2024—2025年度虹桥中学上学期初三学年期中考试（数学）
一、选择题（每题3分，共27分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（ ）
（1） （2）
（3） （4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，是角平分线，交于D，交于E，若，则等于（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
7．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
B．若三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
C．等腰三角形任意两角都相等
D．等腰三角形一定是锐角三角形
8．如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共27分）
10．若，则_______．
11．分解因式：_______．
12．若，则_______．
13．的结果是_______．
14．若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是一个“完美数”．已知M是一个“完美数”，且（是两个任意整数，k是常数），则k的值为_______．
15．如图，一条船从灯塔C南偏东方向的A处出发，向正北方向航行10海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西方向，则船距离灯塔C_______海里．
16．已知等腰中，，直线l经过点C，过点分别作直线l的垂线，垂足分别为，若，则_______．
17．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜反射后，沿方向射出，已知，则_______．
18．如图，四边形中，点E是对角线上一点，连接，若，，，则的面积=_______．
三、简答题
19．（本题6分）计算：
（1） （2）
20．（本题6分）先化简，再求值，其中．
21．（本题6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为．
（1）画出关于x轴对称的，
（2）在y轴，上确定一个点P，连接，使的和最小并写出点P的坐标_______．
22．（本题6分）如图，在中，，点D在上，且．求的度数．
23．（本题7分）定义一种新计算，若，记做，例如：因为，所以
（1）根据上述规定，填空：
①若，则_______；②若，则_______；
（2）若，求c的值．
24．（本题7分）如图，点在的边上，，
（1）求证：；
（2）若，直接写出图中除与外所有的等腰三角形．
25．（本题8分）如图，哈市恒祥城小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，开发商计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）用含有的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）
（2）若，求出当时绿化的总面积；
（3）在（2）的条件下，开发商找来甲、乙两队完成此项绿化工程．己知甲队每小时绿化14平方米，甲队先单独绿化5小时，然后乙队加入，合作完成剩余部分的绿化，要求总工作时间不超过15小时，则乙队每小时至少绿化多少平方米？
26．（本题10分）四边形中，，点N在延长线上，连接并延长交延长线于点M，若．
（1）求证：平分；
（2）若，则_______；
（3）在（2）的条件下，若，求长．
27．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点点在x轴正半轴上，且的面积．
（图1） （图2）
（图3）
（1）如图1，求A点坐标；
（2）如图2，点在第一象限直线上，连接．若，且M在的垂直平分线上，，求证：；
（3）如图3，在（1）的条件下，点C、点D分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且，点E在线段上，F在线段上，连接，点G在平分线上，连接并延长交于点H，过H作y轴平行线交直线于点P，连接，交x轴于点Q，若坐标为，且G到x轴的距离为，求P点纵坐标．
参考答案
1~9：CCC、BBB、BAB 10．4 11．
12．9 13．1 14．36 15．10 16．2或28 17． 18．
19．（1） （2）
20．原式 当：时，原式
21．（1）注意字母角标 （2） ；
22．72（过程略） 23．（1） （2）
24．（1）略 （2）
25．（1） （2） （3）13
