2024-2025学年北京六十六中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．（2分）中国瓷器，积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分．瓷器上的图案设计精美，极富变化．下面瓷器图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）二次函数y＝3（x+1）2﹣4的最小值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
3．（2分）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣5）2+2 B．y＝3（x+5）2+2
C．y＝3（x+2）2+5 D．y＝3（x﹣2）2+5
4．（2分）用配方法解方程x2+6x＝2，变形后结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝2 B．（x+3）2＝11 C．（x﹣3）2＝2 D．（x﹣3）2＝11
5．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，⊙O的半径为3，则BD长为（ ）
A．6 B．3 C． D．
6．（2分）电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．3.5x2＝6.8 B．3.5（1+x）＝6.8
C．3.5（1+x）2＝6.8 D．3.5（1﹣x）2＝6.8
7．（2分）在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
8．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：
①抛物线开口向下：
②4a＜b
③当m≤4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；
④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0；
其中推断正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标（0，3）的抛物线的解析式 ．
10．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣2＝0，有一个根是0，则m＝ ．
11．（2分）如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，点D、E、F为切点，若AD＝6，BD＝4，则△ABC的面积为 ．
12．（2分）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转50°后得到△AOB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′等于 ．
13．（2分）已知点A（﹣1，y1），B（4，y2）在二次函数y＝（x﹣2）2+c的图象上，y1与y2的大小关系为y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
14．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝60°，PA＝6，则⊙O的半径为 ．
15．（2分）函数y1＝x2+bx+c与y2＝ax的图象如图所示，当y1≥y2时，x的取值范围是 ．
16．（2分）下表记录了二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）中两个变量x与y的5组对应值，其中x1＜x2＜1．
x … ﹣5 x1 x2 1 3 …
y … m 0 2 0 m …
根据表中信息，当时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是 ．
三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18-25题各5分，第26题6分，第27，28题各7分）
17．（8分）解下列一元二次方程：
（1）x2+2x﹣8＝0；
（2）2x2﹣2x﹣1＝0．
18．（5分）已知：x2+2x﹣1＝0，求代数式3x2+6x+10的值．
19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0，1），B（3，4）．
求此二次函数的表达式及顶点的坐标．
20．（5分）2023年10月，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京召开，回顾了十年来“一带一路”取得的丰硕成果．为促进经济繁荣，某市大力推动贸易发展，2021年口贸易总额为60000亿元，2023年进出口贸易总额为86400亿元．若该市这两年进出贸易总额的年平均增长率相同，求这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率．
21．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝6，BE＝1．求⊙O的半径．
22．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
23．（5分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O，B为格点（每个小正方形的顶点叫做格点），OA＝3，OB＝4，且∠AOB＝150°，线段OA关于直线OB对称的线段为OA'，将线段OB绕点O逆时针旋转45°得到线段OB'；
（1）画出线段OA'，OB'；
（2）将线段OB绕点O逆时针旋转α（45°＜α＜90°）得到线段OC'，连接A'C．若A'C'＝5，求∠B'OC'的度数．
24．（5分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：∠AEB＝∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝110°，求∠BED的度数．
25．（5分）如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为1.25m的水管OA，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．
建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离OB为2.5m，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离OD为1m．
（1）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离水池中心O的水平距离x（m）之间的关系式，并求水流最大竖直高度CD的长；
（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若水管OA的高度增加0.64m时，则水流离喷水池中心O的最远水平距离为 m．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（3，3a+c）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点M（1﹣2a，y1），N（a+2，y2）在抛物线上．若c＜y1＜y2，求a的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠APB＝45°，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接AQ．
（1）依题意，补全图形，并证明：AQ＝BP；
（2）求∠QAP的度数；
（3）若N为线段AB的中点，连接NP，请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系，并证明．
28．（7分）定义：对于给定函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0），则称函数为函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的“相依函数”，此“相依函数”的图象记为G．
（1）已知函数y＝﹣x2+2x﹣1．
①写出这个函数的“相依函数” ；
②当﹣1≤x≤1时，此相依函数的最大值为 ；
（2）若直线y＝m与函数y＝﹣x2+2x﹣1的相依函数的图象G恰好有两个公共点，求出m的取值范围；
（3）设函数（n＞0）的相依函数的图象G在﹣4≤x≤2上的最高点的纵坐标为y0，当时，求出n的取值范围．
2024-2025学年北京六十六中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．【解答】解：A．图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．图形是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
2．【解答】解：二次函数y＝3（x+1）2﹣4中，k＝3＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）2﹣4，当x＝﹣1时函数有最小值﹣4．
故选：D．
3．【解答】解：把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2+5．
故选：C．
4．【解答】解：x2+6x＝2，
x2+6x+9＝2+9，
∴（x+3）2＝11．
故选：B．
5．【解答】解：如图，过点O作OE⊥BD于E，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠A＝2×60°＝120°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°，
∴OE＝OD＝，
∴DE＝＝，
∵OB＝OD，OE⊥BD，
∴BD＝2DE＝3，
故选：C．
6．【解答】解：根据题意得：3.5（1+x）2＝6.8．
故选：C．
7．【解答】解：
连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．
故选：A．
8．【解答】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；
②若当x＝﹣2时，y取最大值，则由于点A和点C到x＝﹣2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点C纵坐标显然不相等，
∴﹣，
∴b＞4a，所以②正确；
∵最大值为4，
∴当m≤4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根，所以③是正确的；
直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜﹣4或x＞0，从而④正确．
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，3），
∴设抛物线的解析式为y＝ax2+3（a为常数，且a≠0）．
又∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
当a＝1时，抛物线的解析式为y＝x2+3．
故答案为：y＝x2+3（答案不唯一）．
10．【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣2＝0，有一个根是0，
所以02﹣0+m﹣2＝0，
解得m＝2．
故答案为：2．
11．【解答】解：如图，
∵⊙O是直角三角形ABC的内切圆，
∴四边形CEOF是正方形，
∴AF＝AD＝6，BE＝BD＝4，
设⊙O的半径为r，则CE＝CF＝r，
∴（4+r）2+（6+r）2＝（4+6）2，
∴r＝2．
∴AC＝6+2＝8，BC＝4+2＝6，
∴△ABC的面积＝×6×8＝24，
故答案为：24．
12．【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A′OB′，
∴∠BOB′＝50°．
∵∠AOB＝15°，
∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝50°﹣15°＝35°．
故答案为：35°．
13．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+c，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝2，
∵A（﹣1，y1），B（4，y2），
∴点A离直线x＝2远，点B离直线x＝2较近，
∴y1＞y2，
故答案是：＞．
14．【解答】解：连接OB，OP，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OB⊥PB，PO平分∠APB，
∵∠APB＝60°，
∴∠OPB＝∠APB＝30°，
∵tanOPB＝tan30°＝，
∴OB＝PB tan30°＝6×＝2．
∴⊙O的半径是2．
故答案为：2．
15．【解答】解：∵y1≥y2，
∴一次函数的图象在抛物线的下方，
由图象可知，当x＜1或x＞3时，直线在抛物线的下方，
∴当x≤1或x≥3时，y1≥y2，
故答案为：x≤1或x≥3．
16．【解答】解：由x＝﹣5和x＝3时y＝m，可得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
又由（x1，0）、（1，0）以及对称轴x＝﹣1可得x1＝﹣3，
设抛物线交点式为y＝a（x+3）（x﹣1），
∵y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即y＝ax2+bx+2（a≠0），
∴﹣3a＝2，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2﹣x+2，
当x＝﹣时，y＝﹣×﹣×（﹣）+2＝，
当x＝0时，y＝2；
当x＝﹣1时，最大值y＝﹣++2＝，
当时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，
∴2＜k＜．
故答案为：2＜k＜．
三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18-25题各5分，第26题6分，第27，28题各7分）
17．【解答】解：（1）x2+2x﹣8＝0，
（x+4）（x﹣2）＝0，
x1＝﹣4，x2＝2；
（2）2x2﹣2x﹣1＝0，
Δ＝4+8＝12＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
18．【解答】解：因为x2+2x﹣1＝0，
所以x2+2x＝1，
所以3x2+6x+10
＝3（x2+2x）+10
＝3×1+10
＝13．
19．【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0，1），B（3，4）；
∴，
解得：，
∴y＝x2﹣2x+1，
∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴顶点的坐标为（1，0）．
20．【解答】解：设这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为x，
根据题意得：60000（1+x）2＝86400，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为20%．
21．【解答】解：设圆的半径是r，
连接OC，
∵弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝CD＝×6＝3，
∵BE＝1，
∴OE＝r﹣1，
∵OC2＝OE2+CE2，
∴r2＝（r﹣1）2+32，
∴r＝5，
∴⊙O的半径是5．
22．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（m+2）＞0，
解得：m＜2，
∴m的取值范围为m＜2．
（2）∵m为正整数，
∴m＝1，
∴原方程为x2﹣4x+3＝0，即（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴若m为正整数时，方程的根为1和3．
23．【解答】解：（1）如图，线段OA′，OB′即为所求；
（2）∵OA＝OA′＝3，OB＝OC′＝4，A′C′＝5，
∴OA′2+OC′2＝A′C′2，
∴∠A′OC′＝90°，
∵OA，OA′关于OB对称，
∴∠AOB＝∠A′OB＝150°，
∴∠B′OC′＝∠A′OB﹣∠A′OC′﹣∠BOB′＝150°﹣90°﹣45°＝15°．
24．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠AEB＝∠ADC；
（2）解：如图，连接DE，
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD为等边三角形，
∴∠AED＝60°，
又∵∠AEB＝∠ADC＝110°，
∴∠BED＝110°﹣60°＝50°．
25．【解答】解：（1）由题意，A点坐标为（0，1.25），B点坐标为（2.5，0）．
设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2+k（a≠0），
∵抛物线经过点A，点B，
∴．
∴．
∴y＝﹣（x﹣1）2+2.25（0≤x≤2.5 ）．
∴x＝1时，y＝2.25．
∴水流喷出的最大高度为2.25 m．
（2）由题意，∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变，
∴可设抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+m．
又此时A为（0，1.89），
∴1.89＝﹣1+m．
∴m＝2.89．
∴抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+2.89．
令y＝0，
∴x＝2.7或x＝﹣0.7（x＜0，不合题意）．
∴水流离喷水池中心O的最远水平距离为2.7 m．
故答案为：2.7．
26．【解答】解：（1）根据题意得：3a+c＝9a+3b+c，
化简得：b＝﹣2a；
该抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1；
（2）根据题意得：y1＝a（1﹣2a）2+（﹣2a）（1﹣2a）+c＝4a3﹣a+c，
y2＝a（a+2）2+（﹣2a）（a+2）+c＝a3+2a2+c；
∵c＜y1＜y2，
∴c＜4a3﹣a+c＜a3+2a2+c；
∴c＜4a3﹣a+c或4a3﹣a+c＜a3+2a2+c或c＜a3+2a2+c，
∵a＞0，解得a＞或a＜1或a＞﹣2，
∴不等式组的解集为：＜a＜1．
∴a的取值范围为：＜a＜1．
27．【解答】（1）证明：∵∠QCP＝∠ACB＝90°，
∴∠QCA＝∠PCB，
在△QCA和△PCQ中，
，
∴△QCA≌△PCB（SAS），
∴AQ＝BP；
（2）解：∵△QCA≌△PCB，
∴∠CQA＝∠CPB，
∵∠APB＝∠CPQ＝45°，
∴∠APQ＝∠CPB，
∴∠AQP+∠APQ＝∠AQP+∠CQA＝∠CQP＝45°，
∴∠QAP＝180°﹣45°＝135°；
（3）解：结论：PC＝PN．
理由：如图，延长PN到T，使得NT＝NP，连接AT．
在△ANT和△BNP中，
，
∴△ANT≌△BNP（SAS），
∴AT＝PB，∵∠T＝∠NPB，
∴AT∥PB，
∴∠TAP+∠APB＝180°，
∵∠APB＝45°，
∴∠TAP＝135°＝∠QAP，
∵AQ＝PB，PB＝AT，
∴AT＝AQ，
在△PAT和△PAQ中，
，
∴△PAT≌△PAQ（SAS），
∴PT＝PQ＝PC，
∴2PN＝PC，
∴PC＝PN．
28．【解答】解：（1）①∵函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0），则称函数为函数y＝ax2+bx+c的“相依函数”，
∴y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”是；
故答案为：；
②当﹣1≤x＜0时，y＝﹣x2﹣2x+1＝﹣（x+1）2+2，故当x＝﹣1时，y有最大值为2，
当0≤x≤1时，y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，故x＝1时，y有最大值为0，
综上所述，当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”最大值是2，
故答案为：2；
（2）函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”的图象如图：
由y＝﹣x2﹣2x+1可得顶点B（﹣1，2），与y轴交点C（0，1）（函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”图象不包含C），
由y＝﹣x2+2x﹣1可得顶点D（1，0），与y轴交点A（0，﹣1），
当直线y＝m与图象G恰好有两个公共点，由图象知：m＜﹣1或m＝0或1＜m＜2；
（3）由题意知，函数y＝x2+nx+1（n＞0）的“相依函数”为，且n2+1＞n2﹣1，
（1）当n≥4时，y＝﹣（x+n）2+n2﹣1图象的对称轴在直线x＝﹣4左侧，y＝﹣（x﹣n）2+n2+1图象的对称轴在x＝4右侧，
当x＝2时，y＝﹣2+2n+1＝2n﹣1，
当x＝﹣4时，y＝﹣8+4n﹣1＝4n﹣9，
∵n≥4，
∴2n﹣1≤4n﹣9，
又≤y0≤9，
∴≤4n﹣9≤9，
∴≤n≤，
∴4≤n≤，
（2）当2＜n＜4时，
当x＝2时，y＝﹣2+2n+1＝2n﹣1，
∵2＜n＜4，
∴2n﹣1＞n2﹣1，
此时由≤y0≤9，可得≤2n﹣1≤9，有≤n≤5，
∴2＜n＜4，
（3）当0＜n≤2时，
而n2+1＞n2﹣1，
∴≤n2+1≤9，
∴1≤n≤4，
∴1≤n≤2，
综上所述，n的取值范围是1≤n≤．
