O相切于点B，
∴∠ABD＝90°，
∵∠DBC＝24°，
∴∠ABC＝66°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠A＝90°﹣66°＝24°；
（2）同（1）∠OBC＝30°，∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，BC＝4，，AC2+CB2＝AB2，
即AC2+42＝（2AC）2，
解得，
∵直径AB⊥弦CE，
∴＝，
∴．
22．【解答】解：（1）由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴∠BDE＝∠BAC＝150°AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝180°﹣∠BDE＝30°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝120°，
∴α＝120°；
（2）过B作BH⊥AD交于H，
∵在Rt△ABH中，∠BAD＝30°，AB＝2，
∴，
∴，
∵AB＝BD，BH⊥AD，
∴，
∵AB＝AC＝2，△ABC≌△DBE，
∴DE＝AC＝2，．
23．【解答】解：（1）设y＝kx+b，
把x＝20，y＝20和x＝30，y＝10代入可得，
解得，
∴y＝﹣x+40（10≤x≤40）；
（2）每月获得利润P＝（﹣x+40）（x﹣10）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
当x＝25时，P取得最大值，最大值为225，
答：销售价格定为25元时，才能使每月的利润最大，每月的最大利润是225元．
24．【解答】解：（1）由A（﹣8，0），点C（0，8），在正方形OABC与正方形OA'B'C'中，边长为8，
∵α＝45°，对角线OB'＝8，OC＝8，
∴CB'＝8﹣8，
在Rt△DCB'中，∠DCB'＝90°，∠DB'C＝45°，
则∠DB'C＝∠CDB'，CD＝CB'＝8﹣8，
∴D（8﹣8，8）；
（2）同（1），OA'＝A'B'＝8，
过A'做纵轴平行线m交横轴于点M，过B'做横轴平行线n交m于点H，如图②，
∵α＝30°，
∴∠A'OA＝30°，
在Rt△A'MO中，∠A'MO＝90°，∠A'OM＝30°，
∠OA'M＝60°，
∴A'M＝A'O＝4，MO＝，
故A'，4）；
在Rt△A'B'H中，∠A'HB'＝90°，∠B'A'H＝180°﹣∠B'A'O﹣∠MA'O＝30°，
∴B'H＝A'B'＝4，A'H＝，
故B'，；
（3）如图③，连接OB，AC相交于点K，
则K是OB的中点，
∵P为线段BC′的中点，
∴PK＝OC′＝4，
∴P在以K为圆心，4为半径的圆上运动，
∵AK＝4，
∴AP最大值为，AP的最小值为，
∴AP长的取值范围为≤AP≤．
25．【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，把点A，点B的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小；理由如下：
如图1，连接PB、BC，
∵抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴以对称轴直线x＝1上，
∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称，
∴PA＝PB，
∴C△PAC＝AC+PC+PA＝AC+PC+PB，
∵当C、P、B在同一直线上时，PC+PB＝CB最小，
∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴AC＝，BC＝，
∴C△PAC＝AC+CB＝最小，
设直线BC解析式为y＝kx+3，
把点B代入得：3k+3＝0，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC：y＝﹣x+3，
∴yP＝﹣1+3＝2，
∴点P（1，2）使△PAC的周长最小，最小值为；
（3）存在满足条件的点M，使得S△PAM＝S△PAC；理由如下：
∵S△PAM＝S△PAC，
∴当以PA为底时，两三角形等高，
∴点C和点M到直线PA距离相等，
①若点M在点P上方，如图2，
∴CM∥PA，
∵A（﹣1，0），P（1，2），设直线AP解析式为y＝px+d，
∴，
解得：，
∴直线AP：y＝x+1，
∴直线CM解析式为：y＝x+3，
∵，
解得：（即点C），，
∴点M坐标为（1，4）；
②若点M在点P下方，如图3，
则点M所在的直线l∥PA，且直线l到PA的距离等于直线y＝x+3到PA的距离，
∴直线AP：y＝x+1向下平移2个单位得y＝x﹣1即为直线l的解析式，
∵，
解得： 或，
∵点M在x轴上方，
∴y＞0，
∴点M坐标为（，），
综上所述，点M坐标为（1，4）或（，）时，S△PAM＝S△PAC．
